基于核的线性判别分析（Kernel Linear Discriminant Analysis, K-LDA）的原理与非线性降维分类过程

字数 3589 2025-12-18 16:54:10

基于核的线性判别分析（Kernel Linear Discriminant Analysis, K-LDA）的原理与非线性降维分类过程

题目描述

线性判别分析（LDA）是一种经典的监督降维和分类方法，其目标是找到一个投影方向，使得投影后数据的类间散度最大化，同时类内散度最小化。然而，传统LDA只能学习线性的投影方向，对于非线性可分的数据，其效果有限。

核线性判别分析（K-LDA）是LDA的核化扩展。它通过核技巧，将原始数据映射到一个高维（甚至无限维）的特征空间，然后在这个特征空间中执行标准的LDA。这样，K-LDA就能在特征空间中找到线性的判别方向，对应于原始输入空间的一个非线性判别边界，从而实现对复杂非线性模式数据的降维与分类。

接下来，我将详细讲解K-LDA的推导和计算过程。

解题过程

问题回顾：标准线性判别分析（LDA）
假设我们有训练样本集 { (x_i, y_i) }， i=1,...,N，其中 x_i ∈ R^d， y_i ∈ {1, 2, ..., C}，C是类别数。
LDA寻找一个投影矩阵 W ∈ R^{d×p} (p <= C-1)，将数据从d维投影到p维子空间，即 z_i = W^T x_i。
LDA的目标函数是最大化广义瑞利商：
J(W) = (W^T S_b W) / (W^T S_w W)
其中：
- S_b 是类间散度矩阵，衡量不同类别均值向量之间的差异。
  S_b = Σ_{c=1}^{C} N_c (m_c - m)(m_c - m)^T
- S_w 是类内散度矩阵，衡量每个类别内部样本的分散程度。
  S_w = Σ_{c=1}^{C} Σ_{i: y_i = c} (x_i - m_c)(x_i - m_c)^T
- m_c 是第c类样本的均值向量，m是所有样本的全局均值向量，N_c是第c类的样本数。
  求解W等价于求解广义特征值问题：S_b w = λ S_w w。取前p个最大特征值对应的特征向量构成W。
核技巧引入：从原始空间到特征空间
K-LDA的核心思想是，我们不再直接处理原始数据x，而是通过一个非线性映射函数 Φ: R^d -> H，将数据映射到一个高维（可能无限维）的特征空间H中。在H中，数据变为 {Φ(x_i)}。
我们的目标变为在特征空间H中找到一个投影方向v（v ∈ H），使得投影后的数据 v^T Φ(x) 具有最佳的类间分离性。即，最大化特征空间中的广义瑞利商：
J(v) = (v^T S_b^Φ v) / (v^T S_w^Φ v)
其中 S_b^Φ 和 S_w^Φ 是特征空间中的类间和类内散度矩阵，其定义与标准LDA类似，但将x替换为Φ(x)。
直接在高维空间H中求解v是困难的，因为Φ(x)的维度可能极高，且我们通常不知道Φ的具体形式。
表示定理与对偶形式：将v表示为数据的线性组合
根据表示定理，在特征空间H中，LDA的最优投影方向v可以表示为所有训练样本映射的线性组合：
v = Σ_{i=1}^{N} α_i Φ(x_i) = Φ α
其中 Φ = [Φ(x_1), Φ(x_2), ..., Φ(x_N)] 是一个算子（或理解为特征空间中的矩阵），α = [α_1, α_2, ..., α_N]^T 是对偶系数向量。
这个表示是K-LDA推导的关键，它将寻找高维空间中的向量v，转化为寻找N维系数向量α。
核矩阵与广义特征值问题的重构
将 v = Σ_i α_i Φ(x_i) 代入特征空间中的散度矩阵公式。
- 类内散度项 v^T S_w^Φ v：
  可以证明，v^T S_w^Φ v = α^T M α，其中 M = Σ_{c=1}^{C} (I_c - (1/N_c) 1_{c} 1_{c}^T) K (I_c - (1/N_c) 1_{c} 1_{c}^T)^T。
  这里，K是N×N的核矩阵，其元素 K_{ij} = <Φ(x_i), Φ(x_j)> = k(x_i, x_j)，k(·,·)是我们选择的核函数（如高斯核、多项式核）。I_c是一个对角矩阵，其第i个对角元素为1当且仅当样本i属于类别c，否则为0。1_c是一个N维向量，如果样本i属于类别c，则其第i个元素为1，否则为0。
- 类间散度项 v^T S_b^Φ v：
  可以证明，v^T S_b^Φ v = α^T N α，其中 N = Σ_{c=1}^{C} N_c (m^Φ_c - m^Φ)(m^Φ_c - m^Φ)^T，而 m^Φ_c 在特征空间中的均值向量可以通过核矩阵表示：m^Φ_c = (1/N_c) Σ_{i: y_i=c} Φ(x_i)。用核矩阵表示后，N = K B K^T，其中B是一个块对角矩阵，与类别信息相关。
- 最终的广义特征值问题：
  将上述表达式代入 J(v) = (v^T S_b^Φ v) / (v^T S_w^Φ v)，目标变为最大化 J(α) = (α^T N α) / (α^T M α)。
  这又转化为了一个关于系数向量α的广义特征值问题：N α = λ M α。
  求解这个广义特征值问题，取前p个最大特征值对应的特征向量α^(1), α^(2), ..., α^(p)。每个α^(k)是一个N维向量。
归一化处理
在特征空间H中，我们要求投影方向v是单位向量，即 v^T v = 1。将 v = Σ_i α_i Φ(x_i) 代入，得到：
v^T v = Σ_i Σ_j α_i α_j <Φ(x_i), Φ(x_j)> = α^T K α = 1。
因此，在求得广义特征向量α后，我们需要对其归一化，使得 α^T K α = 1。
投影与分类过程
- 训练阶段：我们得到了p个归一化后的系数向量 α^(1), ..., α^(p)。同时，我们也存储了训练数据的核矩阵K（或至少存储训练数据本身，用于后续计算核函数）。
- 测试阶段：对于一个新样本x_test，我们将其投影到K-LDA找到的p维子空间中。第k个投影坐标为：
  z_test^{(k)} = v^{(k)T} Φ(x_test) = (Σ_{i=1}^{N} α_i^{(k)} Φ(x_i))^T Φ(x_test) = Σ_{i=1}^{N} α_i^{(k)} k(x_i, x_test)
  计算非常简单，只需要计算新样本与所有训练样本的核函数值，再与对应的系数α_i^(k)加权求和。
- 分类：将得到的p维投影向量 z_test = [z_test^(1), ..., z_test^(p)]^T 作为新特征。我们可以在这个低维空间中，使用一个简单的分类器（如最近邻分类器、线性分类器）进行分类。由于K-LDA在特征空间中是线性判别，在原始空间中对应非线性边界，因此这个低维特征通常具有良好的类别可分性。
算法总结与注意事项
- 输入：训练数据X，标签y，核函数k(·,·)，降维维度p。
- 步骤：
  1. 计算训练样本间的核矩阵K。
  2. 根据类别标签，构造矩阵M和N。
  3. 求解广义特征值问题 N α = λ M α，得到前p个最大特征值对应的特征向量 α^(1), ..., α^(p)。
  4. 对每个α^(k)进行归一化：α^(k) <- α^(k) / sqrt(α^(k)T K α^(k))。
- 输出：归一化的系数向量 {α^(1), ..., α^(p)} 和训练数据X（用于计算测试数据的核函数）。
- 注意事项：
  - 小样本问题：矩阵M通常是奇异或接近奇异的，这会导致广义特征值问题数值不稳定。一个标准的解决方案是引入正则化，将M替换为 M + μI，其中μ是一个小的正数（正则化参数），I是单位矩阵。这被称为正则化K-LDA。
  - 核函数选择：高斯径向基核（RBF）是最常用的选择，因为它能将数据映射到无限维空间，且只有一个带宽参数σ需要调整。多项式核等也是常见选择。
  - 计算复杂度：主要开销在于求解规模为N×N的广义特征值问题，其中N是样本数。因此，K-LDA适用于中等规模的数据集。对于大规模数据，需要采用近似或稀疏化方法。

核心思想：K-LDA通过核技巧隐式地将数据映射到高维特征空间，并在该空间中寻找线性判别方向。其求解通过表示定理转化为对偶空间（由训练样本张成）中的广义特征值问题，最终只需计算样本间的核函数，而无需知道非线性映射Φ的具体形式，从而巧妙地实现了非线性判别分析。

基于核的线性判别分析（Kernel Linear Discriminant Analysis, K-LDA）的原理与非线性降维分类过程题目描述线性判别分析（LDA）是一种经典的监督降维和分类方法，其目标是找到一个投影方向，使得投影后数据的类间散度最大化，同时类内散度最小化。然而，传统LDA只能学习线性的投影方向，对于非线性可分的数据，其效果有限。核线性判别分析（K-LDA）是LDA的核化扩展。它通过核技巧，将原始数据映射到一个高维（甚至无限维）的特征空间，然后在这个特征空间中执行标准的LDA。这样，K-LDA就能在特征空间中找到线性的判别方向，对应于原始输入空间的一个非线性判别边界，从而实现对复杂非线性模式数据的降维与分类。接下来，我将详细讲解K-LDA的推导和计算过程。解题过程问题回顾：标准线性判别分析（LDA）假设我们有训练样本集 { (x_ i, y_ i) }， i=1,...,N，其中 x_ i ∈ R^d， y_ i ∈ {1, 2, ..., C}，C是类别数。 LDA寻找一个投影矩阵 W ∈ R^{d×p} (p <= C-1)，将数据从d维投影到p维子空间，即 z_ i = W^T x_ i。 LDA的目标函数是最大化广义瑞利商： J(W) = (W^T S_ b W) / (W^T S_ w W) 其中： S_ b 是类间散度矩阵，衡量不同类别均值向量之间的差异。 S_ b = Σ_ {c=1}^{C} N_ c (m_ c - m)(m_ c - m)^T S_ w 是类内散度矩阵，衡量每个类别内部样本的分散程度。 S_ w = Σ_ {c=1}^{C} Σ_ {i: y_ i = c} (x_ i - m_ c)(x_ i - m_ c)^T m_ c 是第c类样本的均值向量，m是所有样本的全局均值向量，N_ c是第c类的样本数。求解W等价于求解广义特征值问题：S_ b w = λ S_ w w。取前p个最大特征值对应的特征向量构成W。核技巧引入：从原始空间到特征空间 K-LDA的核心思想是，我们不再直接处理原始数据x，而是通过一个非线性映射函数 Φ: R^d -> H，将数据映射到一个高维（可能无限维）的特征空间H 中。在H中，数据变为 {Φ(x_ i)}。我们的目标变为在特征空间H中找到一个投影方向 v （v ∈ H），使得投影后的数据 v^T Φ(x) 具有最佳的类间分离性。即，最大化特征空间中的广义瑞利商： J(v) = (v^T S_ b^Φ v) / (v^T S_ w^Φ v) 其中 S_ b^Φ 和 S_ w^Φ 是特征空间中的类间和类内散度矩阵，其定义与标准LDA类似，但将x替换为Φ(x)。直接在高维空间H中求解v是困难的，因为Φ(x)的维度可能极高，且我们通常不知道Φ的具体形式。表示定理与对偶形式：将v表示为数据的线性组合根据表示定理，在特征空间H中，LDA的最优投影方向 v 可以表示为所有训练样本映射的线性组合： v = Σ_ {i=1}^{N} α_ i Φ(x_ i) = Φ α 其中 Φ = [ Φ(x_ 1), Φ(x_ 2), ..., Φ(x_ N)] 是一个算子（或理解为特征空间中的矩阵）， α = [ α_ 1, α_ 2, ..., α_ N ]^T 是对偶系数向量。这个表示是K-LDA推导的关键，它将寻找高维空间中的向量v，转化为寻找N维系数向量α。核矩阵与广义特征值问题的重构将 v = Σ_ i α_ i Φ(x_ i) 代入特征空间中的散度矩阵公式。类内散度项 v^T S_ w^Φ v：可以证明，v^T S_ w^Φ v = α^T M α ，其中 M = Σ_ {c=1}^{C} (I_ c - (1/N_ c) 1_ {c} 1_ {c}^T) K (I_ c - (1/N_ c) 1_ {c} 1_ {c}^T)^T。这里，K是N×N的核矩阵，其元素 K_ {ij} = <Φ(x_ i), Φ(x_ j)> = k(x_ i, x_ j)，k(·,·)是我们选择的核函数（如高斯核、多项式核）。I_ c是一个对角矩阵，其第i个对角元素为1当且仅当样本i属于类别c，否则为0。1_ c是一个N维向量，如果样本i属于类别c，则其第i个元素为1，否则为0。类间散度项 v^T S_ b^Φ v：可以证明，v^T S_ b^Φ v = α^T N α ，其中 N = Σ_ {c=1}^{C} N_ c (m^Φ_ c - m^Φ)(m^Φ_ c - m^Φ)^T，而 m^Φ_ c 在特征空间中的均值向量可以通过核矩阵表示：m^Φ_ c = (1/N_ c) Σ_ {i: y_ i=c} Φ(x_ i)。用核矩阵表示后，N = K B K^T，其中B是一个块对角矩阵，与类别信息相关。最终的广义特征值问题：将上述表达式代入 J(v) = (v^T S_ b^Φ v) / (v^T S_ w^Φ v)，目标变为最大化 J(α) = (α^T N α) / (α^T M α)。这又转化为了一个关于系数向量 α 的广义特征值问题： N α = λ M α 。求解这个广义特征值问题，取前p个最大特征值对应的特征向量 α^(1), α^(2), ..., α^(p) 。每个α^(k)是一个N维向量。归一化处理在特征空间H中，我们要求投影方向v是单位向量，即 v^T v = 1。将 v = Σ_ i α_ i Φ(x_ i) 代入，得到： v^T v = Σ_ i Σ_ j α_ i α_ j <Φ(x_ i), Φ(x_ j)> = α^T K α = 1。因此，在求得广义特征向量α后，我们需要对其归一化，使得 α^T K α = 1。投影与分类过程训练阶段：我们得到了p个归一化后的系数向量 α^(1), ..., α^(p)。同时，我们也存储了训练数据的核矩阵K（或至少存储训练数据本身，用于后续计算核函数）。测试阶段：对于一个新样本x_ test，我们将其投影到K-LDA找到的p维子空间中。第k个投影坐标为： z_ test^{(k)} = v^{(k)T} Φ(x_ test) = (Σ_ {i=1}^{N} α_ i^{(k)} Φ(x_ i))^T Φ(x_ test) = Σ_ {i=1}^{N} α_ i^{(k)} k(x_ i, x_ test) 计算非常简单，只需要计算新样本与所有训练样本的核函数值，再与对应的系数α_ i^(k)加权求和。分类：将得到的p维投影向量 z_ test = [ z_ test^(1), ..., z_ test^(p) ]^T 作为新特征。我们可以在这个低维空间中，使用一个简单的分类器（如最近邻分类器、线性分类器）进行分类。由于K-LDA在特征空间中是线性判别，在原始空间中对应非线性边界，因此这个低维特征通常具有良好的类别可分性。算法总结与注意事项输入：训练数据X，标签y，核函数k(·,·)，降维维度p。步骤：计算训练样本间的核矩阵K。根据类别标签，构造矩阵M和N。求解广义特征值问题 N α = λ M α，得到前p个最大特征值对应的特征向量 α^(1), ..., α^(p)。对每个α^(k)进行归一化：α^(k) <- α^(k) / sqrt(α^(k)T K α^(k))。输出：归一化的系数向量 {α^(1), ..., α^(p)} 和训练数据X（用于计算测试数据的核函数）。注意事项：小样本问题：矩阵M通常是奇异或接近奇异的，这会导致广义特征值问题数值不稳定。一个标准的解决方案是引入正则化，将M替换为 M + μI，其中μ是一个小的正数（正则化参数），I是单位矩阵。这被称为正则化K-LDA。核函数选择：高斯径向基核（RBF）是最常用的选择，因为它能将数据映射到无限维空间，且只有一个带宽参数σ需要调整。多项式核等也是常见选择。计算复杂度：主要开销在于求解规模为N×N的广义特征值问题，其中N是样本数。因此，K-LDA适用于中等规模的数据集。对于大规模数据，需要采用近似或稀疏化方法。核心思想：K-LDA通过核技巧隐式地将数据映射到高维特征空间，并在该空间中寻找线性判别方向。其求解通过表示定理转化为对偶空间（由训练样本张成）中的广义特征值问题，最终只需计算样本间的核函数，而无需知道非线性映射Φ的具体形式，从而巧妙地实现了非线性判别分析。