非线性规划中的交替变量线性化（Alternating Variable Linearization, AVL）算法进阶题
字数 4806 2025-12-18 13:16:25

非线性规划中的交替变量线性化（Alternating Variable Linearization, AVL）算法进阶题

一、题目描述

考虑以下非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x, y} \quad & f(x, y) = e^{x_1 + 2x_2} + (y_1 - 1)^4 + (y_2 + 2)^2 \\ \text{s.t.} \quad & x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 \leq 10, \\ & x_1 + 2x_2 + y_1 - y_2 = 3, \\ & -2 \leq x_i \leq 2, \quad i = 1, 2, \\ & -3 \leq y_j \leq 3, \quad j = 1, 2. \end{aligned} \]

其中，\(x = (x_1, x_2)\)，\(y = (y_1, y_2)\)。目标函数包含指数项和高次幂，约束包含一个非线性不等式和一个线性等式，以及变量边界。

本题要求使用交替变量线性化（Alternating Variable Linearization, AVL）算法求解，并详细解释其迭代步骤、线性化技巧、收敛条件及注意事项。

二、算法思想与适用场景

AVL适用于目标函数或约束可分解为多个变量子集，且固定一部分变量时，剩余子问题较易求解的情形。其核心思想是：

  1. 将变量划分为若干组（本题分为 \(x\) 和 \(y\) 两组）。
  2. 在每次迭代中，固定其中一组变量，对另一组变量对应的子问题进行局部线性化近似，然后求解该近似问题，更新该组变量。
  3. 交替更新各组变量，直至满足收敛条件。

本题中，固定 \(x\) 时，关于 \(y\) 的子问题为目标函数含四次项、约束为二次与线性；固定 \(y\) 时，关于 \(x\) 的子问题含指数项，均适合在迭代点做一阶线性化简化。

三、解题步骤

步骤1：初始化

选取初始可行点。例如，令

\[x^{(0)} = (0, 0), \quad y^{(0)} = (0, 0). \]

检查可行性：

  • 不等式约束：\(0^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 \leq 10\) ✅
  • 等式约束：\(0 + 0 + 0 - 0 = 0 \neq 3\) ❌ 不满足。

修正初始点：可解一个可行性问题，但为简单起见，调整 \(y^{(0)} = (1, 0)\)，则等式约束：
\(0 + 0 + 1 - 0 = 1 \neq 3\) 仍不满足。
进一步取 \(y^{(0)} = (1, -2)\)，则 \(0 + 0 + 1 - (-2) = 3\) ✅
检查不等式：\(0 + 0 + 1 + 4 = 5 \leq 10\) ✅
边界：\(x\) 和 \(y\) 均在范围内。
故初始可行点：

\[x^{(0)} = (0, 0), \quad y^{(0)} = (1, -2). \]

步骤2：固定 \(y = y^{(k)}\)，线性化关于 \(x\) 的子问题

在第 \(k\) 步，固定 \(y = y^{(k)}\)。目标函数中 \(e^{x_1 + 2x_2}\) 关于 \(x\) 非线性的，在点 \(x^{(k)}\) 处作一阶泰勒展开：

\[e^{x_1 + 2x_2} \approx e^{x_1^{(k)} + 2x_2^{(k)}} \left[ 1 + (x_1 - x_1^{(k)}) + 2(x_2 - x_2^{(k)}) \right]. \]

将 \(f(x, y^{(k)})\) 近似为线性函数（注意 \((y_1^{(k)} - 1)^4 + (y_2^{(k)} + 2)^2\) 为常数，不影响 \(x\) 的优化）。

约束处理：

  • 非线性不等式 \(x_1^2 + x_2^2 + (y_1^{(k)})^2 + (y_2^{(k)})^2 \leq 10\) 在 \(x\) 空间中是二次的，但为保持子问题为线性规划（LP），在点 \(x^{(k)}\) 处也对约束线性化：
    对 \(x_1^2 + x_2^2\) 在 \(x^{(k)}\) 处线性化：

\[x_1^2 \approx (x_1^{(k)})^2 + 2x_1^{(k)}(x_1 - x_1^{(k)}), \quad x_2^2 \approx (x_2^{(k)})^2 + 2x_2^{(k)}(x_2 - x_2^{(k)}). \]

记 \(C = (y_1^{(k)})^2 + (y_2^{(k)})^2\)，则原不等式化为：

\[2x_1^{(k)} x_1 + 2x_2^{(k)} x_2 + C + (x_1^{(k)})^2 + (x_2^{(k)})^2 - 2((x_1^{(k)})^2 + (x_2^{(k)})^2) \leq 10. \]

即：

\[2x_1^{(k)} x_1 + 2x_2^{(k)} x_2 + C - ((x_1^{(k)})^2 + (x_2^{(k)})^2) \leq 10. \]

  • 等式约束 \(x_1 + 2x_2 + y_1^{(k)} - y_2^{(k)} = 3\) 已经是 \(x\) 的线性等式。
  • 边界 \(-2 \leq x_i \leq 2\) 为线性。

于是得到关于 \(x\) 的线性规划（LP）子问题，可用单纯形法或内点法求解，得新解 \(x^{(k+1)}\)。

步骤3：固定 \(x = x^{(k+1)}\)，线性化关于 \(y\) 的子问题

目标函数中 \((y_1 - 1)^4\) 在 \(y^{(k)}\) 处线性化（一阶展开）：

\[(y_1 - 1)^4 \approx (y_1^{(k)} - 1)^4 + 4(y_1^{(k)} - 1)^3 (y_1 - y_1^{(k)}). \]

同理，\((y_2 + 2)^2\) 线性化：

\[(y_2 + 2)^2 \approx (y_2^{(k)} + 2)^2 + 2(y_2^{(k)} + 2)(y_2 - y_2^{(k)}). \]

\(e^{x_1^{(k+1)} + 2x_2^{(k+1)}}\) 视为常数。

约束处理：

  • 非线性不等式 \((x_1^{(k+1)})^2 + (x_2^{(k+1)})^2 + y_1^2 + y_2^2 \leq 10\) 在 \(y\) 空间中是二次的，在 \(y^{(k)}\) 处对 \(y_1^2, y_2^2\) 线性化：

\[y_1^2 \approx (y_1^{(k)})^2 + 2y_1^{(k)}(y_1 - y_1^{(k)}), \quad y_2^2 \approx (y_2^{(k)})^2 + 2y_2^{(k)}(y_2 - y_2^{(k)}). \]

记 \(D = (x_1^{(k+1)})^2 + (x_2^{(k+1)})^2\)，则约束化为：

\[2y_1^{(k)} y_1 + 2y_2^{(k)} y_2 + D - ((y_1^{(k)})^2 + (y_2^{(k)})^2) \leq 10. \]

  • 等式约束：\(x_1^{(k+1)} + 2x_2^{(k+1)} + y_1 - y_2 = 3\) 已经是 \(y\) 的线性等式。
  • 边界 \(-3 \leq y_j \leq 3\) 为线性。

得到关于 \(y\) 的LP子问题，求解得 \(y^{(k+1)}\)。

步骤4：迭代与收敛判断

重复步骤2和步骤3，直到满足以下收敛条件之一：

  1. 变量变化量小：\(\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\|_2 + \|y^{(k+1)} - y^{(k)}\|_2 < \epsilon\)（如 \(\epsilon = 10^{-4}\)）。
  2. 目标函数值变化小：\(|f^{(k+1)} - f^{(k)}| < \epsilon\)。
  3. 达到最大迭代次数（如 100 次）。

由于每次子问题是原问题的局部线性化，AVL 不保证全局收敛，但对凸约束和适当初始点往往可收敛到局部最优解。为保证可行性，可在线性化后的约束中添加信赖域约束，例如限制 \(\|x - x^{(k)}\|_\infty \leq \delta\)，在迭代中自适应调整 \(\delta\)。

步骤5：具体数值迭代示例（第1次迭代）

初始点：\(x^{(0)} = (0, 0), y^{(0)} = (1, -2)\)，目标值 \(f^{(0)} = e^{0} + (0)^4 + (0)^2 = 1\)。

  • 固定 \(y^{(0)}\)，更新 \(x\)：
    目标近似：\(e^{0}[1 + x_1 + 2x_2] = 1 + x_1 + 2x_2\)（常数项 \((1-1)^4 + (-2+2)^2 = 0\)）。
    不等式线性化：
    \(C = 1^2 + (-2)^2 = 5\)，
    \(2\cdot0\cdot x_1 + 2\cdot0\cdot x_2 + 5 - (0+0) \leq 10 \) → \(5 \leq 10\) 恒成立，但线性化后约束为 \(0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 5 \leq 10\)，即无有效约束？这里需小心：实际上线性化约束在 \(x^{(0)}\) 处给出 \(0 \leq 10\)，对 \(x\) 无限制，但应加入信赖域约束，例如 \(\|x - x^{(0)}\|_\infty \leq 0.5\)。
    等式：\(x_1 + 2x_2 + 1 - (-2) = 3\) → \(x_1 + 2x_2 = 0\)。
    边界：\(-2 \leq x_i \leq 2\)。
    求解 LP：\(\min\; x_1 + 2x_2\)，s.t. \(x_1+2x_2=0\)，得 \(x_1 = -2x_2\)。在边界内最小化目标，取 \(x_2 = 1\) 则 \(x_1 = -2\) 满足边界，但需满足信赖域：\(|x_1 - 0| \leq 0.5\) 不满足。需在信赖域内求解，得 \(x^{(1)} = (-0.5, 0.25)\)（举例，实际需解 LP）。

  • 固定 \(x^{(1)}\)，更新 \(y\)：
    类似地线性化目标与约束，求解 LP 得 \(y^{(1)}\)。

重复至收敛。

四、注意事项

  1. 线性化可能导致不可行：原约束可行，线性化后可能无解。可添加信赖域约束或使用逐步凸近似（SCA） 思想，保证可行性。
  2. 收敛性：AVL 本质是一种块坐标下降的变体，对非凸问题可能陷入局部最优，初始点敏感。
  3. 目标函数下降：由于线性化近似，每次子问题求解后目标函数不一定下降，可能需要线搜索或接受准则。
  4. 扩展：可结合序列凸规划（SCP），每次求解凸近似子问题并更新线性化点，提高稳定性。

五、总结

AVL 算法通过交替固定变量组 + 局部线性化，将原非线性规划分解为一系列线性规划子问题。其优势是子问题易于求解，适合中规模、可分离结构的优化；缺点是收敛速度线性且依赖初始点。在实际中，常与信赖域结合以保证收敛。

非线性规划中的交替变量线性化（Alternating Variable Linearization, AVL）算法进阶题 一、题目描述 考虑以下非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x, y} \quad & f(x, y) = e^{x_ 1 + 2x_ 2} + (y_ 1 - 1)^4 + (y_ 2 + 2)^2 \\ \text{s.t.} \quad & x_ 1^2 + x_ 2^2 + y_ 1^2 + y_ 2^2 \leq 10, \\ & x_ 1 + 2x_ 2 + y_ 1 - y_ 2 = 3, \\ & -2 \leq x_ i \leq 2, \quad i = 1, 2, \\ & -3 \leq y_ j \leq 3, \quad j = 1, 2. \end{aligned} \] 其中，\(x = (x_ 1, x_ 2)\)，\(y = (y_ 1, y_ 2)\)。目标函数包含指数项和高次幂，约束包含一个非线性不等式和一个线性等式，以及变量边界。 本题要求使用 交替变量线性化（Alternating Variable Linearization, AVL）算法 求解，并详细解释其迭代步骤、线性化技巧、收敛条件及注意事项。 二、算法思想与适用场景 AVL适用于目标函数或约束可分解为多个变量子集，且 固定一部分变量时，剩余子问题较易求解 的情形。其核心思想是： 将变量划分为若干组（本题分为 \(x\) 和 \(y\) 两组）。 在每次迭代中，固定其中一组变量，对另一组变量对应的子问题进行 局部线性化近似 ，然后求解该近似问题，更新该组变量。 交替更新各组变量，直至满足收敛条件。 本题中，固定 \(x\) 时，关于 \(y\) 的子问题为目标函数含四次项、约束为二次与线性；固定 \(y\) 时，关于 \(x\) 的子问题含指数项，均适合在迭代点做一阶线性化简化。 三、解题步骤 步骤1：初始化 选取初始可行点。例如，令 \[ x^{(0)} = (0, 0), \quad y^{(0)} = (0, 0). \] 检查可行性： 不等式约束：\(0^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 \leq 10\) ✅ 等式约束：\(0 + 0 + 0 - 0 = 0 \neq 3\) ❌ 不满足。 修正初始点：可解一个可行性问题，但为简单起见，调整 \(y^{(0)} = (1, 0)\)，则等式约束： \(0 + 0 + 1 - 0 = 1 \neq 3\) 仍不满足。 进一步取 \(y^{(0)} = (1, -2)\)，则 \(0 + 0 + 1 - (-2) = 3\) ✅ 检查不等式：\(0 + 0 + 1 + 4 = 5 \leq 10\) ✅ 边界：\(x\) 和 \(y\) 均在范围内。 故初始可行点： \[ x^{(0)} = (0, 0), \quad y^{(0)} = (1, -2). \] 步骤2：固定 \(y = y^{(k)}\)，线性化关于 \(x\) 的子问题 在第 \(k\) 步，固定 \(y = y^{(k)}\)。目标函数中 \(e^{x_ 1 + 2x_ 2}\) 关于 \(x\) 非线性的，在点 \(x^{(k)}\) 处作一阶泰勒展开： \[ e^{x_ 1 + 2x_ 2} \approx e^{x_ 1^{(k)} + 2x_ 2^{(k)}} \left[ 1 + (x_ 1 - x_ 1^{(k)}) + 2(x_ 2 - x_ 2^{(k)}) \right ]. \] 将 \(f(x, y^{(k)})\) 近似为线性函数（注意 \((y_ 1^{(k)} - 1)^4 + (y_ 2^{(k)} + 2)^2\) 为常数，不影响 \(x\) 的优化）。 约束处理： 非线性不等式 \(x_ 1^2 + x_ 2^2 + (y_ 1^{(k)})^2 + (y_ 2^{(k)})^2 \leq 10\) 在 \(x\) 空间中是二次的，但为保持子问题为线性规划（LP），在点 \(x^{(k)}\) 处也对约束线性化： 对 \(x_ 1^2 + x_ 2^2\) 在 \(x^{(k)}\) 处线性化： \[ x_ 1^2 \approx (x_ 1^{(k)})^2 + 2x_ 1^{(k)}(x_ 1 - x_ 1^{(k)}), \quad x_ 2^2 \approx (x_ 2^{(k)})^2 + 2x_ 2^{(k)}(x_ 2 - x_ 2^{(k)}). \] 记 \(C = (y_ 1^{(k)})^2 + (y_ 2^{(k)})^2\)，则原不等式化为： \[ 2x_ 1^{(k)} x_ 1 + 2x_ 2^{(k)} x_ 2 + C + (x_ 1^{(k)})^2 + (x_ 2^{(k)})^2 - 2((x_ 1^{(k)})^2 + (x_ 2^{(k)})^2) \leq 10. \] 即： \[ 2x_ 1^{(k)} x_ 1 + 2x_ 2^{(k)} x_ 2 + C - ((x_ 1^{(k)})^2 + (x_ 2^{(k)})^2) \leq 10. \] 等式约束 \(x_ 1 + 2x_ 2 + y_ 1^{(k)} - y_ 2^{(k)} = 3\) 已经是 \(x\) 的线性等式。 边界 \(-2 \leq x_ i \leq 2\) 为线性。 于是得到关于 \(x\) 的 线性规划（LP）子问题 ，可用单纯形法或内点法求解，得新解 \(x^{(k+1)}\)。 步骤3：固定 \(x = x^{(k+1)}\)，线性化关于 \(y\) 的子问题 目标函数中 \((y_ 1 - 1)^4\) 在 \(y^{(k)}\) 处线性化（一阶展开）： \[ (y_ 1 - 1)^4 \approx (y_ 1^{(k)} - 1)^4 + 4(y_ 1^{(k)} - 1)^3 (y_ 1 - y_ 1^{(k)}). \] 同理，\((y_ 2 + 2)^2\) 线性化： \[ (y_ 2 + 2)^2 \approx (y_ 2^{(k)} + 2)^2 + 2(y_ 2^{(k)} + 2)(y_ 2 - y_ 2^{(k)}). \] \(e^{x_ 1^{(k+1)} + 2x_ 2^{(k+1)}}\) 视为常数。 约束处理： 非线性不等式 \( (x_ 1^{(k+1)})^2 + (x_ 2^{(k+1)})^2 + y_ 1^2 + y_ 2^2 \leq 10 \) 在 \(y\) 空间中是二次的，在 \(y^{(k)}\) 处对 \(y_ 1^2, y_ 2^2\) 线性化： \[ y_ 1^2 \approx (y_ 1^{(k)})^2 + 2y_ 1^{(k)}(y_ 1 - y_ 1^{(k)}), \quad y_ 2^2 \approx (y_ 2^{(k)})^2 + 2y_ 2^{(k)}(y_ 2 - y_ 2^{(k)}). \] 记 \(D = (x_ 1^{(k+1)})^2 + (x_ 2^{(k+1)})^2\)，则约束化为： \[ 2y_ 1^{(k)} y_ 1 + 2y_ 2^{(k)} y_ 2 + D - ((y_ 1^{(k)})^2 + (y_ 2^{(k)})^2) \leq 10. \] 等式约束：\(x_ 1^{(k+1)} + 2x_ 2^{(k+1)} + y_ 1 - y_ 2 = 3\) 已经是 \(y\) 的线性等式。 边界 \(-3 \leq y_ j \leq 3\) 为线性。 得到关于 \(y\) 的LP子问题，求解得 \(y^{(k+1)}\)。 步骤4：迭代与收敛判断 重复步骤2和步骤3，直到满足以下收敛条件之一： 变量变化量小：\(\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\|_ 2 + \|y^{(k+1)} - y^{(k)}\|_ 2 < \epsilon\)（如 \(\epsilon = 10^{-4}\)）。 目标函数值变化小：\(|f^{(k+1)} - f^{(k)}| < \epsilon\)。 达到最大迭代次数（如 100 次）。 由于每次子问题是原问题的局部线性化， AVL 不保证全局收敛 ，但对凸约束和适当初始点往往可收敛到局部最优解。为保证可行性，可在线性化后的约束中添加 信赖域约束 ，例如限制 \(\|x - x^{(k)}\|_ \infty \leq \delta\)，在迭代中自适应调整 \(\delta\)。 步骤5：具体数值迭代示例（第1次迭代） 初始点：\(x^{(0)} = (0, 0), y^{(0)} = (1, -2)\)，目标值 \(f^{(0)} = e^{0} + (0)^4 + (0)^2 = 1\)。 固定 \(y^{(0)}\)，更新 \(x\) ： 目标近似：\(e^{0}[ 1 + x_ 1 + 2x_ 2] = 1 + x_ 1 + 2x_ 2\)（常数项 \((1-1)^4 + (-2+2)^2 = 0\)）。 不等式线性化： \(C = 1^2 + (-2)^2 = 5\)， \(2\cdot0\cdot x_ 1 + 2\cdot0\cdot x_ 2 + 5 - (0+0) \leq 10 \) → \(5 \leq 10\) 恒成立，但线性化后约束为 \(0 \cdot x_ 1 + 0 \cdot x_ 2 + 5 \leq 10\)，即无有效约束？这里需小心：实际上线性化约束在 \(x^{(0)}\) 处给出 \(0 \leq 10\)，对 \(x\) 无限制，但应加入信赖域约束，例如 \(\|x - x^{(0)}\|_ \infty \leq 0.5\)。 等式：\(x_ 1 + 2x_ 2 + 1 - (-2) = 3\) → \(x_ 1 + 2x_ 2 = 0\)。 边界：\(-2 \leq x_ i \leq 2\)。 求解 LP：\(\min\; x_ 1 + 2x_ 2\)，s.t. \(x_ 1+2x_ 2=0\)，得 \(x_ 1 = -2x_ 2\)。在边界内最小化目标，取 \(x_ 2 = 1\) 则 \(x_ 1 = -2\) 满足边界，但需满足信赖域：\(|x_ 1 - 0| \leq 0.5\) 不满足。需在信赖域内求解，得 \(x^{(1)} = (-0.5, 0.25)\)（举例，实际需解 LP）。 固定 \(x^{(1)}\)，更新 \(y\) ： 类似地线性化目标与约束，求解 LP 得 \(y^{(1)}\)。 重复至收敛。 四、注意事项 线性化可能导致不可行 ：原约束可行，线性化后可能无解。可添加信赖域约束或使用 逐步凸近似（SCA） 思想，保证可行性。 收敛性 ：AVL 本质是一种块坐标下降的变体，对非凸问题可能陷入局部最优，初始点敏感。 目标函数下降 ：由于线性化近似，每次子问题求解后目标函数不一定下降，可能需要线搜索或接受准则。 扩展 ：可结合序列凸规划（SCP），每次求解凸近似子问题并更新线性化点，提高稳定性。 五、总结 AVL 算法通过 交替固定变量组 + 局部线性化 ，将原非线性规划分解为一系列线性规划子问题。其优势是子问题易于求解，适合中规模、可分离结构的优化；缺点是收敛速度线性且依赖初始点。在实际中，常与信赖域结合以保证收敛。