最小环问题（有向图与无向图的 Floyd 算法解法）

字数 2753 2025-12-18 20:35:40

最小环问题（有向图与无向图的 Floyd 算法解法）

题目描述

在一个带权图中（可以是有向图或无向图，边权可以是正、负或零，但不允许存在负权环），我们想要找出图中总边权最小的环。这个环至少需要包含两个顶点（在无向图中，一条边直接连接两个顶点构成一个环，但通常我们更关注至少包含三个不同顶点的简单环）。这就是最小环问题。

核心思想

我们可以利用全源最短路径的思想。考虑一个环，它由顶点 $i$ 和 $j$ 之间的最短路径，以及一条直接连接 $i$ 和 $j$ 的边构成。Floyd-Warshall 算法在动态规划的过程中，恰好能让我们在计算所有顶点对最短路径的同时，捕捉到这样的环。

解题步骤详述

我们以有向图为例进行说明，无向图的处理类似但稍有不同。

问题定义与符号约定
- 设图有 $n$ 个顶点，顶点编号从 $1$ 到 $n$。
- 用邻接矩阵 dist[][] 来存储最短路径信息。初始时，dist[i][i] = 0。如果存在从 $i$ 到 $j$ 的边，则 dist[i][j] 为该边的权值；否则，dist[i][j] = INF（一个很大的数，表示无穷远）。
- 用另一个矩阵 direct[][] 来存储原始的、直接的边权（即邻接矩阵的初始值），在算法过程中保持不变。这是为了在计算环权值时，我们能获取到顶点间的直接边权，而不是可能被其他路径更新的最短路径权值。
- 我们的目标是找到一个最小值 min_cycle = min(dist[i][j] + direct[j][i])，其中 $i \neq j$，并且 dist[i][j] 和 direct[j][i] 都不是无穷大。这表示从 $i$ 到 $j$ 的最短路径，再加上从 $j$ 直接回到 $i$ 的边，构成了一个环。
算法框架：在 Floyd-Warshall 中嵌入检测
Floyd-Warshall 的主循环是一个三重循环，最外层枚举“中间点” $k$：
```
for k from 1 to n:
    for i from 1 to n:
        for j from 1 to n:
            if dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]:
                dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]
```
其含义是：在考虑了前 $k$ 个顶点作为中间点之后，dist[i][j] 存储的是从 $i$ 到 $j$ 的最短路径长度，且该路径上所有中间点的编号都 $\le k$。

最小环的检测时机：
当我们以 $k$ 作为中间点更新所有 dist[i][j] 之前，此时 dist[i][j] 存储的是只使用编号小于 $k$ 的顶点作为中间点时，从 $i$ 到 $j$ 的最短路径长度。
考虑一个经过顶点 $k$ 的环。我们可以把它看作是从 $k$ 出发，经过一些编号小于 $k$ 的顶点，到达某个顶点 $i$（路径1），再从 $i$ 出发，经过一些编号小于 $k$ 的顶点，到达某个顶点 $j$（路径2），最后通过一条直接边从 $j$ 回到 $k$。
更精确且简单的形式是：**在当前这个 $k$ 的迭代中，在更新任何 dist[i][j] 之前，dist[i][j] 表示从 $i$ 到 $j$ 且中间点编号都 < k\) 的最短路径。** 那么，对于所有满足 $i < k$ 且 $j < k$ 的顶点对 $(i, j)$，路径 dist[i][j]不会经过 $k$ 本身。此时，如果我们有一条从 $j$ 直接到 $k$ 的边（权值为direct[j][k]），和一条从 $k$ 直接到 $i$ 的边（权值为 direct[k][i]），那么 dist[i][j] + direct[j][k] + direct[k][i]` 就构成了一个经过顶点 $k$，且以 $i, j, k$ 为部分顶点的环。我们检查所有这样的 $i, j$ 来更新最小环值。

具体算法步骤

初始化：
- 读入图，构建 direct 矩阵，表示直接的边权。
- 将 dist 矩阵初始化为 direct 矩阵的拷贝。
- min_cycle = INF。

主循环：

for k in range(1, n+1):
    # 步骤1：检测以 k 为最大编号顶点的环
    for i in range(1, k): # 保证 i, j 编号小于 k
        for j in range(1, k):
            if i != j: # 避免无意义的自环
                # 检查路径 i->...->j 和边 j->k, k->i 是否都存在
                if dist[i][j] < INF and direct[j][k] < INF and direct[k][i] < INF:
                    cycle_weight = dist[i][j] + direct[j][k] + direct[k][i]
                    min_cycle = min(min_cycle, cycle_weight)

    # 步骤2：标准的 Floyd-Warshall 更新，将 k 作为中间点引入
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            if dist[i][k] < INF and dist[k][j] < INF:
                new_dist = dist[i][k] + dist[k][j]
                if new_dist < dist[i][j]:
                    dist[i][j] = new_dist

结果输出：
- 如果 min_cycle 仍然是 INF，则说明图中不存在环（在无向图中，至少需要三个不同顶点的环）。
- 否则，min_cycle 就是最小环的边权之和。

无向图的处理
对于无向图，算法基本一致，但需要注意两点：
- 无向图的边是双向的，所以 direct[i][j] = direct[j][i] = w。
- 在检测环时，公式变为 dist[i][j] + direct[j][k] + direct[k][i]。由于无向图中 direct[j][k] 和 direct[k][i] 都存在（如果对应边存在），这表示一个从 $i$ 到 $j$ 的路径，加上边 $j-k$ 和边 $k-i$ 构成的环。
- 为了避免将一条边来回走两次（i->j 的边，然后 j->i 的同一条边）这种平凡的二边环误认为环，我们通常要求环至少包含三个不同的顶点。在我们的循环中，i, j, k 是三个不同的数（因为 i, j < k 且 i != j），所以自然保证了是至少三个顶点的环。如果要包含二边环，需要特殊处理。
算法复杂度与正确性
- 时间复杂度：与 Floyd-Warshall 算法相同，为 $O(n^3)$。因为我们在三重循环内部只增加了常数时间的操作。
- 空间复杂度：$O(n^2)$，用于存储两个 $n \times n$ 的矩阵。
- 正确性：算法枚举了所有可能的顶点 $k$ 作为环中“编号最大”的顶点。在考虑 $k$ 时，dist[i][j] 存储的是不经过 $k$ 的、$i$ 到 $j$ 的最短路径。因此，dist[i][j] + direct[j][k] + direct[k][i] 确实代表了一个经过 $k$，且内部顶点编号都小于 $k$ 的环。我们取所有 $k$ 对应的最小值，就覆盖了所有可能的环。

总结

你学习了如何利用 Floyd-Warshall 算法的动态规划过程，巧妙地嵌入最小环的检测逻辑。其核心洞察是：在将顶点 $k$ 正式引入作为中间点之前，利用当前已知的、不经过 $k$ 的最短路径信息，与关联 $k$ 的直接边组合成环。这个方法能同时处理有向图和无向图（注意无向图对二边环的界定），且在 $O(n^3)$ 时间内求解稠密图的最小环问题是相当高效的。

最小环问题（有向图与无向图的 Floyd 算法解法）题目描述在一个带权图中（可以是有向图或无向图，边权可以是正、负或零，但不允许存在负权环），我们想要找出图中总边权最小的环。这个环至少需要包含两个顶点（在无向图中，一条边直接连接两个顶点构成一个环，但通常我们更关注至少包含三个不同顶点的简单环）。这就是最小环问题。核心思想我们可以利用全源最短路径的思想。考虑一个环，它由顶点 $i$ 和 $j$ 之间的最短路径，以及一条直接连接 $i$ 和 $j$ 的边构成。Floyd-Warshall 算法在动态规划的过程中，恰好能让我们在计算所有顶点对最短路径的同时，捕捉到这样的环。解题步骤详述我们以有向图为例进行说明，无向图的处理类似但稍有不同。问题定义与符号约定设图有 $n$ 个顶点，顶点编号从 $1$ 到 $n$。用邻接矩阵 dist[][] 来存储最短路径信息。初始时， dist[i][i] = 0 。如果存在从 $i$ 到 $j$ 的边，则 dist[i][j] 为该边的权值；否则， dist[i][j] = INF （一个很大的数，表示无穷远）。用另一个矩阵 direct[][] 来存储原始的、直接的边权（即邻接矩阵的初始值），在算法过程中保持不变。这是为了在计算环权值时，我们能获取到顶点间的直接边权，而不是可能被其他路径更新的最短路径权值。我们的目标是找到一个最小值 min_cycle = min(dist[i][j] + direct[j][i]) ，其中 $i \neq j$，并且 dist[i][j] 和 direct[j][i] 都不是无穷大。这表示从 $i$ 到 $j$ 的最短路径，再加上从 $j$ 直接回到 $i$ 的边，构成了一个环。算法框架：在 Floyd-Warshall 中嵌入检测 Floyd-Warshall 的主循环是一个三重循环，最外层枚举“中间点” $k$：其含义是：在考虑了前 $k$ 个顶点作为中间点之后， dist[i][j] 存储的是从 $i$ 到 $j$ 的最短路径长度，且该路径上所有中间点的编号都 $\le k$。最小环的检测时机：当我们以 $k$ 作为中间点更新所有 dist[i][j] 之前，此时 dist[i][j] 存储的是只使用编号小于 $k$ 的顶点作为中间点时，从 $i$ 到 $j$ 的最短路径长度。考虑一个经过顶点 $k$ 的环。我们可以把它看作是从 $k$ 出发，经过一些编号小于 $k$ 的顶点，到达某个顶点 $i$（路径1），再从 $i$ 出发，经过一些编号小于 $k$ 的顶点，到达某个顶点 $j$（路径2），最后通过一条直接边从 $j$ 回到 $k$。更精确且简单的形式是：** 在当前这个 $k$ 的迭代中，在更新任何 dist[i][j] 之前， dist[i][j] 表示从 $i$ 到 $j$ 且中间点编号都 < k\) 的最短路径。** 那么，对于所有满足 $i < k$ 且 $j < k$ 的顶点对 $(i, j)$，路径 dist[ i][ j] 不会经过 $k$ 本身。此时，如果我们有一条从 $j$ 直接到 $k$ 的边（权值为 direct[ j][ k] ），和一条从 $k$ 直接到 $i$ 的边（权值为 direct[ k][ i] ），那么 dist[ i][ j] + direct[ j][ k] + direct[ k][ i] ` 就构成了一个经过顶点 $k$，且以 $i, j, k$ 为部分顶点的环。我们检查所有这样的 $i, j$ 来更新最小环值。具体算法步骤初始化：读入图，构建 direct 矩阵，表示直接的边权。将 dist 矩阵初始化为 direct 矩阵的拷贝。 min_cycle = INF 。主循环：结果输出：如果 min_cycle 仍然是 INF ，则说明图中不存在环（在无向图中，至少需要三个不同顶点的环）。否则， min_cycle 就是最小环的边权之和。无向图的处理对于无向图，算法基本一致，但需要注意两点：无向图的边是双向的，所以 direct[i][j] = direct[j][i] = w 。在检测环时，公式变为 dist[i][j] + direct[j][k] + direct[k][i] 。由于无向图中 direct[j][k] 和 direct[k][i] 都存在（如果对应边存在），这表示一个从 $i$ 到 $j$ 的路径，加上边 $j-k$ 和边 $k-i$ 构成的环。为了避免将一条边来回走两次（ i->j 的边，然后 j->i 的同一条边）这种平凡的二边环误认为环，我们通常要求环至少包含三个不同的顶点。在我们的循环中， i , j , k 是三个不同的数（因为 i, j < k 且 i != j ），所以自然保证了是至少三个顶点的环。如果要包含二边环，需要特殊处理。算法复杂度与正确性时间复杂度：与 Floyd-Warshall 算法相同，为 $O(n^3)$。因为我们在三重循环内部只增加了常数时间的操作。空间复杂度：$O(n^2)$，用于存储两个 $n \times n$ 的矩阵。正确性：算法枚举了所有可能的顶点 $k$ 作为环中“编号最大”的顶点。在考虑 $k$ 时， dist[i][j] 存储的是不经过 $k$ 的、$i$ 到 $j$ 的最短路径。因此， dist[i][j] + direct[j][k] + direct[k][i] 确实代表了一个经过 $k$，且内部顶点编号都小于 $k$ 的环。我们取所有 $k$ 对应的最小值，就覆盖了所有可能的环。总结你学习了如何利用 Floyd-Warshall 算法的动态规划过程，巧妙地嵌入最小环的检测逻辑。其核心洞察是：在将顶点 $k$ 正式引入作为中间点之前，利用当前已知的、不经过 $k$ 的最短路径信息，与关联 $k$ 的直接边组合成环。这个方法能同时处理有向图和无向图（注意无向图对二边环的界定），且在 $O(n^3)$ 时间内求解稠密图的最小环问题是相当高效的。