SHA-256 哈希算法的轮函数设计详解
字数 3617 2025-12-18 09:21:46

SHA-256 哈希算法的轮函数设计详解

算法题目描述

SHA-256 是美国国家安全局（NSA）设计的 SHA-2 系列哈希算法之一，其核心是一个迭代压缩函数，而这个压缩函数的核心是轮函数。轮函数是 SHA-256 中进行 64 轮运算的基本单元，每一轮都会处理消息扩展得到的一个 32 位字 \(W_t\) 和一个固定的常数 \(K_t\)，并对中间状态（8 个 32 位寄存器 a, b, c, d, e, f, g, h）进行非线性混淆。本题将深入解析 SHA-256 轮函数的结构，包括其中涉及的多个非线性逻辑运算、位运算以及每一步的具体计算顺序和设计原理。

解题过程（讲解）

第一步：回顾 SHA-256 的总体框架

SHA-256 输入一个不超过 \(2^{64}\) 比特的消息，通过填充、分块（每个消息块 512 比特）后，依次处理每个消息块。对于每个消息块，执行以下步骤：

  1. 初始化：将 8 个 32 位的寄存器（a, b, c, d, e, f, g, h）设置为固定的初始化向量（IV）或前一个消息块的输出。
  2. 消息扩展：将 512 位的消息块扩展为 64 个 32 位的字 \(W_0, W_1, …, W_{63}\)。
  3. 64 轮压缩：对于 \(t = 0\) 到 \(63\)，执行轮函数。每轮使用 \(W_t\) 和固定常量 \(K_t\) 更新寄存器。
  4. 结果输出：将该消息块处理后的寄存器值（a, b, …, h）与初始值相加，作为下一个消息块的输入。最终最后一个消息块处理完成后的寄存器值串联起来，就是 256 位的哈希值。

轮函数是第 3 步“64 轮压缩”的核心。

第二步：轮函数的输入与符号定义

在每一轮 \(t\) 开始时，有：

  • 中间状态：8 个 32 位寄存器，记作 \(a, b, c, d, e, f, g, h\)。
  • 外部输入：
    • \(W_t\)：第 \(t\) 轮的消息扩展字（32 位）。
    • \(K_t\)：第 \(t\) 轮的固定常量（32 位），取自前 64 个素数立方根的小数部分前 32 位。

在描述轮函数时，我们使用以下符号表示位运算：

  • \(\oplus\)：按位异或（XOR）。
  • \(\land\)：按位与（AND）。
  • \(\lor\)：按位或（OR）。
  • \(\neg\)：按位取反（NOT）。
  • \(\gg\)：逻辑右移（高位补 0）。
  • \(\ggg\)：循环右移（或称“右旋转”）。

第三步：轮函数内部的辅助函数

轮函数的非线性特性主要由两个“选择”函数和一个“多数”函数，以及两个求和函数来体现。这些函数对 32 位字 \(x\) 进行操作。

  1. 选择函数 \(\text{Ch}(x, y, z)\)

\[ \text{Ch}(x, y, z) = (x \land y) \oplus (\neg x \land z) \]

*   **功能**：如果 $ x $ 的某一位是 1，则输出 $ y $ 的对应位；如果是 0，则输出 $ z $ 的对应位。就像一个多路选择器，由 $ x $ 控制选择 $ y $ 或 $ z $。
*   **作用**：引入非线性，其输出依赖于 $ x $ 的每一位。
  1. 多数函数 \(\text{Maj}(x, y, z)\)

\[ \text{Maj}(x, y, z) = (x \land y) \oplus (x \land z) \oplus (y \land z) \]

*   **功能**：对 $ x, y, z $ 的每一位，输出该位上占多数的值（即，如果有两个或三个 1，则输出 1；否则输出 0）。
*   **作用**：增加扩散和混淆，使得多个寄存器的值能相互影响。
  1. 求和函数 \(\Sigma_0(x)\) 和 \(\Sigma_1(x)\)

\[ \Sigma_0(x) = (x \ \ggg\ 2) \oplus (x\ \ggg\ 13) \oplus (x\ \ggg\ 22) \]

\[ \Sigma_1(x) = (x\ \ggg\ 6) \oplus (x\ \ggg\ 11) \oplus (x\ \ggg\ 25) \]

*   **功能**：通过对输入 $ x $ 进行特定距离的循环右移后异或，实现对输入比特的充分扩散。这些特定的偏移量（2,13,22 和 6,11,25）是精心选择的，以最大化比特的重新排列和扩散效果。
*   **作用**：在不使用 S 盒的情况下，提供类似置换的效果，增强算法的雪崩效应。

第四步：轮函数的详细计算步骤

假设进入第 \(t\) 轮时，寄存器的值为 \(a, b, c, d, e, f, g, h\)。一轮计算后，新值记为 \(a', b', c', d', e', f', g', h'\)。计算过程如下：

  1. 计算中间变量 \(T_1\) 和 \(T_2\)
    这是轮函数的“心脏”，将当前状态、消息字、常数以及上述辅助函数结合起来。

\[ T_1 = h + \text{Ch}(e, f, g) + \Sigma_1(e) + W_t + K_t \]

\[ T_2 = \Sigma_0(a) + \text{Maj}(a, b, c) \]

*   注意：这里的“+”是模 $ 2^{32} $ 加法。它混合了非线性函数（$\text{Ch}$ 和 $\text{Maj}$）、扩散函数（$\Sigma_0$ 和 $\Sigma_1$）、消息数据（$W_t$）和固定常量（$K_t$）。
*   $ T_1 $ 的计算包含了 $ e, f, g, h, W_t, K_t $，反映了状态的后半部分和外部输入。
*   $ T_2 $ 的计算只涉及状态的前半部分 $ a, b, c $。
  1. 更新寄存器 \(h\) 到 \(d\)
    寄存器被“向下”平移，其中 \(d\) 的新值被替换。

\[ h' = g \]

\[ g' = f \]

\[ f' = e \]

\[ e' = d + T_1 \]

*   注意：$ e' $ 是 $ d $ 和 $ T_1 $ 的模 $ 2^{32} $ 和。这里，$ d $ 参与了 $ e' $ 的更新，实现了从状态前半部分到后半部分的“馈入”。
  1. 更新寄存器 \(c\) 到 \(a\)
    继续平移，并计算新的 \(a\) 值。

\[ d' = c \]

\[ c' = b \]

\[ b' = a \]

\[ a' = T_1 + T_2 \]

*   注意：新的最高位寄存器 $ a' $ 是 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 的模 $ 2^{32} $ 和。这结合了前半部分和后半部分计算的结果。

一轮之后，新的寄存器状态为 \((a', b', c', d', e', f', g', h')\)。

第五步：轮函数的设计逻辑与安全考量

  1. 非线性性：由 \(\text{Ch}\) 和 \(\text{Maj}\) 函数提供。它们是比特级的非线性布尔函数，能抵抗线性密码分析。
  2. 扩散性：由 \(\Sigma_0\) 和 \(\Sigma_1\) 函数以及模 \(2^{32}\) 加法提供。循环右移和异或操作能将单个输入比特的影响扩散到多个输出比特。模加法也提供了良好的比特扩散。
  3. 数据依赖性：每轮的 \(W_t\) 不同，且来自原始消息，这确保了哈希输出对输入消息的高度敏感。
  4. 常量注入：每轮加入不同的 \(K_t\)，可以消除输入消息块结构可能导致的内部对称性或弱性，并防止某些类型的攻击（如固定点攻击）。
  5. 流水线结构：寄存器更新的方式（移位和加法）类似于一个线性反馈移位寄存器（LFSR）的推广，但加入了强烈的非线性。这种结构易于硬件实现，并确保状态在每一轮都得到彻底搅动。

第六步：总结

SHA-256 的轮函数是一个精心设计的非线性状态更新函数。它通过 \(\text{Ch}\) 和 \(\text{Maj}\) 实现非线性混淆，通过 \(\Sigma_0\) 和 \(\Sigma_1\) 实现比特扩散，通过模加法和与 \(W_t\)、\(K_t\) 的混合实现数据依赖和抗对称性。经过 64 轮这样的迭代，即使输入消息有微小差异，也会导致最终寄存器的状态（即哈希值）产生巨大、不可预测的变化，从而满足密码学哈希函数的要求：原像抗性、第二原像抗性和抗碰撞性。

SHA-256 哈希算法的轮函数设计详解 算法题目描述 SHA-256 是美国国家安全局（NSA）设计的 SHA-2 系列哈希算法之一，其核心是一个迭代压缩函数，而这个压缩函数的核心是轮函数。轮函数是 SHA-256 中进行 64 轮运算的基本单元，每一轮都会处理消息扩展得到的一个 32 位字 \( W_ t \) 和一个固定的常数 \( K_ t \)，并对中间状态（8 个 32 位寄存器 a, b, c, d, e, f, g, h）进行非线性混淆。本题将深入解析 SHA-256 轮函数的结构，包括其中涉及的多个非线性逻辑运算、位运算以及每一步的具体计算顺序和设计原理。 解题过程（讲解） 第一步：回顾 SHA-256 的总体框架 SHA-256 输入一个不超过 \( 2^{64} \) 比特的消息，通过填充、分块（每个消息块 512 比特）后，依次处理每个消息块。对于每个消息块，执行以下步骤： 初始化 ：将 8 个 32 位的寄存器（a, b, c, d, e, f, g, h）设置为固定的初始化向量（IV）或前一个消息块的输出。 消息扩展 ：将 512 位的消息块扩展为 64 个 32 位的字 \( W_ 0, W_ 1, …, W_ {63} \)。 64 轮压缩 ：对于 \( t = 0 \) 到 \( 63 \)，执行轮函数。每轮使用 \( W_ t \) 和固定常量 \( K_ t \) 更新寄存器。 结果输出 ：将该消息块处理后的寄存器值（a, b, …, h）与初始值相加，作为下一个消息块的输入。最终最后一个消息块处理完成后的寄存器值串联起来，就是 256 位的哈希值。 轮函数是第 3 步“64 轮压缩”的核心。 第二步：轮函数的输入与符号定义 在每一轮 \( t \) 开始时，有： 中间状态 ：8 个 32 位寄存器，记作 \( a, b, c, d, e, f, g, h \)。 外部输入 ： \( W_ t \)：第 \( t \) 轮的消息扩展字（32 位）。 \( K_ t \)：第 \( t \) 轮的固定常量（32 位），取自前 64 个素数立方根的小数部分前 32 位。 在描述轮函数时，我们使用以下符号表示位运算： \( \oplus \)：按位异或（XOR）。 \( \land \)：按位与（AND）。 \( \lor \)：按位或（OR）。 \( \neg \)：按位取反（NOT）。 \( \gg \)：逻辑右移（高位补 0）。 \( \ggg \)：循环右移（或称“右旋转”）。 第三步：轮函数内部的辅助函数 轮函数的非线性特性主要由两个“选择”函数和一个“多数”函数，以及两个求和函数来体现。这些函数对 32 位字 \( x \) 进行操作。 选择函数 \( \text{Ch}(x, y, z) \) \[ \text{Ch}(x, y, z) = (x \land y) \oplus (\neg x \land z) \] 功能 ：如果 \( x \) 的某一位是 1，则输出 \( y \) 的对应位；如果是 0，则输出 \( z \) 的对应位。就像一个多路选择器，由 \( x \) 控制选择 \( y \) 或 \( z \)。 作用 ：引入非线性，其输出依赖于 \( x \) 的每一位。 多数函数 \( \text{Maj}(x, y, z) \) \[ \text{Maj}(x, y, z) = (x \land y) \oplus (x \land z) \oplus (y \land z) \] 功能 ：对 \( x, y, z \) 的每一位，输出该位上占多数的值（即，如果有两个或三个 1，则输出 1；否则输出 0）。 作用 ：增加扩散和混淆，使得多个寄存器的值能相互影响。 求和函数 \( \Sigma_ 0(x) \) 和 \( \Sigma_ 1(x) \) \[ \Sigma_ 0(x) = (x \ \ggg\ 2) \oplus (x\ \ggg\ 13) \oplus (x\ \ggg\ 22) \] \[ \Sigma_ 1(x) = (x\ \ggg\ 6) \oplus (x\ \ggg\ 11) \oplus (x\ \ggg\ 25) \] 功能 ：通过对输入 \( x \) 进行特定距离的循环右移后异或，实现对输入比特的充分扩散。这些特定的偏移量（2,13,22 和 6,11,25）是精心选择的，以最大化比特的重新排列和扩散效果。 作用 ：在不使用 S 盒的情况下，提供类似置换的效果，增强算法的雪崩效应。 第四步：轮函数的详细计算步骤 假设进入第 \( t \) 轮时，寄存器的值为 \( a, b, c, d, e, f, g, h \)。一轮计算后，新值记为 \( a', b', c', d', e', f', g', h' \)。计算过程如下： 计算中间变量 \( T_ 1 \) 和 \( T_ 2 \) 这是轮函数的“心脏”，将当前状态、消息字、常数以及上述辅助函数结合起来。 \[ T_ 1 = h + \text{Ch}(e, f, g) + \Sigma_ 1(e) + W_ t + K_ t \] \[ T_ 2 = \Sigma_ 0(a) + \text{Maj}(a, b, c) \] 注意：这里的“+”是模 \( 2^{32} \) 加法。它混合了非线性函数（\(\text{Ch}\) 和 \(\text{Maj}\)）、扩散函数（\(\Sigma_ 0\) 和 \(\Sigma_ 1\)）、消息数据（\(W_ t\)）和固定常量（\(K_ t\)）。 \( T_ 1 \) 的计算包含了 \( e, f, g, h, W_ t, K_ t \)，反映了状态的后半部分和外部输入。 \( T_ 2 \) 的计算只涉及状态的前半部分 \( a, b, c \)。 更新寄存器 \( h \) 到 \( d \) 寄存器被“向下”平移，其中 \( d \) 的新值被替换。 \[ h' = g \] \[ g' = f \] \[ f' = e \] \[ e' = d + T_ 1 \] 注意：\( e' \) 是 \( d \) 和 \( T_ 1 \) 的模 \( 2^{32} \) 和。这里，\( d \) 参与了 \( e' \) 的更新，实现了从状态前半部分到后半部分的“馈入”。 更新寄存器 \( c \) 到 \( a \) 继续平移，并计算新的 \( a \) 值。 \[ d' = c \] \[ c' = b \] \[ b' = a \] \[ a' = T_ 1 + T_ 2 \] 注意：新的最高位寄存器 \( a' \) 是 \( T_ 1 \) 和 \( T_ 2 \) 的模 \( 2^{32} \) 和。这结合了前半部分和后半部分计算的结果。 一轮之后 ，新的寄存器状态为 \( (a', b', c', d', e', f', g', h') \)。 第五步：轮函数的设计逻辑与安全考量 非线性性 ：由 \( \text{Ch} \) 和 \( \text{Maj} \) 函数提供。它们是比特级的非线性布尔函数，能抵抗线性密码分析。 扩散性 ：由 \( \Sigma_ 0 \) 和 \( \Sigma_ 1 \) 函数以及模 \( 2^{32} \) 加法提供。循环右移和异或操作能将单个输入比特的影响扩散到多个输出比特。模加法也提供了良好的比特扩散。 数据依赖性 ：每轮的 \( W_ t \) 不同，且来自原始消息，这确保了哈希输出对输入消息的高度敏感。 常量注入 ：每轮加入不同的 \( K_ t \)，可以消除输入消息块结构可能导致的内部对称性或弱性，并防止某些类型的攻击（如固定点攻击）。 流水线结构 ：寄存器更新的方式（移位和加法）类似于一个线性反馈移位寄存器（LFSR）的推广，但加入了强烈的非线性。这种结构易于硬件实现，并确保状态在每一轮都得到彻底搅动。 第六步：总结 SHA-256 的轮函数是一个精心设计的非线性状态更新函数。它通过 \( \text{Ch} \) 和 \( \text{Maj} \) 实现非线性混淆，通过 \( \Sigma_ 0 \) 和 \( \Sigma_ 1 \) 实现比特扩散，通过模加法和与 \( W_ t \)、\( K_ t \) 的混合实现数据依赖和抗对称性。经过 64 轮这样的迭代，即使输入消息有微小差异，也会导致最终寄存器的状态（即哈希值）产生巨大、不可预测的变化，从而满足密码学哈希函数的要求：原像抗性、第二原像抗性和抗碰撞性。