非线性规划中的外推内点法（Extrapolated Interior-Point Method）进阶题
字数 3707 2025-12-18 18:45:02

非线性规划中的外推内点法（Extrapolated Interior-Point Method）进阶题

题目描述：
考虑如下非线性规划问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

\[ \text{s.t.} \quad c_i(x) \ge 0, \quad i = 1, \dots, m, \]

其中 \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(c_i : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是二阶连续可微函数，且至少有一个可行内点（即存在 \(x\) 使 \(c_i(x) > 0\) 对所有 \(i\) 成立）。假设问题满足约束规范（如LICQ）。现有标准内点法基于对数障碍函数：

\[B(x, \mu) = f(x) - \mu \sum_{i=1}^m \log c_i(x), \]

其中 \(\mu > 0\) 是障碍参数。外推内点法旨在通过预测-校正机制，加速 \(\mu \to 0\) 的收敛过程。给定当前迭代点 \((x_k, \lambda_k)\)（\(\lambda \in \mathbb{R}^m\) 为拉格朗日乘子估计）和障碍参数 \(\mu_k\)，任务如下：

  1. 推导外推步：利用当前和先前迭代信息，预测下一个障碍参数 \(\mu_{k+1}\) 及对应的近似解。
  2. 设计校正步：求解一个扰动KKT系统，使迭代点回到中心路径邻域。
  3. 分析外推步的局部超线性收敛条件。

解题过程：

步骤1：回顾标准内点法框架
内点法求解扰动KKT条件：

\[\nabla f(x) - \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla c_i(x) = 0, \]

\[ \lambda_i c_i(x) = \mu, \quad i=1,\dots,m, \]

\[ c_i(x) \ge 0, \ \lambda_i \ge 0. \]

定义 \(z = (x, \lambda)\)，扰动KKT系统为 \(F_\mu(z) = 0\)，其中

\[F_\mu(z) = \begin{bmatrix} \nabla f(x) - J_c(x)^\top \lambda \\ \Lambda c(x) - \mu e \end{bmatrix}, \]

这里 \(J_c(x)\) 是约束函数 \(c(x) = (c_1(x), \dots, c_m(x))^\top\) 的雅可比矩阵，\(\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda)\)，\(e = (1,\dots,1)^\top\)。

步骤2：外推步设计
假设已有连续两个迭代点 \(z_{k-1}\) 和 \(z_k\)，对应参数 \(\mu_{k-1}\) 和 \(\mu_k\)。我们构建关于 \(\mu\) 的线性外推模型：

  • 近似中心路径 \(z(\mu)\) 满足 \(F_\mu(z(\mu)) = 0\)。
  • 利用一阶泰勒展开：

\[ z(\mu) \approx z_k + \frac{\mu - \mu_k}{\mu_k - \mu_{k-1}} (z_k - z_{k-1}). \]

为控制外推幅度，引入外推因子 \(\theta \in (0,1)\)，并设置预测参数：

\[\mu_{k+1}^p = \max\left( \mu_k \cdot \sigma, \ \mu_k \cdot \left( \frac{\mu_k}{\mu_{k-1}} \right)^\theta \right), \]

其中 \(\sigma \in (0,1)\) 是标准衰减因子（如 \(\sigma = 0.1\)）。预测点计算为：

\[z_{k+1}^p = z_k + \frac{\mu_{k+1}^p - \mu_k}{\mu_k - \mu_{k-1}} (z_k - z_{k-1}). \]

此步骤需要 \(\mu_k \neq \mu_{k-1}\) 且外推后保持 \(c_i(x_{k+1}^p) > 0, \lambda_{k+1}^p > 0\)，否则回退到标准内点步。

步骤3：校正步设计
校正步求解扰动KKT系统在预测点处的线性化方程。定义当前点 \(z = (x, \lambda)\)，我们求解牛顿方向 \(\Delta z = (\Delta x, \Delta \lambda)\)：

\[\nabla_{xx}^2 L(x, \lambda) \Delta x - J_c(x)^\top \Delta \lambda = -\left[ \nabla f(x) - J_c(x)^\top \lambda \right], \]

\[ \Lambda J_c(x) \Delta x + C(x) \Delta \lambda = -\left[ \Lambda c(x) - \mu_{k+1} e \right], \]

其中 \(L(x,\lambda) = f(x) - \lambda^\top c(x)\) 是拉格朗日函数，\(C(x) = \operatorname{diag}(c(x))\)。
使用预测点 \(z_{k+1}^p\) 作为线性化起点，解得方向 \(\Delta z\)，并更新：

\[z_{k+1} = z_{k+1}^p + \alpha \Delta z, \]

其中步长 \(\alpha \in (0,1]\) 通过回溯线搜索选取，确保 \(c_i(x) > 0, \lambda_i > 0\) 且满足某种中心性条件（如 \(\| \Lambda c(x) - \mu e \| \le \beta \mu\) 对某个 \(\beta > 0\)）。

步骤4：局部超线性收敛条件分析
在接近解 \(z^*\)（对应 \(\mu=0\)）时，分析外推步的加速效果。假设：

  1. 严格互补性成立（即 \(\lambda_i^* > 0\) 当 \(c_i(x^*) = 0\)，否则 \(\lambda_i^* = 0\)）。
  2. 二阶充分条件与LICQ成立。
  3. 障碍参数更新策略满足 \(\mu_{k+1} = O(\mu_k^{1+\gamma})\) 对某个 \(\gamma > 0\)。

则外推内点法产生的序列 \(\{z_k\}\) 满足：

\[\| z_{k+1} - z^* \| = O(\| z_k - z^* \|^{1+\min(\gamma,1)}), \]

即当 \(\gamma \ge 1\) 时可实现局部二次收敛。这要求外推因子 \(\theta\) 和衰减因子 \(\sigma\) 的选取使 \(\mu_{k+1}^p\) 足够小，且校正步的牛顿迭代具有高阶精度。

步骤5：算法流程总结

  1. 初始化：选择初始内点 \(z_0 = (x_0, \lambda_0)\) 满足 \(c(x_0) > 0, \lambda_0 > 0\)，初始障碍参数 \(\mu_0 > 0\)，衰减因子 \(\sigma \in (0,1)\)，外推因子 \(\theta \in (0,1)\)，容差 \(\epsilon > 0\)。
  2. 循环直到 \(\mu_k < \epsilon\)：
    • 外推预测：若 \(k \ge 1\)，计算 \(\mu_{k+1}^p\) 和 \(z_{k+1}^p\)；否则置 \(\mu_{k+1}^p = \sigma \mu_k, \ z_{k+1}^p = z_k\)。
    • 牛顿校正：以 \(z_{k+1}^p\) 为起点，求解扰动KKT系统的线性化方程得方向 \(\Delta z\)。
    • 线搜索：选择步长 \(\alpha\) 保持严格可行性与中心性。
    • 更新：\(z_{k+1} = z_{k+1}^p + \alpha \Delta z\)，更新 \(\mu_{k+1} = \mu_{k+1}^p\) 或适当调整。
  3. 输出近似最优解 \(x_{k+1}\)。

关键点：外推步通过利用历史信息预测下一个中心路径点，减少校正步的迭代次数，特别在 \(\mu\) 较小时加速明显。校正步确保迭代点保持在中心路径邻域内，维持算法的全局收敛性。

非线性规划中的外推内点法（Extrapolated Interior-Point Method）进阶题 题目描述： 考虑如下非线性规划问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] \[ \text{s.t.} \quad c_ i(x) \ge 0, \quad i = 1, \dots, m, \] 其中 \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 和 \( c_ i : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是二阶连续可微函数，且至少有一个可行内点（即存在 \( x \) 使 \( c_ i(x) > 0 \) 对所有 \( i \) 成立）。假设问题满足约束规范（如LICQ）。现有标准内点法基于对数障碍函数： \[ B(x, \mu) = f(x) - \mu \sum_ {i=1}^m \log c_ i(x), \] 其中 \( \mu > 0 \) 是障碍参数。外推内点法旨在通过预测-校正机制，加速 \( \mu \to 0 \) 的收敛过程。给定当前迭代点 \( (x_ k, \lambda_ k) \)（\( \lambda \in \mathbb{R}^m \) 为拉格朗日乘子估计）和障碍参数 \( \mu_ k \)，任务如下： 推导外推步：利用当前和先前迭代信息，预测下一个障碍参数 \( \mu_ {k+1} \) 及对应的近似解。 设计校正步：求解一个扰动KKT系统，使迭代点回到中心路径邻域。 分析外推步的局部超线性收敛条件。 解题过程： 步骤1：回顾标准内点法框架 内点法求解扰动KKT条件： \[ \nabla f(x) - \sum_ {i=1}^m \lambda_ i \nabla c_ i(x) = 0, \] \[ \lambda_ i c_ i(x) = \mu, \quad i=1,\dots,m, \] \[ c_ i(x) \ge 0, \ \lambda_ i \ge 0. \] 定义 \( z = (x, \lambda) \)，扰动KKT系统为 \( F_ \mu(z) = 0 \)，其中 \[ F_ \mu(z) = \begin{bmatrix} \nabla f(x) - J_ c(x)^\top \lambda \\ \Lambda c(x) - \mu e \end{bmatrix}, \] 这里 \( J_ c(x) \) 是约束函数 \( c(x) = (c_ 1(x), \dots, c_ m(x))^\top \) 的雅可比矩阵，\( \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda) \)，\( e = (1,\dots,1)^\top \)。 步骤2：外推步设计 假设已有连续两个迭代点 \( z_ {k-1} \) 和 \( z_ k \)，对应参数 \( \mu_ {k-1} \) 和 \( \mu_ k \)。我们构建关于 \( \mu \) 的线性外推模型： 近似中心路径 \( z(\mu) \) 满足 \( F_ \mu(z(\mu)) = 0 \)。 利用一阶泰勒展开： \[ z(\mu) \approx z_ k + \frac{\mu - \mu_ k}{\mu_ k - \mu_ {k-1}} (z_ k - z_ {k-1}). \] 为控制外推幅度，引入外推因子 \( \theta \in (0,1) \)，并设置预测参数： \[ \mu_ {k+1}^p = \max\left( \mu_ k \cdot \sigma, \ \mu_ k \cdot \left( \frac{\mu_ k}{\mu_ {k-1}} \right)^\theta \right), \] 其中 \( \sigma \in (0,1) \) 是标准衰减因子（如 \( \sigma = 0.1 \)）。预测点计算为： \[ z_ {k+1}^p = z_ k + \frac{\mu_ {k+1}^p - \mu_ k}{\mu_ k - \mu_ {k-1}} (z_ k - z_ {k-1}). \] 此步骤需要 \( \mu_ k \neq \mu_ {k-1} \) 且外推后保持 \( c_ i(x_ {k+1}^p) > 0, \lambda_ {k+1}^p > 0 \)，否则回退到标准内点步。 步骤3：校正步设计 校正步求解扰动KKT系统在预测点处的线性化方程。定义当前点 \( z = (x, \lambda) \)，我们求解牛顿方向 \( \Delta z = (\Delta x, \Delta \lambda) \)： \[ \nabla_ {xx}^2 L(x, \lambda) \Delta x - J_ c(x)^\top \Delta \lambda = -\left[ \nabla f(x) - J_ c(x)^\top \lambda \right ], \] \[ \Lambda J_ c(x) \Delta x + C(x) \Delta \lambda = -\left[ \Lambda c(x) - \mu_ {k+1} e \right ], \] 其中 \( L(x,\lambda) = f(x) - \lambda^\top c(x) \) 是拉格朗日函数，\( C(x) = \operatorname{diag}(c(x)) \)。 使用预测点 \( z_ {k+1}^p \) 作为线性化起点，解得方向 \( \Delta z \)，并更新： \[ z_ {k+1} = z_ {k+1}^p + \alpha \Delta z, \] 其中步长 \( \alpha \in (0,1] \) 通过回溯线搜索选取，确保 \( c_ i(x) > 0, \lambda_ i > 0 \) 且满足某种中心性条件（如 \( \| \Lambda c(x) - \mu e \| \le \beta \mu \) 对某个 \( \beta > 0 \)）。 步骤4：局部超线性收敛条件分析 在接近解 \( z^* \)（对应 \( \mu=0 \)）时，分析外推步的加速效果。假设： 严格互补性成立（即 \( \lambda_ i^* > 0 \) 当 \( c_ i(x^ ) = 0 \)，否则 \( \lambda_ i^ = 0 \)）。 二阶充分条件与LICQ成立。 障碍参数更新策略满足 \( \mu_ {k+1} = O(\mu_ k^{1+\gamma}) \) 对某个 \( \gamma > 0 \)。 则外推内点法产生的序列 \( \{z_ k\} \) 满足： \[ \| z_ {k+1} - z^* \| = O(\| z_ k - z^* \|^{1+\min(\gamma,1)}), \] 即当 \( \gamma \ge 1 \) 时可实现局部二次收敛。这要求外推因子 \( \theta \) 和衰减因子 \( \sigma \) 的选取使 \( \mu_ {k+1}^p \) 足够小，且校正步的牛顿迭代具有高阶精度。 步骤5：算法流程总结 初始化 ：选择初始内点 \( z_ 0 = (x_ 0, \lambda_ 0) \) 满足 \( c(x_ 0) > 0, \lambda_ 0 > 0 \)，初始障碍参数 \( \mu_ 0 > 0 \)，衰减因子 \( \sigma \in (0,1) \)，外推因子 \( \theta \in (0,1) \)，容差 \( \epsilon > 0 \)。 循环 直到 \( \mu_ k < \epsilon \)： 外推预测 ：若 \( k \ge 1 \)，计算 \( \mu_ {k+1}^p \) 和 \( z_ {k+1}^p \)；否则置 \( \mu_ {k+1}^p = \sigma \mu_ k, \ z_ {k+1}^p = z_ k \)。 牛顿校正 ：以 \( z_ {k+1}^p \) 为起点，求解扰动KKT系统的线性化方程得方向 \( \Delta z \)。 线搜索 ：选择步长 \( \alpha \) 保持严格可行性与中心性。 更新 ：\( z_ {k+1} = z_ {k+1}^p + \alpha \Delta z \)，更新 \( \mu_ {k+1} = \mu_ {k+1}^p \) 或适当调整。 输出 近似最优解 \( x_ {k+1} \)。 关键点 ：外推步通过利用历史信息预测下一个中心路径点，减少校正步的迭代次数，特别在 \( \mu \) 较小时加速明显。校正步确保迭代点保持在中心路径邻域内，维持算法的全局收敛性。