基于非均匀节点Lagrange插值的数值积分公式构造与误差分析
我将为你讲解如何基于非均匀节点的Lagrange插值多项式来构造数值积分公式，并分析其误差。这个问题是数值积分理论的基础，它连接了多项式插值与积分近似。
题目描述：
给定一组非均匀分布的节点 \(x_0, x_1, \dots, x_n \in [a, b]\)，以及函数 \(f(x)\) 在这些节点处的函数值 \(f(x_i)\)。目标是构造一个数值积分公式 \(I_n(f)\) 来近似计算定积分 \(I(f) = \int_a^b f(x) \, dx\)，并分析该公式的误差（截断误差）。
解题过程：
1. 核心思路：
如果我们用函数 \(f(x)\) 的 \(n\) 次 Lagrange 插值多项式 \(L_n(x)\) 来近似 \(f(x)\)，那么对 \(L_n(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上积分，就可以得到积分 \(I(f)\) 的一个近似。即：
\[I(f) = \int_a^b f(x) \, dx \approx \int_a^b L_n(x) \, dx =: I_n(f). \]
这个近似积分公式 \(I_n(f)\) 就称为 插值型求积公式。我们的任务是将其显式地写出来，并研究误差。
2. Lagrange插值多项式回顾：
给定节点 \(x_0, \dots, x_n\) 和函数值 \(f(x_0), \dots, f(x_n)\)，\(n\) 次 Lagrange 插值多项式为：
\[L_n(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i) \ell_i(x), \]
其中 \(\ell_i(x)\) 是 Lagrange 基多项式：
\[\ell_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}, \quad i=0,1,\dots,n. \]
基多项式 \(\ell_i(x)\) 满足性质：\(\ell_i(x_j) = \delta_{ij}\)（当 \(j=i\) 时为1，否则为0）。
3. 构造积分公式：
将 \(L_n(x)\) 的表达式代入积分：
\[I_n(f) = \int_a^b L_n(x) \, dx = \int_a^b \left[ \sum_{i=0}^n f(x_i) \ell_i(x) \right] dx. \]
积分是线性运算，可以交换求和与积分顺序：
\[I_n(f) = \sum_{i=0}^n f(x_i) \int_a^b \ell_i(x) \, dx. \]
现在定义 求积系数（也称为权重）：
\[A_i := \int_a^b \ell_i(x) \, dx, \quad i=0,1,\dots,n. \]
这些系数 \(A_i\) 只依赖于节点 \(\{x_i\}\) 和积分区间 \([a,b]\)，而与函数 \(f\) 无关。一旦节点给定，我们就可以预先计算出这些系数。
于是，插值型求积公式可写为：
\[I_n(f) = \sum_{i=0}^n A_i f(x_i). \]
这是一个典型的数值积分公式：用函数在节点处值的加权和来近似积分。
4. 代数精度：
一个求积公式的代数精度是指：对于所有次数 ≤ \(m\) 的多项式，公式能给出精确的积分值；但存在某个 \(m+1\) 次多项式使得公式不精确。
- 由于 \(L_n(x)\) 是 \(f\) 的 \(n\) 次插值多项式，当 \(f(x)\) 是次数 ≤ \(n\) 的多项式时，有 \(f(x) \equiv L_n(x)\)，因此积分公式精确成立。
- 但对于 \(n+1\) 次多项式，插值多项式 \(L_n(x)\) 一般不等于 \(f(x)\)，所以积分公式不精确。
因此，基于 \(n+1\) 个节点的 Lagrange 插值构造的求积公式，其代数精度至少为 \(n\)。实际上，如果节点选择得当（如 Gauss 型节点），代数精度可以更高，但这里我们只讨论任意给定节点的情况，所以至少是 \(n\)。
5. 误差（截断误差）分析：
设 \(f \in C^{n+1}[a,b]\)，即 \(f\) 在 \([a,b]\) 上具有 \(n+1\) 阶连续导数。Lagrange 插值的误差公式为：
\[f(x) - L_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x), \]
其中 \(\omega_{n+1}(x) = \prod_{i=0}^n (x - x_i)\)，而 \(\xi_x \in (a,b)\) 依赖于 \(x\)。
那么积分误差为：
\[E_n(f) = I(f) - I_n(f) = \int_a^b \left[ f(x) - L_n(x) \right] dx = \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x) \, dx. \]
这里 \(\xi_x\) 是 \(x\) 的函数，直接处理较复杂。通常我们利用积分中值定理来简化，但需要 \(\omega_{n+1}(x)\) 在 \([a,b]\) 上不变号。然而对于一般的非均匀节点，\(\omega_{n+1}(x)\) 在 \([a,b]\) 内可能会变号，所以不能直接应用积分中值定理。
常用处理方法：
引入插值误差的平均形式。由于 \(f^{(n+1)}(\xi_x)\) 连续，且 \(\omega_{n+1}(x)\) 是多项式，我们可以将误差写成：
\[E_n(f) = \frac{1}{(n+1)!} \int_a^b f^{(n+1)}(\xi_x) \omega_{n+1}(x) \, dx. \]
为了得到一个更实用的误差界，通常采用以下方式：
利用积分第一中值定理的推广形式，存在某个 \(\eta \in (a,b)\)，使得
\[E_n(f) = \frac{f^{(n+1)}(\eta)}{(n+1)!} \int_a^b \omega_{n+1}(x) \, dx, \]
但请注意：这个等式成立的条件是 \(\omega_{n+1}(x)\) 在 \([a,b]\) 上不变号。如果节点分布使得 \(\omega_{n+1}(x)\) 变号，这个简单形式不成立。对于任意节点，更一般的误差表达式为：
\[E_n(f) = \frac{1}{(n+1)!} \int_a^b f^{(n+1)}(\xi_x) \omega_{n+1}(x) \, dx. \]
利用积分绝对值的上界，可得误差估计：
\[|E_n(f)| \le \frac{\max_{x \in [a,b]} |f^{(n+1)}(x)|}{(n+1)!} \int_a^b |\omega_{n+1}(x)| \, dx. \]
这个估计是普适的，但计算 \(\int_a^b |\omega_{n+1}(x)| dx\) 可能较复杂。
特殊情形：
- 如果节点是等距的，这就是Newton-Cotes公式的误差分析，此时 \(\omega_{n+1}(x)\) 的积分可以具体计算，误差有更具体的表达式（与 \(h^{n+2}\) 或 \(h^{n+3}\) 相关，取决于 \(n\) 的奇偶）。
- 如果节点选为 Gauss 节点（即某正交多项式的零点），则 \(\omega_{n+1}(x)\) 与该正交多项式成比例，且公式代数精度可达 \(2n+1\)，误差表达式也不同。
6. 步骤总结：
- 给定区间 \([a,b]\) 和节点 \(x_0, x_1, \dots, x_n\)。
- 构造 Lagrange 基多项式 \(\ell_i(x)\)。
- 计算求积系数 \(A_i = \int_a^b \ell_i(x) dx\)。
- 积分公式为 \(I_n(f) = \sum_{i=0}^n A_i f(x_i)\)。
- 误差分析：利用插值误差公式，得到误差的积分表达式，并给出估计。
7. 实例演示：
取 \(n=1\)，节点 \(x_0=a, x_1=b\)。则：
\[\ell_0(x) = \frac{x-b}{a-b}, \quad \ell_1(x) = \frac{x-a}{b-a}. \]
计算系数：
\[A_0 = \int_a^b \frac{x-b}{a-b} dx = \frac{b-a}{2}, \quad A_1 = \int_a^b \frac{x-a}{b-a} dx = \frac{b-a}{2}. \]
于是得到梯形公式：
\[I_1(f) = \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]. \]
误差分析：此时 \(\omega_2(x) = (x-a)(x-b)\)，在 \([a,b]\) 上非正，可应用中值定理：
\[E_1(f) = \int_a^b \frac{f''(\xi_x)}{2} (x-a)(x-b) dx = \frac{f''(\eta)}{2} \int_a^b (x-a)(x-b) dx = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\eta), \]
其中 \(\eta \in (a,b)\)。这正是熟知的梯形公式误差。
通过这个例子，你可以看到从一般构造到具体公式的完整流程。对于更高阶的公式，原理相同，但计算更复杂。