非线性规划中的序列二次规划-序列凸近似-自适应屏障-梯度投影混合算法基础题
字数 4426 2025-12-18 21:43:55

非线性规划中的序列二次规划-序列凸近似-自适应屏障-梯度投影混合算法基础题

我将为你讲解一个结合序列二次规划（SQP）、序列凸近似（SCA）、自适应屏障函数和梯度投影的混合算法，用于求解一类带不等式约束的非线性规划问题。这个算法融合了多种方法的优势，以处理非凸、高维或计算复杂的优化问题。

1. 题目描述

考虑如下非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ & x \in \mathcal{X} \end{aligned} \]

其中：

  • 目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是连续可微但可能非凸。
  • 不等式约束函数 \(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是连续可微，也可能非凸。
  • 集合 \(\mathcal{X} = \{ x \mid l \leq x \leq u \}\) 是一个简单的盒式约束（闭矩形区域），\(l, u \in \mathbb{R}^n\) 是上下界向量。盒式约束使得投影操作容易计算。

我们的目标是设计一个混合算法，在每一步迭代中：

  1. 使用序列凸近似（SCA）将原非凸问题近似为一个凸子问题。
  2. 在子问题上应用序列二次规划（SQP）框架，利用自适应屏障函数处理不等式约束，确保迭代点严格可行或适当松弛。
  3. 用梯度投影法（GPM）处理盒式约束 \(\mathcal{X}\)，确保迭代点始终满足简单约束。
  4. 通过自适应机制调整屏障参数和信赖域半径，平衡可行性和最优性。

2. 算法原理与步骤详解

这个混合算法的核心思想是分层处理：用SCA处理非凸性，用SQP处理光滑约束，用屏障函数处理不等式约束，用梯度投影处理简单集合约束。

步骤1：初始化

  • 选择一个初始点 \(x^0 \in \mathcal{X}\)（即满足盒式约束）。
  • 设置初始屏障参数 \(\mu^0 > 0\)（例如 \(\mu^0 = 1\)），初始信赖域半径 \(\Delta^0 > 0\)。
  • 选择参数：收缩因子 \(\tau \in (0,1)\)（用于更新 \(\mu\)），增长因子 \(\gamma > 1\)，接受阈值 \(\eta \in (0,1)\)。
  • 设定收敛容差 \(\epsilon > 0\)，最大迭代次数 \(K\)。

步骤2：构建凸近似子问题（SCA阶段）

在第 \(k\) 次迭代，当前点为 \(x^k\)。我们对非凸函数 \(f(x)\) 和 \(c_i(x)\) 进行凸近似。常用的一阶凸近似是：

  • 目标函数近似：\(\tilde{f}_k(x) = f(x^k) + \nabla f(x^k)^T (x - x^k) + \frac{1}{2} (x - x^k)^T B_k (x - x^k)\)。
  • 约束函数近似：\(\tilde{c}_{i,k}(x) = c_i(x^k) + \nabla c_i(x^k)^T (x - x^k)\)。

这里 \(B_k\) 是Hessian矩阵的近似（如BFGS更新得到的正定矩阵），保证 \(\tilde{f}_k(x)\) 是凸二次函数。\(\tilde{c}_{i,k}(x)\) 是线性函数，因此是凸的。

子问题变为：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{f}_k(x) \\ \text{s.t.} \quad & \tilde{c}_{i,k}(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ & x \in \mathcal{X} \end{aligned} \]

这是一个凸二次规划（QP），因为目标为凸二次，约束为线性不等式和盒式约束。

步骤3：整合自适应屏障函数

为了便于求解并控制可行性，我们将不等式约束 \(\tilde{c}_{i,k}(x) \leq 0\) 用对数屏障函数惩罚，得到无约束子问题：

\[\min_{x \in \mathcal{X}} \quad \Phi_k(x; \mu^k) = \tilde{f}_k(x) - \mu^k \sum_{i=1}^m \log(-\tilde{c}_{i,k}(x)) \]

注意：

  • 对数屏障要求 \(\tilde{c}_{i,k}(x) < 0\)（严格可行）。由于是线性近似，这可以通过初始点选择或可行性恢复步骤保证。
  • 屏障参数 \(\mu^k > 0\) 控制惩罚强度：\(\mu^k\) 大时，解靠近可行域内部；\(\mu^k\) 小时，解靠近边界。自适应机制会根据约束违反程度调整 \(\mu^k\)。

步骤4：用梯度投影法求解无约束子问题

由于问题是无约束（除了盒式约束 \(\mathcal{X}\)），我们可以用梯度投影法（GPM）求解 \(\min_{x \in \mathcal{X}} \Phi_k(x; \mu^k)\)。

  • 计算 \(\Phi_k\) 在 \(x\) 处的梯度：

\[\nabla_x \Phi_k = \nabla \tilde{f}_k(x) - \mu^k \sum_{i=1}^m \frac{1}{\tilde{c}_{i,k}(x)} \nabla \tilde{c}_{i,k}(x) \]

其中 \(\nabla \tilde{f}_k(x) = \nabla f(x^k) + B_k (x - x^k)\)，\(\nabla \tilde{c}_{i,k}(x) = \nabla c_i(x^k)\)。

  • 梯度投影迭代：从当前点 \(y^0 = x^k\) 开始，进行迭代 \(t=0,1,\ldots\)：

\[y^{t+1} = P_{\mathcal{X}} \left( y^t - \alpha_t \nabla_x \Phi_k(y^t; \mu^k) \right) \]

其中 \(P_{\mathcal{X}}(z)\) 是到 \(\mathcal{X}\) 的投影（即对每个分量 \(z_j\) 截断到区间 \([l_j, u_j]\)），\(\alpha_t\) 是步长（可通过线搜索确定）。当 \(\| y^{t+1} - y^t \|\) 足够小或达到最大内迭代次数时停止，记解为 \(\tilde{x}^k\)。

步骤5：接受性与自适应更新

计算实际目标改进与预测改进之比：

\[\rho_k = \frac{f(x^k) - f(\tilde{x}^k)}{\tilde{f}_k(x^k) - \tilde{f}_k(\tilde{x}^k)} \]

  • 如果 \(\rho_k \ge \eta\)（如 \(\eta=0.1\)），则接受步：\(x^{k+1} = \tilde{x}^k\)。
  • 否则拒绝步：\(x^{k+1} = x^k\)，并缩小信赖域半径 \(\Delta^{k+1} = \tau \Delta^k\)。

同时，自适应更新屏障参数：

  • 计算约束违反度：\(V_k = \max(0, c_i(\tilde{x}^k))\) 的最大值或平方和。
  • 如果 \(V_k\) 较大，说明近似约束太松，需增大屏障惩罚：\(\mu^{k+1} = \gamma \mu^k\)。
  • 如果 \(V_k\) 很小，说明近似较准，可减小屏障参数以接近边界：\(\mu^{k+1} = \tau \mu^k\)。

步骤6：检查收敛

如果满足以下任一条件，则停止并输出 \(x^{k+1}\)：

  1. \(\| x^{k+1} - x^k \| < \epsilon\) 且 \(\| \nabla_x L(x^{k+1}, \lambda^{k+1}) \| < \epsilon\)（其中 \(L\) 是拉格朗日函数）。
  2. 约束违反度 \(V_k < \epsilon\) 且目标变化很小。
  3. 达到最大迭代次数 \(K\)。

否则，令 \(k := k+1\)，更新 \(B_k\)（用BFGS公式），返回步骤2。

3. 算法特点与优势

  • 处理非凸性：SCA将非凸问题转化为一系列凸子问题，保证子问题可高效求解。
  • 保证可行性：自适应屏障函数迫使迭代点趋向可行域内部，避免过早靠近边界导致的数值困难。
  • 简单约束处理：梯度投影法高效处理盒式约束，无需额外优化子程序。
  • 自适应平衡：通过 \(\rho_k\) 控制步长接受，通过 \(\mu^k\) 控制约束违反，算法在可行性和最优性间自适应调整。

4. 简单例子演示

考虑问题：

\[\min f(x) = (x_1-3)^2 + (x_2-2)^2, \quad \text{s.t. } c(x)=x_1^2 + x_2^2 - 4 \le 0, \quad 0 \le x_1, x_2 \le 3. \]

  • 初始化：\(x^0=(1,1), \mu^0=1, \Delta^0=1\)。
  • 在 \(x^0\) 处线性化 \(c(x)\)：\(\tilde{c}(x) = 1 + 2(x_1-1) + 2(x_2-1) \le 0\)。
  • 构建屏障子问题：\(\min_{0\le x_1,x_2\le3} (x_1-3)^2+(x_2-2)^2 - \mu^0 \log(-\tilde{c}(x))\)。
  • 用梯度投影求解该子问题，得 \(\tilde{x}^0 \approx (1.5,1.5)\)。
  • 计算 \(\rho_0\)：若改进充分，则接受，并更新 \(\mu^1\) 等。
  • 重复直到收敛到近似解 \(x^* \approx (1.2,1.6)\)（在圆边界附近）。

5. 总结

这个混合算法利用了SCA的凸化、SQP的快速局部收敛、屏障函数的可行性控制以及梯度投影的简单约束处理。它特别适用于目标/约束非凸但可微、且带有简单集合约束的问题。通过自适应调整参数，算法能在可行性、最优性和计算效率之间取得平衡。

非线性规划中的序列二次规划-序列凸近似-自适应屏障-梯度投影混合算法基础题 我将为你讲解一个结合序列二次规划（SQP）、序列凸近似（SCA）、自适应屏障函数和梯度投影的混合算法，用于求解一类带不等式约束的非线性规划问题。这个算法融合了多种方法的优势，以处理非凸、高维或计算复杂的优化问题。 1. 题目描述 考虑如下非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ & x \in \mathcal{X} \end{aligned} \] 其中： 目标函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是连续可微但可能非凸。 不等式约束函数 \( c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是连续可微，也可能非凸。 集合 \( \mathcal{X} = \{ x \mid l \leq x \leq u \} \) 是一个简单的盒式约束（闭矩形区域），\( l, u \in \mathbb{R}^n \) 是上下界向量。盒式约束使得投影操作容易计算。 我们的目标是设计一个混合算法，在每一步迭代中： 使用序列凸近似（SCA）将原非凸问题近似为一个凸子问题。 在子问题上应用序列二次规划（SQP）框架，利用自适应屏障函数处理不等式约束，确保迭代点严格可行或适当松弛。 用梯度投影法（GPM）处理盒式约束 \( \mathcal{X} \)，确保迭代点始终满足简单约束。 通过自适应机制调整屏障参数和信赖域半径，平衡可行性和最优性。 2. 算法原理与步骤详解 这个混合算法的核心思想是 分层处理 ：用SCA处理非凸性，用SQP处理光滑约束，用屏障函数处理不等式约束，用梯度投影处理简单集合约束。 步骤1：初始化 选择一个初始点 \( x^0 \in \mathcal{X} \)（即满足盒式约束）。 设置初始屏障参数 \( \mu^0 > 0 \)（例如 \( \mu^0 = 1 \)），初始信赖域半径 \( \Delta^0 > 0 \)。 选择参数：收缩因子 \( \tau \in (0,1) \)（用于更新 \( \mu \)），增长因子 \( \gamma > 1 \)，接受阈值 \( \eta \in (0,1) \)。 设定收敛容差 \( \epsilon > 0 \)，最大迭代次数 \( K \)。 步骤2：构建凸近似子问题（SCA阶段） 在第 \( k \) 次迭代，当前点为 \( x^k \)。我们对非凸函数 \( f(x) \) 和 \( c_ i(x) \) 进行凸近似。常用的一阶凸近似是： 目标函数近似：\( \tilde{f}_ k(x) = f(x^k) + \nabla f(x^k)^T (x - x^k) + \frac{1}{2} (x - x^k)^T B_ k (x - x^k) \)。 约束函数近似：\( \tilde{c}_ {i,k}(x) = c_ i(x^k) + \nabla c_ i(x^k)^T (x - x^k) \)。 这里 \( B_ k \) 是Hessian矩阵的近似（如BFGS更新得到的正定矩阵），保证 \( \tilde{f} k(x) \) 是凸二次函数。\( \tilde{c} {i,k}(x) \) 是线性函数，因此是凸的。 子问题变为： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{f} k(x) \\ \text{s.t.} \quad & \tilde{c} {i,k}(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ & x \in \mathcal{X} \end{aligned} \] 这是一个 凸二次规划（QP） ，因为目标为凸二次，约束为线性不等式和盒式约束。 步骤3：整合自适应屏障函数 为了便于求解并控制可行性，我们将不等式约束 \( \tilde{c} {i,k}(x) \leq 0 \) 用对数屏障函数惩罚，得到无约束子问题： \[ \min {x \in \mathcal{X}} \quad \Phi_ k(x; \mu^k) = \tilde{f} k(x) - \mu^k \sum {i=1}^m \log(-\tilde{c}_ {i,k}(x)) \] 注意： 对数屏障要求 \( \tilde{c}_ {i,k}(x) < 0 \)（严格可行）。由于是线性近似，这可以通过初始点选择或可行性恢复步骤保证。 屏障参数 \( \mu^k > 0 \) 控制惩罚强度：\( \mu^k \) 大时，解靠近可行域内部；\( \mu^k \) 小时，解靠近边界。自适应机制会根据约束违反程度调整 \( \mu^k \)。 步骤4：用梯度投影法求解无约束子问题 由于问题是无约束（除了盒式约束 \( \mathcal{X} \)），我们可以用梯度投影法（GPM）求解 \( \min_ {x \in \mathcal{X}} \Phi_ k(x; \mu^k) \)。 计算 \( \Phi_ k \) 在 \( x \) 处的梯度： \[ \nabla_ x \Phi_ k = \nabla \tilde{f} k(x) - \mu^k \sum {i=1}^m \frac{1}{\tilde{c} {i,k}(x)} \nabla \tilde{c} {i,k}(x) \] 其中 \( \nabla \tilde{f} k(x) = \nabla f(x^k) + B_ k (x - x^k) \)，\( \nabla \tilde{c} {i,k}(x) = \nabla c_ i(x^k) \)。 梯度投影迭代：从当前点 \( y^0 = x^k \) 开始，进行迭代 \( t=0,1,\ldots \)： \[ y^{t+1} = P_ {\mathcal{X}} \left( y^t - \alpha_ t \nabla_ x \Phi_ k(y^t; \mu^k) \right) \] 其中 \( P_ {\mathcal{X}}(z) \) 是到 \( \mathcal{X} \) 的投影（即对每个分量 \( z_ j \) 截断到区间 \([ l_ j, u_ j]\)），\( \alpha_ t \) 是步长（可通过线搜索确定）。当 \( \| y^{t+1} - y^t \| \) 足够小或达到最大内迭代次数时停止，记解为 \( \tilde{x}^k \)。 步骤5：接受性与自适应更新 计算实际目标改进与预测改进之比： \[ \rho_ k = \frac{f(x^k) - f(\tilde{x}^k)}{\tilde{f}_ k(x^k) - \tilde{f}_ k(\tilde{x}^k)} \] 如果 \( \rho_ k \ge \eta \)（如 \( \eta=0.1 \)），则接受步：\( x^{k+1} = \tilde{x}^k \)。 否则拒绝步：\( x^{k+1} = x^k \)，并缩小信赖域半径 \( \Delta^{k+1} = \tau \Delta^k \)。 同时，自适应更新屏障参数： 计算约束违反度：\( V_ k = \max(0, c_ i(\tilde{x}^k)) \) 的最大值或平方和。 如果 \( V_ k \) 较大，说明近似约束太松，需增大屏障惩罚：\( \mu^{k+1} = \gamma \mu^k \)。 如果 \( V_ k \) 很小，说明近似较准，可减小屏障参数以接近边界：\( \mu^{k+1} = \tau \mu^k \)。 步骤6：检查收敛 如果满足以下任一条件，则停止并输出 \( x^{k+1} \)： \( \| x^{k+1} - x^k \| < \epsilon \) 且 \( \| \nabla_ x L(x^{k+1}, \lambda^{k+1}) \| < \epsilon \)（其中 \( L \) 是拉格朗日函数）。 约束违反度 \( V_ k < \epsilon \) 且目标变化很小。 达到最大迭代次数 \( K \)。 否则，令 \( k := k+1 \)，更新 \( B_ k \)（用BFGS公式），返回步骤2。 3. 算法特点与优势 处理非凸性 ：SCA将非凸问题转化为一系列凸子问题，保证子问题可高效求解。 保证可行性 ：自适应屏障函数迫使迭代点趋向可行域内部，避免过早靠近边界导致的数值困难。 简单约束处理 ：梯度投影法高效处理盒式约束，无需额外优化子程序。 自适应平衡 ：通过 \( \rho_ k \) 控制步长接受，通过 \( \mu^k \) 控制约束违反，算法在可行性和最优性间自适应调整。 4. 简单例子演示 考虑问题： \[ \min f(x) = (x_ 1-3)^2 + (x_ 2-2)^2, \quad \text{s.t. } c(x)=x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \le 0, \quad 0 \le x_ 1, x_ 2 \le 3. \] 初始化：\( x^0=(1,1), \mu^0=1, \Delta^0=1 \)。 在 \( x^0 \) 处线性化 \( c(x) \)：\( \tilde{c}(x) = 1 + 2(x_ 1-1) + 2(x_ 2-1) \le 0 \)。 构建屏障子问题：\( \min_ {0\le x_ 1,x_ 2\le3} (x_ 1-3)^2+(x_ 2-2)^2 - \mu^0 \log(-\tilde{c}(x)) \)。 用梯度投影求解该子问题，得 \( \tilde{x}^0 \approx (1.5,1.5) \)。 计算 \( \rho_ 0 \)：若改进充分，则接受，并更新 \( \mu^1 \) 等。 重复直到收敛到近似解 \( x^* \approx (1.2,1.6) \)（在圆边界附近）。 5. 总结 这个混合算法利用了SCA的凸化、SQP的快速局部收敛、屏障函数的可行性控制以及梯度投影的简单约束处理。它特别适用于目标/约束非凸但可微、且带有简单集合约束的问题。通过自适应调整参数，算法能在可行性、最优性和计算效率之间取得平衡。