最小度生成树（Minimum Degree Spanning Tree, MDST）的精确算法（Branch and Bound）
字数 4526 2025-12-18 20:24:44

最小度生成树（Minimum Degree Spanning Tree, MDST）的精确算法（Branch and Bound）

题目描述
给定一个无向连通图 \(G = (V, E)\)，每条边可能有权重（权重为非负实数，或均为单位权重1），目标是找到一棵生成树 \(T\)，使得 \(T\) 中所有顶点的最大度数（即树中与每个顶点相连的边数）尽可能小。换句话说，我们希望最小化生成树的“最大度数” \(\Delta(T) = \max_{v \in V} \deg_T(v)\)，其中 \(\deg_T(v)\) 表示顶点 \(v\) 在树 \(T\) 中的度数。这个问题被称为“最小度生成树”（Minimum Degree Spanning Tree, MDST），它是 NP-难问题。我们需要一个精确算法来求解，分支定界（Branch and Bound）是处理此类组合优化问题的经典策略。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题理解与建模

  • 输入：无向连通图 \(G=(V, E)\)，\(|V|=n\)，\(|E|=m\)。通常边带权，但本问题中“度”是首要优化目标，权重可能用于辅助决策（如相同最大度时选择总权重小的树）。
  • 输出：一棵生成树 \(T\)，最小化 \(\Delta(T)\)。
  • 关键难点：生成树必须连通且无环，顶点度数的全局约束是组合的，直接枚举所有生成树不可行（共有 \(n^{n-2}\) 棵生成树，Cayley公式）。
  • 精确解法思路：采用分支定界框架，系统地搜索可能的生成树结构，并通过上下界剪枝避免全枚举。

2. 分支定界框架概述
分支定界包含两个核心操作：

  • 分支（Branch）：将问题分解为若干子问题，通常通过固定某些决策（例如固定某条边在树中与否）。
  • 定界（Bound）：对每个子问题计算一个下界（对于最小化问题，下界表示该子问题中任何解的目标值不会低于此值），如果下界超过当前已知最优解的值，则剪枝该分支。

对于MDST，我们可以这样设计：

  • 状态表示：当前已选边的集合 \(S\)（必须在树中）和已禁边的集合 \(F\)（一定不在树中）。
  • 初始状态：\(S = \emptyset\)，\(F = \emptyset\)。
  • 分支决策：选择一条尚未决定的边 \(e\)，分支为两个子问题：① 将 \(e\) 加入 \(S\)（必须选），② 将 \(e\) 加入 \(F\)（不选）。
  • 界限计算：对每个状态 \((S, F)\)，快速计算一个下界 \(LB(S, F)\)，表示从该状态扩展出的任何生成树的最大度数至少为 \(LB(S, F)\)。同时维护一个全局上界 \(UB\)（当前找到的最好解的最大度数）。
  • 搜索策略：通常采用深度优先搜索（DFS）以节省内存，并配合启发式顺序选择分支边。

3. 计算下界（关键步骤）
下界越紧，剪枝越有效。对于状态 \((S, F)\)，我们可以计算多个下界并取最大值：

(a) 度数下界
设 \(deg_S(v)\) 为在已选边集 \(S\) 中顶点 \(v\) 当前的度数。因为最终树中 \(v\) 的度数至少为 \(deg_S(v)\)，所以任何可行解的最大度数至少为 \(\max_{v} deg_S(v)\)。记 \(LB_1 = \max_{v \in V} deg_S(v)\)。

(b) 连通性下界
生成树需连通，因此每个连通分量最终必须通过边连接起来。设当前 \(S\) 将顶点划分为 \(k\) 个连通分量 \(C_1, C_2, ..., C_k\)。为了将它们连成一棵树，至少需要 \(k-1\) 条连接边（即不在 \(S\) 中且未被禁的边）。考虑每个分量 \(C_i\)，设其包含的顶点数为 \(|C_i|\)。在最终树中，分量内部可能还需要添加边以形成树结构，但更关键的是：分量中每个顶点 \(v\) 的度数不能超过目标值 \(d\)。因此，对于每个分量，其所有顶点的度数总和必须满足约束，这可以推导出更精细的下界。

(c) 最小度生成树的下界公式（利用握手定理）
假设我们猜测目标最大度数为 \(d\)。那么在最终树中，每个顶点 \(v\) 的度数 \(\le d\)。由握手定理，树的总度数为 \(2(n-1)\)，因此有：

\[\sum_{v \in V} \deg_T(v) = 2(n-1) \le n \cdot d \]

从而 \(d \ge \lceil 2(n-1)/n \rceil\)。更一般地，对当前状态 \((S, F)\)，设 \(deg_S(v)\) 已固定，剩余可用的度数容量为 \(d - deg_S(v)\)。要使得存在一棵最大度不超过 \(d\) 的生成树，必须满足：

  1. 对于每个顶点，\(deg_S(v) \le d\)（否则不可能）。
  2. 剩余可用的度数总和必须足够连接所有分量并形成树。

(d) 利用最小割的下界（更高级）
对于每个顶点 \(v\)，考虑当前状态下的“可用边”集合 \(E' = E \setminus F\)（即尚未被禁的边）。顶点 \(v\) 在最终树中的度数最多为 \(d\)，因此从 \(v\) 出发最多还能选择 \(d - deg_S(v)\) 条边。这些边必须从 \(E'\) 中与 \(v\) 相关联的边里选。如果与 \(v\) 相关联的可用边数小于 \(d - deg_S(v)\)，则目标 \(d\) 不可能实现。更进一步，对任意顶点子集 \(U \subseteq V\)，考虑连接 \(U\) 和 \(V\setminus U\) 的可用边数量（即割边数）。在最终树中，连接 \(U\) 与补集的边数至少为 1（以保证连通性），但受度数限制，这个数量也有限制。可以推导出线性规划形式的下界，但在分支定界中通常用简单快速的下界。

实际常用下界：取 \(LB = \max(LB_1, LB_2)\)，其中 \(LB_2 = \lceil 2(n-1)/n \rceil\) 是全局理论下界，但更有效的是结合连通分量数：如果当前有 \(k\) 个连通分量，则至少需要 \(k-1\) 条边来连接它们，每条边贡献 2 度，所以平均每个顶点至少需要 \(2(k-1)/n\) 的额外度数，但这较松。实践中，直接采用 \(LB_1\) 并辅以可行性检测即可。

4. 可行性检测（定界中的剪枝）
对于状态 \((S, F)\) 和目标度数上界 \(UB\)（当前最优解的最大度数），我们检测是否存在最大度数不超过 \(UB-1\) 的生成树（因为我们想找到比当前更好的解）。这可以转化为一个度数受限生成树问题：是否存在一棵生成树，使得每个顶点 \(v\) 的度数不超过 \(cap(v) = UB-1\)？该问题可在多项式时间解决：

  • 方法：转化为最大生成树问题。对每条边赋予权重 \(w'(e) = 1\)（或原权重），但通过二分搜索或递增检查。更直接的算法是使用“拟阵交”或“最小生成树与度数约束”的调整算法，但实现复杂。
  • 实用简化：在分支定界中，我们只需快速检测“明显不可能”的情况。例如，如果存在顶点 \(v\) 使得 \(deg_S(v) > UB-1\)，则剪枝。或者，如果某个顶点的可用边数不足 \(UB-1 - deg_S(v)\)，则剪枝。更彻底的检测可以用网络流：构造一个流网络，源点连接到每个顶点，容量为 \(cap(v) - deg_S(v)\)，每条边作为一个节点连接到汇点，容量为1，检查最大流是否至少为 \(n-1-|S|\)（还需保证连通性）。但实现较复杂，通常用简单条件剪枝已足够。

5. 分支策略
选择哪条边进行分支影响搜索效率。启发式策略：

  • 选择与当前度数最高的顶点相关联的边。因为高度数顶点是瓶颈，尽早确定它们的边有助于快速提高下界或导致剪枝。
  • 选择连接不同连通分量的边优先，因为这类边对连通性必要，且不形成环。
  • 在递归中，优先尝试“选择该边”的分支，因为生成树需要 \(n-1\) 条边，通常选择边更容易达到可行解，从而更新上界 \(UB\)。

6. 算法步骤总结

  1. 初始化全局上界 \(UB = n-1\)（最坏情况，生成树是链，最大度数为2，但实际可能更高，但简单取 \(n-1\) 安全）。
  2. 调用分支定界递归函数 search(S, F)：
    a. 如果 \(S\) 包含环，则返回（不可行）。
    b. 如果 \(S\) 中边数超过 \(n-1\)，返回。
    c. 计算当前下界 \(LB = \max_{v} deg_S(v)\)。
    d. 如果 \(LB \ge UB\)，剪枝返回。
    e. 如果 \(S\) 恰好有 \(n-1\) 条边且连通，则找到一棵生成树，更新 \(UB = \min(UB, LB)\) 并记录解，返回。
    f. 选择一条未决定的边 \(e \in E \setminus (S \cup F)\) 进行分支。
    g. 递归调用 search(S ∪ {e}, F)（选择边）。
    h. 递归调用 search(S, F ∪ {e})（不选边）。
  3. 输出记录的最优解。

7. 优化技巧

  • 排序边：按关联顶点当前度数从高到低排序可选边。
  • 连通性检查：用并查集维护 \(S\) 的连通分量，快速检测环和连通性。
  • 上界初始化：先用贪心或启发式算法（如优先扩展低度数顶点的 Prim 变种）找到一个较好的生成树，以其最大度数作为初始 \(UB\)，加速剪枝。
  • 对称性破缺：对于无权重图，避免重复搜索同构树。

8. 复杂度与适用性

  • 分支定界是指数复杂度，但通过有效剪枝，能在中小规模图（如 \(n \le 30\)）得到精确解。
  • 对于大规模图，通常用近似算法（如反复删边减度数）或启发式。

9. 实例演示（简例）
考虑一个4个顶点的环 \(C_4\)，顶点为 \(\{1,2,3,4\}\)，边为 \((1,2),(2,3),(3,4),(4,1)\)。我们希望找到最大度数最小的生成树。

  • 最优解：删除任意一条边得到一棵树，所有顶点度数为1或2，最大度数为2。
  • 分支定界过程：初始 \(UB=3\)。选择边 \((1,2)\) 分支。
    • 选 \((1,2)\)：此时度数 \(deg(1)=1, deg(2)=1\)，下界 \(LB=1\)。继续分支，最终找到树（如选 \((2,3),(3,4)\)），最大度数为2，更新 \(UB=2\)。
    • 不选 \((1,2)\)：继续搜索，但最终任何树都必须有3条边，总会有一个顶点度数达到2，所以下界可能达到2，不会超过 \(UB\)。
      最终找到最优最大度数为2。

总结
最小度生成树的精确算法通过分支定界系统地搜索边集空间，利用度数下界、连通性约束和可行性检测剪枝，从而在可接受时间内求得精确解。尽管问题NP难，该框架在中小规模图上可行，且提供了算法设计的经典范例。

最小度生成树（Minimum Degree Spanning Tree, MDST）的精确算法（Branch and Bound） 题目描述 给定一个无向连通图 \(G = (V, E)\)，每条边可能有权重（权重为非负实数，或均为单位权重1），目标是找到一棵生成树 \(T\)，使得 \(T\) 中所有顶点的最大度数（即树中与每个顶点相连的边数）尽可能小。换句话说，我们希望最小化生成树的“最大度数” \(\Delta(T) = \max_ {v \in V} \deg_ T(v)\)，其中 \(\deg_ T(v)\) 表示顶点 \(v\) 在树 \(T\) 中的度数。这个问题被称为“最小度生成树”（Minimum Degree Spanning Tree, MDST），它是 NP-难问题。我们需要一个精确算法来求解，分支定界（Branch and Bound）是处理此类组合优化问题的经典策略。 解题过程循序渐进讲解 1. 问题理解与建模 输入：无向连通图 \(G=(V, E)\)，\(|V|=n\)，\(|E|=m\)。通常边带权，但本问题中“度”是首要优化目标，权重可能用于辅助决策（如相同最大度时选择总权重小的树）。 输出：一棵生成树 \(T\)，最小化 \(\Delta(T)\)。 关键难点：生成树必须连通且无环，顶点度数的全局约束是组合的，直接枚举所有生成树不可行（共有 \(n^{n-2}\) 棵生成树，Cayley公式）。 精确解法思路：采用 分支定界 框架，系统地搜索可能的生成树结构，并通过上下界剪枝避免全枚举。 2. 分支定界框架概述 分支定界包含两个核心操作： 分支（Branch） ：将问题分解为若干子问题，通常通过固定某些决策（例如固定某条边在树中与否）。 定界（Bound） ：对每个子问题计算一个下界（对于最小化问题，下界表示该子问题中任何解的目标值不会低于此值），如果下界超过当前已知最优解的值，则剪枝该分支。 对于MDST，我们可以这样设计： 状态表示：当前已选边的集合 \(S\)（必须在树中）和已禁边的集合 \(F\)（一定不在树中）。 初始状态：\(S = \emptyset\)，\(F = \emptyset\)。 分支决策：选择一条尚未决定的边 \(e\)，分支为两个子问题：① 将 \(e\) 加入 \(S\)（必须选），② 将 \(e\) 加入 \(F\)（不选）。 界限计算：对每个状态 \((S, F)\)，快速计算一个下界 \(LB(S, F)\)，表示从该状态扩展出的任何生成树的最大度数至少为 \(LB(S, F)\)。同时维护一个全局上界 \(UB\)（当前找到的最好解的最大度数）。 搜索策略：通常采用深度优先搜索（DFS）以节省内存，并配合启发式顺序选择分支边。 3. 计算下界（关键步骤） 下界越紧，剪枝越有效。对于状态 \((S, F)\)，我们可以计算多个下界并取最大值： (a) 度数下界 设 \(deg_ S(v)\) 为在已选边集 \(S\) 中顶点 \(v\) 当前的度数。因为最终树中 \(v\) 的度数至少为 \(deg_ S(v)\)，所以任何可行解的最大度数至少为 \(\max_ {v} deg_ S(v)\)。记 \(LB_ 1 = \max_ {v \in V} deg_ S(v)\)。 (b) 连通性下界 生成树需连通，因此每个连通分量最终必须通过边连接起来。设当前 \(S\) 将顶点划分为 \(k\) 个连通分量 \(C_ 1, C_ 2, ..., C_ k\)。为了将它们连成一棵树，至少需要 \(k-1\) 条连接边（即不在 \(S\) 中且未被禁的边）。考虑每个分量 \(C_ i\)，设其包含的顶点数为 \(|C_ i|\)。在最终树中，分量内部可能还需要添加边以形成树结构，但更关键的是：分量中每个顶点 \(v\) 的度数不能超过目标值 \(d\)。因此，对于每个分量，其所有顶点的度数总和必须满足约束，这可以推导出更精细的下界。 (c) 最小度生成树的下界公式（利用握手定理） 假设我们猜测目标最大度数为 \(d\)。那么在最终树中，每个顶点 \(v\) 的度数 \(\le d\)。由握手定理，树的总度数为 \(2(n-1)\)，因此有： \[ \sum_ {v \in V} \deg_ T(v) = 2(n-1) \le n \cdot d \] 从而 \(d \ge \lceil 2(n-1)/n \rceil\)。更一般地，对当前状态 \((S, F)\)，设 \(deg_ S(v)\) 已固定，剩余可用的度数容量为 \(d - deg_ S(v)\)。要使得存在一棵最大度不超过 \(d\) 的生成树，必须满足： 对于每个顶点，\(deg_ S(v) \le d\)（否则不可能）。 剩余可用的度数总和必须足够连接所有分量并形成树。 (d) 利用最小割的下界（更高级） 对于每个顶点 \(v\)，考虑当前状态下的“可用边”集合 \(E' = E \setminus F\)（即尚未被禁的边）。顶点 \(v\) 在最终树中的度数最多为 \(d\)，因此从 \(v\) 出发最多还能选择 \(d - deg_ S(v)\) 条边。这些边必须从 \(E'\) 中与 \(v\) 相关联的边里选。如果与 \(v\) 相关联的可用边数小于 \(d - deg_ S(v)\)，则目标 \(d\) 不可能实现。更进一步，对任意顶点子集 \(U \subseteq V\)，考虑连接 \(U\) 和 \(V\setminus U\) 的可用边数量（即割边数）。在最终树中，连接 \(U\) 与补集的边数至少为 1（以保证连通性），但受度数限制，这个数量也有限制。可以推导出线性规划形式的下界，但在分支定界中通常用简单快速的下界。 实际常用下界 ：取 \(LB = \max(LB_ 1, LB_ 2)\)，其中 \(LB_ 2 = \lceil 2(n-1)/n \rceil\) 是全局理论下界，但更有效的是结合连通分量数：如果当前有 \(k\) 个连通分量，则至少需要 \(k-1\) 条边来连接它们，每条边贡献 2 度，所以平均每个顶点至少需要 \(2(k-1)/n\) 的额外度数，但这较松。实践中，直接采用 \(LB_ 1\) 并辅以可行性检测即可。 4. 可行性检测（定界中的剪枝） 对于状态 \((S, F)\) 和目标度数上界 \(UB\)（当前最优解的最大度数），我们检测是否存在最大度数不超过 \(UB-1\) 的生成树（因为我们想找到比当前更好的解）。这可以转化为一个 度数受限生成树 问题：是否存在一棵生成树，使得每个顶点 \(v\) 的度数不超过 \(cap(v) = UB-1\)？该问题可在多项式时间解决： 方法：转化为 最大生成树问题 。对每条边赋予权重 \(w'(e) = 1\)（或原权重），但通过二分搜索或递增检查。更直接的算法是使用“拟阵交”或“最小生成树与度数约束”的调整算法，但实现复杂。 实用简化：在分支定界中，我们只需快速检测“明显不可能”的情况。例如，如果存在顶点 \(v\) 使得 \(deg_ S(v) > UB-1\)，则剪枝。或者，如果某个顶点的可用边数不足 \(UB-1 - deg_ S(v)\)，则剪枝。更彻底的检测可以用网络流：构造一个流网络，源点连接到每个顶点，容量为 \(cap(v) - deg_ S(v)\)，每条边作为一个节点连接到汇点，容量为1，检查最大流是否至少为 \(n-1-|S|\)（还需保证连通性）。但实现较复杂，通常用简单条件剪枝已足够。 5. 分支策略 选择哪条边进行分支影响搜索效率。启发式策略： 选择与当前度数最高的顶点相关联的边。因为高度数顶点是瓶颈，尽早确定它们的边有助于快速提高下界或导致剪枝。 选择连接不同连通分量的边优先，因为这类边对连通性必要，且不形成环。 在递归中，优先尝试“选择该边”的分支，因为生成树需要 \(n-1\) 条边，通常选择边更容易达到可行解，从而更新上界 \(UB\)。 6. 算法步骤总结 初始化全局上界 \(UB = n-1\)（最坏情况，生成树是链，最大度数为2，但实际可能更高，但简单取 \(n-1\) 安全）。 调用分支定界递归函数 search(S, F) ： a. 如果 \(S\) 包含环，则返回（不可行）。 b. 如果 \(S\) 中边数超过 \(n-1\)，返回。 c. 计算当前下界 \(LB = \max_ {v} deg_ S(v)\)。 d. 如果 \(LB \ge UB\)，剪枝返回。 e. 如果 \(S\) 恰好有 \(n-1\) 条边且连通，则找到一棵生成树，更新 \(UB = \min(UB, LB)\) 并记录解，返回。 f. 选择一条未决定的边 \(e \in E \setminus (S \cup F)\) 进行分支。 g. 递归调用 search(S ∪ {e}, F) （选择边）。 h. 递归调用 search(S, F ∪ {e}) （不选边）。 输出记录的最优解。 7. 优化技巧 排序边 ：按关联顶点当前度数从高到低排序可选边。 连通性检查 ：用并查集维护 \(S\) 的连通分量，快速检测环和连通性。 上界初始化 ：先用贪心或启发式算法（如优先扩展低度数顶点的 Prim 变种）找到一个较好的生成树，以其最大度数作为初始 \(UB\)，加速剪枝。 对称性破缺 ：对于无权重图，避免重复搜索同构树。 8. 复杂度与适用性 分支定界是指数复杂度，但通过有效剪枝，能在中小规模图（如 \(n \le 30\)）得到精确解。 对于大规模图，通常用近似算法（如反复删边减度数）或启发式。 9. 实例演示（简例） 考虑一个4个顶点的环 \(C_ 4\)，顶点为 \(\{1,2,3,4\}\)，边为 \((1,2),(2,3),(3,4),(4,1)\)。我们希望找到最大度数最小的生成树。 最优解：删除任意一条边得到一棵树，所有顶点度数为1或2，最大度数为2。 分支定界过程：初始 \(UB=3\)。选择边 \((1,2)\) 分支。 选 \((1,2)\)：此时度数 \(deg(1)=1, deg(2)=1\)，下界 \(LB=1\)。继续分支，最终找到树（如选 \((2,3),(3,4)\)），最大度数为2，更新 \(UB=2\)。 不选 \((1,2)\)：继续搜索，但最终任何树都必须有3条边，总会有一个顶点度数达到2，所以下界可能达到2，不会超过 \(UB\)。 最终找到最优最大度数为2。 总结 最小度生成树的精确算法通过分支定界系统地搜索边集空间，利用度数下界、连通性约束和可行性检测剪枝，从而在可接受时间内求得精确解。尽管问题NP难，该框架在中小规模图上可行，且提供了算法设计的经典范例。