合并相邻字符形成目标串的最小操作次数问题（相邻字符可合并，合并有成本，求最小总成本）

题目描述
给定一个由小写字母组成的源字符串 s，长度为 n。你可以重复进行以下操作：选择两个相邻的字符 c1 和 c2，将它们合并成一个新字符，新字符可以是任意小写字母，但需要支付一定的成本。成本由一个 26×26 的矩阵 cost[26][26] 给出，其中 cost[i][j] 表示将字符 i（'a' 对应索引 0，'z' 对应索引 25）和字符 j 合并为任意一个字符的固定成本。注意：合并后得到的新字符可以是任意字母，不影响后续操作的成本计算，即成本只与合并的两个原始字符有关，与生成的新字符无关。你的目标是通过一系列合并操作，将整个源字符串 s 最终合并成单个字符，求所需的最小总成本。

例如：

• 输入：s = "ab"，cost 矩阵中 cost[0][1] = 2（假设其余成本为 0）。
• 输出：2
• 解释：将 'a' 和 'b' 合并，成本为 2，得到单个字符，总成本为 2。

问题本质
这是一个典型的区间动态规划问题。我们需要将整个字符串通过不断合并相邻字符最终变成一个字符，每次合并的成本由被合并的两个字符决定。目标是找到一种合并顺序，使得总成本最小。

解题步骤

1. 状态定义
定义 dp[l][r] 表示将字符串 s 的子串 s[l:r]（左闭右闭区间）合并成一个字符所需的最小成本。

• 子串长度为 1 时，已经是一个字符，不需要合并，成本为 0。
• 子串长度 > 1 时，我们需要通过若干次合并将其变成一个字符。

2. 状态转移
对于区间 [l, r]，长度大于 1，如何将其合并成一个字符？
我们可以考虑最后一次合并操作：在合并过程的最后一步，我们将区间 [l, r] 分成两部分：[l, k] 和 [k+1, r]，其中 l ≤ k < r。

• 首先，将 [l, k] 合并成一个字符（假设这个字符是 x）。
• 然后，将 [k+1, r] 合并成一个字符（假设这个字符是 y）。
• 最后，将 x 和 y 合并，得到最终的一个字符。这一步的成本是 cost[charIndex(x)][charIndex(y)]。

但是这里有个问题：在 DP 状态中，我们只记录了合并成一个字符的最小成本，但并没有记录这个字符是什么。而最后一步合并的成本依赖于 x 和 y 的具体字符。
因此，我们需要扩展状态，记录合并后可能得到的字符。

3. 状态扩展
定义 dp[l][r][c] 表示将子串 s[l:r] 合并成字符 c（c 是 0 到 25 的整数，代表小写字母）所需的最小成本。如果不可能合并成字符 c，则值为无穷大（表示不可行）。
那么最终答案是 min_{c} dp[0][n-1][c]，即合并成任意字符的最小成本。

4. 状态转移方程

• 如果区间长度为 1，即 l == r，那么只有当 c 等于 s[l] 对应的字符时，成本为 0；否则为无穷大（因为不能变成其他字符而不经过合并）。
• 如果长度 > 1，我们需要考虑如何将区间分成两部分，并分别合并成两个字符，然后最后一步合并成 c。
  但是注意：合并操作的成本只与合并的两个原始字符有关，而与合并后生成的新字符无关。也就是说，从字符 x 和 y 合并，可以生成任意字符，且成本固定为 cost[x][y]。
  因此，对于 dp[l][r][c]，我们可以枚举最后一次合并的分割点 k，以及左边部分合并成的字符 a，右边部分合并成的字符 b，那么：

  dp[l][r][c] = min_{l ≤ k < r} min_{a, b} ( dp[l][k][a] + dp[k+1][r][b] + cost[a][b] )
  

  注意：这里合并成 c 并没有额外成本，因为 cost[a][b] 已经包含了合并 a 和 b 的成本，并且合并后我们可以认为得到了字符 c（实际上合并后生成什么字符不影响后续，因为成本只与 a 和 b 有关）。
  所以，c 其实在这个状态转移中并不影响成本，它只是表示我们最终想要得到字符 c。但题目不要求最终一定是特定字符，所以我们最终取所有 c 的最小值即可。
  实际上，我们可以简化状态：因为成本与合并成的字符无关，我们只需要知道合并成某个字符的最小成本，而最终答案就是所有字符的最小值。
  所以，状态可以简化为 dp[l][r] 表示将子串 [l, r] 合并成任意一个字符所需的最小总成本。转移时：

  dp[l][r] = min_{l ≤ k < r} ( dp[l][k] + dp[k+1][r] + minCostOfMerge(leftChar, rightChar) )
  

  但这里 leftChar 和 rightChar 是左边区间合并成的字符和右边区间合并成的字符，而 minCostOfMerge(leftChar, rightChar) 是合并这两个字符的最小成本，但我们不知道左边和右边分别合并成了什么字符。
  所以，我们仍然需要记录合并成的字符信息。

5. 优化状态转移
定义 dp[l][r][c] 为将子串合并成字符 c 的最小成本。
转移方程：
对于每个区间 [l, r]，每个字符 c，枚举分割点 k，以及左边字符 a，右边字符 b，则：

dp[l][r][c] = min_{l ≤ k < r} min_{a, b} ( dp[l][k][a] + dp[k+1][r][b] + cost[a][b] )

这里 c 并不出现在等式右边，因为合并 a 和 b 的成本与生成的新字符无关。但注意：我们要求最终是字符 c，而合并 a 和 b 可以生成任意字符，所以只要我们选择 a 和 b 使得合并后可以生成 c 就行？但题目没有限制生成的字符，所以实际上我们不需要关心生成的字符是什么，因为最终字符可以是任意字符。
因此，dp[l][r][c] 对于不同的 c 其实值是一样的？并不是，因为不同的 c 对应的合并路径可能不同，但成本只取决于合并的两个字符，与生成的字符无关，所以对于给定的区间，合并成不同字符的最小成本可能不同，因为为了得到特定字符，可能需要不同的合并顺序。
但在这个问题中，由于合并成本与生成的字符无关，为了得到字符 c，我们可以在最后一步任意选择 a 和 b，只要成本最小即可，而不必关心 a 和 b 是什么。
所以，我们可以将状态再简化：dp[l][r] 表示将区间合并成一个字符的最小成本，而不关心这个字符是什么。
转移时，我们枚举分割点 k，以及左边合并成的字符 a 和右边合并成的字符 b，但 a 和 b 是什么？我们不知道，但我们可以从子问题知道：将左边区间合并成字符 a 的最小成本是 dpLeft[a]，类似右边是 dpRight[b]。
但这样我们需要在状态中记录字符信息，否则无法知道合并成特定字符的成本。
所以，我们必须用三维状态 dp[l][r][c]。

6. 最终的状态转移方程
初始化：对于长度为 1 的区间 [i, i]，dp[i][i][s[i]] = 0，其他字符为无穷大。
对于区间 [l, r]，长度 len 从 2 到 n，枚举分割点 k，枚举字符 a 和 b，则：

dp[l][r][c] = min(dp[l][r][c], dp[l][k][a] + dp[k+1][r][b] + cost[a][b])

注意：这里 c 是什么？实际上，合并 a 和 b 后，我们可以认为得到了字符 c，但 c 可以是任意字符，且成本与 c 无关。所以，我们可以在计算完 dp[l][r][c] 后，对于所有 c 取相同值？不对，因为 dp[l][k][a] 和 dp[k+1][r][b] 可能对于不同的 a 和 b 不同，所以 dp[l][r][c] 可能依赖于 c，但成本项 cost[a][b] 与 c 无关。
实际上，对于固定的 a 和 b，合并成本固定，所以 dp[l][r][c] 对于所有 c 都是一样的，因为我们可以将 a 和 b 合并，并声称得到了字符 c。
因此，我们可以进一步简化：状态 dp[l][r] 表示合并成一个字符的最小成本，转移时：

dp[l][r] = min_{l ≤ k < r} ( min_{a, b} ( dp[l][k][a] + dp[k+1][r][b] + cost[a][b] ) )

这里 dp[l][k][a] 是子区间合并成字符 a 的最小成本，但我们并没有在 dp[l][r] 中记录字符信息。
所以，我们需要维护一个辅助数组 best[l][r][a] 表示将区间合并成字符 a 的最小成本，然后计算 dp[l][r] 时，枚举 a 和 b，取 best[l][k][a] + best[k+1][r][b] + cost[a][b] 的最小值。
但最后，dp[l][r] 就是 min_a best[l][r][a]。
所以，我们只需要维护 best[l][r][a] 即可。

7. 最终状态定义与转移
定义 f[l][r][c] 表示将子串 s[l..r] 合并成字符 c 的最小成本。
初始化：f[i][i][s[i]] = 0，其他为无穷大。
转移：对于区间 [l, r]，枚举分割点 k，枚举左边字符 a，右边字符 b，则：

f[l][r][c] = min_{l ≤ k < r} min_{a, b} ( f[l][k][a] + f[k+1][r][b] + cost[a][b] )

这里 c 实际上可以是任意字符，因为合并 a 和 b 后我们可以声明得到了字符 c，且成本与 c 无关。所以，对于不同的 c，f[l][r][c] 的值是一样的。
那么我们可以省略 c，只记录 dp[l][r] 为合并成一个字符的最小成本，转移时：

dp[l][r] = min_{l ≤ k < r} ( min_{a, b} ( f[l][k][a] + f[k+1][r][b] + cost[a][b] ) )

但我们需要 f 来知道合并成特定字符的成本。
我们可以用 dp[l][r] 表示最小成本，同时用 charCost[l][r][c] 记录合并成字符 c 的最小成本，但 charCost[l][r][c] 可以通过 dp[l][r] 推导吗？不能，因为不同字符的成本路径可能不同。
所以，我们必须维护三维状态 f[l][r][c]。

8. 实现细节

• 状态维度：n x n x 26，n 为字符串长度。
• 初始化：f[i][i][s[i]-'a'] = 0，其他为 INF。
• 状态转移：枚举区间长度 len 从 2 到 n，枚举左端点 l，右端点 r = l + len - 1，枚举分割点 k 从 l 到 r-1，枚举左边字符 a（0..25），右边字符 b（0..25），则：

  cost_merge = cost[a][b]
  for c in 0..25:
      f[l][r][c] = min(f[l][r][c], f[l][k][a] + f[k+1][r][b] + cost_merge)
  

  注意：这里合并成字符 c 并不需要额外条件，因为合并 a 和 b 后我们可以认为得到 c，且成本不变。
  但这样会导致 f[l][r][c] 对于所有 c 都相同，因为对于同一个 (a, b)，成本相同，且我们可以声明得到任意 c。
  实际上，我们可以优化：我们不需要枚举 c，因为对于给定的 (a, b)，我们可以将 f[l][k][a] + f[k+1][r][b] + cost[a][b] 同时更新到所有 f[l][r][c]。
  但这样复杂度较高。我们可以改为：先计算 tmp = min_{a, b} ( f[l][k][a] + f[k+1][r][b] + cost[a][b] )，然后将这个 tmp 赋值给所有 f[l][r][c]。
  但注意：不同的 (a, b) 组合可能得到不同的 tmp，我们要取所有 (a, b) 中最小的 tmp，然后 f[l][r][c] 就取这个最小 tmp。
  所以，实际上 f[l][r][c] 对于不同 c 是一样的。
  那么我们可以将状态简化为 dp[l][r]，表示合并成一个字符的最小成本。转移时：

  dp[l][r] = min_{l ≤ k < r} ( min_{a, b} ( f[l][k][a] + f[k+1][r][b] + cost[a][b] ) )
  

  但这里 f 是三维的，我们需要它来获取合并成特定字符的成本。但如果我们只关心最小成本，而不关心合并成什么字符，我们可以用 dp[l][r] 直接表示最小成本，并用另一个二维数组 best[l][r][c] 记录合并成字符 c 的最小成本，但这样又回到三维。
  一个巧妙的做法是：我们不需要记录合并成特定字符的成本，因为合并成任意字符的最小成本就是 dp[l][r]，但转移时需要知道左右区间合并成什么字符，因为合并成本依赖于这两个字符。
  所以，我们不得不用三维状态。

9. 最终三维状态转移方程

f[l][r][c] = min_{l ≤ k < r} min_{a, b} ( f[l][k][a] + f[k+1][r][b] + cost[a][b] )

初始化：f[i][i][s[i]-'a'] = 0，其他为 INF。
最终答案：min_{c} f[0][n-1][c]。

时间复杂度：O(n^3 * 26^2)，因为区间 O(n^2)，分割点 O(n)，枚举字符 a 和 b 是 2626。
空间复杂度：O(n^2 26)。

10. 示例推导
假设 s = "ab"，cost[a][b] = 2，其他为 0。
初始化：f[0][0]['a'] = 0，f[1][1]['b'] = 0。
计算区间 [0,1]：
枚举 k=0，左边字符 a='a'，右边字符 b='b'，则 cost = 2，所以 f[0][1][c] = min( f[0][0]['a'] + f[1][1]['b'] + 2 ) = 2，对所有 c 都一样。
最终答案：min_c f[0][1][c] = 2。

11. 核心要点

• 因为合并成本只依赖于被合并的两个字符，与生成的新字符无关，所以状态转移时不需要关心生成什么字符。
• 但为了计算合并成本，我们需要知道左右两部分合并成的字符，所以状态必须记录合并成的字符。
• 最终答案是所有可能字符的最小成本。

总结
本题是区间 DP 的典型应用，通过三维状态记录区间合并成特定字符的最小成本，转移时枚举分割点和左右字符组合，加上合并成本，最终取最小值。通过合理定义状态，我们可以正确处理合并操作的成本依赖问题。