最小生成树唯一性判定
字数 3983 2025-12-18 08:54:00

最小生成树唯一性判定

问题描述
给定一个无向连通图 \(G=(V, E)\)，每条边 \(e\) 有非负边权 \(w(e)\)。我们需要判断图 \(G\) 的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是否唯一。也就是说，是否存在多棵不同的生成树，其总权重都等于最小生成树的权重。

核心挑战
通常我们通过 Kruskal 或 Prim 算法可以找到一棵 MST，但这两类算法在边权相等时可能产生不同的 MST（尽管总权重相同）。判断唯一性需要检查是否存在另一棵总权重相同的生成树，其边集与已找到的 MST 不完全相同。

解题思路
我们可以基于以下关键观察来设计判定算法：

如果一棵 MST 是唯一的，那么对于图中每条不在 MST 中的边 \(e\)，将它加入 MST 会形成一个环，而这条边 \(e\) 必须是这个环上严格最大的边（即环上不能有任何其他边的权重等于 \(e\) 的权重）。
反之，如果存在一条非 MST 边 \(e\)，加入 MST 形成的环中有一条与 \(e\) 权重相等的边，则我们可以用 \(e\) 替换那条等权的 MST 边，得到另一棵总权重相同的生成树，此时 MST 不唯一。

因此，判定算法可分为两步：

  1. 用任意 MST 算法（如 Prim 或 Kruskal）求出任意一棵 MST，记其边集为 \(T\)。
  2. 对每条不在 \(T\) 中的边 \(e = (u, v)\)，在 \(T\) 中找到 \(u\) 到 \(v\) 的路径上的最大边权。如果该最大边权等于 \(w(e)\)，则 MST 不唯一；否则继续检查。若所有非树边检查后均未找到等权替换边，则 MST 唯一。

逐步讲解

步骤 1：求一棵最小生成树

  • 假设图有 \(n\) 个顶点、\(m\) 条边。我们用 Prim 算法（从任意起点开始，逐步加入离当前树最近的顶点）或 Kruskal 算法（按边权升序加边，避免环）求 MST。
  • 这里以 Kruskal 为例，因为它便于获得边集。
  • 将边按权重从小到大排序，用并查集维护连通分量。依次处理每条边，若边的两端不在同一连通分量，则将该边加入 MST 边集 \(T\)，并合并两端所在的集合。
  • 时间开销：排序 \(O(m \log m)\)，并查集操作近似 \(O(m \alpha(n))\)，其中 \(\alpha\) 是反阿克曼函数。
  • 得到 MST 边集 \(T\)，并记录下 MST 的总权重 \(W_{\text{mst}}\)。

步骤 2：构建 MST 的树结构，用于快速查询路径最大边权

  • 将 \(T\) 看作一棵树（因为 MST 是无环连通子图，恰有 \(n-1\) 条边）。
  • 我们需要高效回答查询：给定树上两个节点 \(u\) 和 \(v\)，找出 \(u\) 到 \(v\) 的路径上最大的边权。这可以通过以下任一方法实现：
    • 方法 A：倍增法（Binary Lifting）
      1. 任选一个根（如节点 1），进行深度优先搜索（DFS），计算每个节点的深度 \(\text{depth}[u]\) 和向上 \(2^k\) 级的祖先 \(\text{anc}[u][k]\)，同时记录从 \(u\) 到其 \(2^k\) 级祖先的路径上的最大边权 \(\text{maxEdge}[u][k]\)。
      2. 预处理：
        • 初始时，\(\text{anc}[u][0]\) 是 \(u\) 的父节点，\(\text{maxEdge}[u][0]\) 是连接 \(u\) 与父节点的边的权重。
        • 递推：\(\text{anc}[u][k] = \text{anc}[ \text{anc}[u][k-1] ][k-1]\)，
          \(\text{maxEdge}[u][k] = \max( \text{maxEdge}[u][k-1], \text{maxEdge}[ \text{anc}[u][k-1] ][k-1] )\)。
      3. 查询 \(u\) 到 \(v\) 路径上的最大边权：
        • 如果 \(u\) 和 \(v\) 深度不同，先将较深的节点上移，同时更新路径最大边权。
        • 然后从大到小尝试 \(k\)（如 \(k = \lceil \log n \rceil\) 递减到 0），若 \(\text{anc}[u][k] \neq \text{anc}[v][k]\)，则同时上移 \(u\) 和 \(v\)，并更新最大边权为两段的最大值。
        • 最后 \(u\) 和 \(v\) 在同一深度且父亲相同（即 LCA 的直接子节点），此时路径最大边权为已记录的最大值与连接 \(u, v\) 到 LCA 的两条边权重的最大值。实际上，在实现中，我们可以在上移过程中始终更新最大边权，直到 \(u = v\)，返回记录的最大值。
    • 方法 B：树链剖分（Heavy-Light Decomposition, HLD）
      将树分解为若干重链，用线段树或树状数组维护每条链上的边权最大值。查询时，在 \(u\) 和 \(v\) 向 LCA 跳转的过程中，查询每条重链区间的最大值，再取整体最大。HLD 预处理 \(O(n)\)，每次查询 \(O(\log^2 n)\)。
    • 方法 C：离线处理（如用 Kruskal 重构树）
      也可以利用 Kruskal 重构树的性质：MST 中 \(u\) 到 \(v\) 路径上的最大边权等于重构树中 \(u\) 和 \(v\) 的 LCA 的权重。但需额外构建重构树。
  • 为简单起见，我们选用倍增法，因为它编码相对直接，且每次查询可在 \(O(\log n)\) 完成。

步骤 3：检查每条非树边

  • 枚举原图的每条边 \(e = (u, v, w)\)，若 \(e \notin T\)（即不是 MST 的边），则查询 \(T\) 中 \(u\) 到 \(v\) 路径上的最大边权 \(\text{maxWeight}\)。
  • 如果 \(w == \text{maxWeight}\)，说明存在另一棵总权重相同的 MST（将这条最大边替换为 \(e\) 即得），因此 MST 不唯一，算法可直接返回“不唯一”。
  • 注意：如果 \(w < \text{maxWeight}\)，则 \(e\) 比路径上某条边更小，这与 MST 的最小性矛盾（因为如果这样，当初用 \(e\) 替换那条更大边会得到更小的生成树），所以这种情况不会发生在 MST 已求出的前提下。实际上，由于我们按 Kruskal 顺序加边，任何非树边 \(e\) 的权重一定大于等于路径上所有边权（否则它会被加入 MST）。因此我们只需检查相等的情况。
  • 遍历所有非树边后，若未发现等权情况，则 MST 唯一。

步骤 4：复杂度分析

  • 求 MST：\(O(m \log m)\)。
  • 构建倍增结构：DFS 遍历树 \(O(n)\)，预处理 \(O(n \log n)\)。
  • 检查非树边：最多 \(m\) 条边，每条边查询 \(O(\log n)\)，总时间 \(O(m \log n)\)。
  • 整体复杂度：\(O(m \log m + (n+m) \log n)\)，在稀疏图（\(m = O(n)\)）中约为 \(O(n \log n)\)，在稠密图（\(m = O(n^2)\)）中约为 \(O(n^2 \log n)\)。
  • 空间复杂度：\(O(n \log n + m)\)。

举例说明
考虑一个简单图：四个顶点 \(\{A,B,C,D\}\)，边权如下：

  • \((A,B):1\)
  • \((B,C):2\)
  • \((C,D):1\)
  • \((D,A):2\)
  • \((A,C):3\)
  • \((B,D):3\)
    用 Kruskal 算法，按边权升序：先加 (A,B):1，(C,D):1（此时两个连通分量 {A,B} 和 {C,D}），然后考虑边权 2 的边 (B,C) 和 (D,A) 任选一条（比如选 (B,C):2）连接两个分量，得到 MST 总权重 4，边集 \(T = \{(A,B),(C,D),(B,C)\}\)。
    现在检查非树边：
  • (D,A):2：在 MST 中 A 到 D 的路径是 A–B–C–D，路径边权为 {1,2,1}，最大为 2，等于 (D,A) 的权重 2 ⇒ 可替换（例如用 (D,A) 替换 (B,C)），得到另一棵 MST {(A,B),(C,D),(D,A)}，总权重也是 4。因此 MST 不唯一。

扩展思考

  • 如果图中有重边（平行边），算法依然有效，因为每条边独立处理。
  • 如果所有边权互不相同，则 MST 一定唯一（由 Cut 和 Cycle 性质保证）。
  • 此算法也可用于“次小生成树”问题中计算严格次小生成树的第一步。
  • 实际实现时，需注意浮点数边权的比较应使用误差容忍（如 1e-9）。

小结
最小生成树唯一性判定可通过“找到一棵 MST，然后检查每条非树边是否能在 MST 中替换等权边”解决。核心在于高效查询树上路径最大边权，常用倍增法或树链剖分实现。算法能在 \(O(m \log n)\) 左右时间内完成判定，适用于大多数实际场景。

最小生成树唯一性判定 问题描述 给定一个无向连通图 \( G=(V, E) \)，每条边 \( e \) 有非负边权 \( w(e) \)。我们需要判断图 \( G \) 的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是否唯一。也就是说，是否存在多棵不同的生成树，其总权重都等于最小生成树的权重。 核心挑战 通常我们通过 Kruskal 或 Prim 算法可以找到一棵 MST，但这两类算法在边权相等时可能产生不同的 MST（尽管总权重相同）。判断唯一性需要检查是否存在另一棵总权重相同的生成树，其边集与已找到的 MST 不完全相同。 解题思路 我们可以基于以下关键观察来设计判定算法： 如果一棵 MST 是唯一的，那么对于图中每条不在 MST 中的边 \( e \)，将它加入 MST 会形成一个环，而这条边 \( e \) 必须是这个环上 严格最大 的边（即环上不能有任何其他边的权重等于 \( e \) 的权重）。 反之，如果存在一条非 MST 边 \( e \)，加入 MST 形成的环中有一条与 \( e \) 权重相等的边，则我们可以用 \( e \) 替换那条等权的 MST 边，得到另一棵总权重相同的生成树，此时 MST 不唯一。 因此，判定算法可分为两步： 用任意 MST 算法（如 Prim 或 Kruskal）求出任意一棵 MST，记其边集为 \( T \)。 对每条不在 \( T \) 中的边 \( e = (u, v) \)，在 \( T \) 中找到 \( u \) 到 \( v \) 的路径上的最大边权。如果该最大边权等于 \( w(e) \)，则 MST 不唯一；否则继续检查。若所有非树边检查后均未找到等权替换边，则 MST 唯一。 逐步讲解 步骤 1：求一棵最小生成树 假设图有 \( n \) 个顶点、\( m \) 条边。我们用 Prim 算法（从任意起点开始，逐步加入离当前树最近的顶点）或 Kruskal 算法（按边权升序加边，避免环）求 MST。 这里以 Kruskal 为例，因为它便于获得边集。 将边按权重从小到大排序，用并查集维护连通分量。依次处理每条边，若边的两端不在同一连通分量，则将该边加入 MST 边集 \( T \)，并合并两端所在的集合。 时间开销：排序 \( O(m \log m) \)，并查集操作近似 \( O(m \alpha(n)) \)，其中 \( \alpha \) 是反阿克曼函数。 得到 MST 边集 \( T \)，并记录下 MST 的总权重 \( W_ {\text{mst}} \)。 步骤 2：构建 MST 的树结构，用于快速查询路径最大边权 将 \( T \) 看作一棵树（因为 MST 是无环连通子图，恰有 \( n-1 \) 条边）。 我们需要高效回答查询：给定树上两个节点 \( u \) 和 \( v \)，找出 \( u \) 到 \( v \) 的路径上最大的边权。这可以通过以下任一方法实现： 方法 A：倍增法（Binary Lifting） 任选一个根（如节点 1），进行深度优先搜索（DFS），计算每个节点的深度 \( \text{depth}[ u] \) 和向上 \( 2^k \) 级的祖先 \( \text{anc}[ u][ k] \)，同时记录从 \( u \) 到其 \( 2^k \) 级祖先的路径上的最大边权 \( \text{maxEdge}[ u][ k ] \)。 预处理： 初始时，\( \text{anc}[ u][ 0] \) 是 \( u \) 的父节点，\( \text{maxEdge}[ u][ 0 ] \) 是连接 \( u \) 与父节点的边的权重。 递推：\( \text{anc}[ u][ k] = \text{anc}[ \text{anc}[ u][ k-1] ][ k-1 ] \)， \( \text{maxEdge}[ u][ k] = \max( \text{maxEdge}[ u][ k-1], \text{maxEdge}[ \text{anc}[ u][ k-1] ][ k-1 ] ) \)。 查询 \( u \) 到 \( v \) 路径上的最大边权： 如果 \( u \) 和 \( v \) 深度不同，先将较深的节点上移，同时更新路径最大边权。 然后从大到小尝试 \( k \)（如 \( k = \lceil \log n \rceil \) 递减到 0），若 \( \text{anc}[ u][ k] \neq \text{anc}[ v][ k ] \)，则同时上移 \( u \) 和 \( v \)，并更新最大边权为两段的最大值。 最后 \( u \) 和 \( v \) 在同一深度且父亲相同（即 LCA 的直接子节点），此时路径最大边权为已记录的最大值与连接 \( u, v \) 到 LCA 的两条边权重的最大值。实际上，在实现中，我们可以在上移过程中始终更新最大边权，直到 \( u = v \)，返回记录的最大值。 方法 B：树链剖分（Heavy-Light Decomposition, HLD） 将树分解为若干重链，用线段树或树状数组维护每条链上的边权最大值。查询时，在 \( u \) 和 \( v \) 向 LCA 跳转的过程中，查询每条重链区间的最大值，再取整体最大。HLD 预处理 \( O(n) \)，每次查询 \( O(\log^2 n) \)。 方法 C：离线处理（如用 Kruskal 重构树） 也可以利用 Kruskal 重构树的性质：MST 中 \( u \) 到 \( v \) 路径上的最大边权等于重构树中 \( u \) 和 \( v \) 的 LCA 的权重。但需额外构建重构树。 为简单起见，我们选用 倍增法 ，因为它编码相对直接，且每次查询可在 \( O(\log n) \) 完成。 步骤 3：检查每条非树边 枚举原图的每条边 \( e = (u, v, w) \)，若 \( e \notin T \)（即不是 MST 的边），则查询 \( T \) 中 \( u \) 到 \( v \) 路径上的最大边权 \( \text{maxWeight} \)。 如果 \( w == \text{maxWeight} \)，说明存在另一棵总权重相同的 MST（将这条最大边替换为 \( e \) 即得），因此 MST 不唯一，算法可直接返回“不唯一”。 注意：如果 \( w < \text{maxWeight} \)，则 \( e \) 比路径上某条边更小，这与 MST 的最小性矛盾（因为如果这样，当初用 \( e \) 替换那条更大边会得到更小的生成树），所以这种情况不会发生在 MST 已求出的前提下。实际上，由于我们按 Kruskal 顺序加边，任何非树边 \( e \) 的权重一定大于等于路径上所有边权（否则它会被加入 MST）。因此我们只需检查相等的情况。 遍历所有非树边后，若未发现等权情况，则 MST 唯一。 步骤 4：复杂度分析 求 MST：\( O(m \log m) \)。 构建倍增结构：DFS 遍历树 \( O(n) \)，预处理 \( O(n \log n) \)。 检查非树边：最多 \( m \) 条边，每条边查询 \( O(\log n) \)，总时间 \( O(m \log n) \)。 整体复杂度：\( O(m \log m + (n+m) \log n) \)，在稀疏图（\( m = O(n) \)）中约为 \( O(n \log n) \)，在稠密图（\( m = O(n^2) \)）中约为 \( O(n^2 \log n) \)。 空间复杂度：\( O(n \log n + m) \)。 举例说明 考虑一个简单图：四个顶点 \( \{A,B,C,D\} \)，边权如下： \( (A,B):1 \) \( (B,C):2 \) \( (C,D):1 \) \( (D,A):2 \) \( (A,C):3 \) \( (B,D):3 \) 用 Kruskal 算法，按边权升序：先加 (A,B):1，(C,D):1（此时两个连通分量 {A,B} 和 {C,D}），然后考虑边权 2 的边 (B,C) 和 (D,A) 任选一条（比如选 (B,C):2）连接两个分量，得到 MST 总权重 4，边集 \( T = \{(A,B),(C,D),(B,C)\} \)。 现在检查非树边： (D,A):2：在 MST 中 A 到 D 的路径是 A–B–C–D，路径边权为 {1,2,1}，最大为 2，等于 (D,A) 的权重 2 ⇒ 可替换（例如用 (D,A) 替换 (B,C)），得到另一棵 MST {(A,B),(C,D),(D,A)}，总权重也是 4。因此 MST 不唯一。 扩展思考 如果图中有重边（平行边），算法依然有效，因为每条边独立处理。 如果所有边权互不相同，则 MST 一定唯一（由 Cut 和 Cycle 性质保证）。 此算法也可用于“次小生成树”问题中计算严格次小生成树的第一步。 实际实现时，需注意浮点数边权的比较应使用误差容忍（如 1e-9）。 小结 最小生成树唯一性判定可通过“找到一棵 MST，然后检查每条非树边是否能在 MST 中替换等权边”解决。核心在于高效查询树上路径最大边权，常用倍增法或树链剖分实现。算法能在 \( O(m \log n) \) 左右时间内完成判定，适用于大多数实际场景。