近似梯度法在非光滑优化中的应用进阶题：处理L1范数正则化问题的复合优化
字数 3358 2025-12-18 04:49:10

近似梯度法在非光滑优化中的应用进阶题：处理L1范数正则化问题的复合优化

1. 题目描述

考虑一个复合优化问题，目标函数由可微部分与不可微部分叠加而成，具体形式如下：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad F(x) = f(x) + \lambda \|x\|_1 \]

其中：

  • \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是一个光滑函数，其梯度 \(\nabla f\) 是 Lipschitz 连续且已知（例如最小二乘损失 \(f(x) = \frac{1}{2} \|Ax - b\|^2\)）。
  • \(\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|\) 是 L1 范数，作为正则项引入以促进解的稀疏性。
  • \(\lambda > 0\) 是正则化参数。

这个问题是典型的非光滑优化问题，因为 L1 范数在坐标为零的点不可微。本题要求使用近似梯度法（Proximal Gradient Method）求解，并分析其收敛行为。

2. 核心思想

近似梯度法（又称近端梯度法）的核心是将目标函数分解为两部分：

  • 光滑部分： \(f(x)\)，可计算梯度。
  • 非光滑部分： \(g(x) = \lambda \|x\|_1\)，通常结构简单，可以高效计算其近端算子（proximal operator）。

算法步骤：

  1. 在每一步，先对光滑部分 \(f\) 做梯度下降，得到一个中间点。
  2. 然后对非光滑部分 \(g\) 施加近端算子，将中间点映射回可行域，同时保留 \(g\) 的结构特性。
  3. 重复迭代直至收敛。

3. 详细推导与求解过程

步骤1：写出近端算子

对于 L1 范数，近端算子有一个闭式解，称为软阈值算子（soft-thresholding operator）：

\[\text{prox}_{\alpha g}(y) = \arg\min_{z} \left\{ \lambda \|z\|_1 + \frac{1}{2\alpha} \|z - y\|^2 \right\} \]

这个优化问题可以按分量独立求解，结果对每个坐标 \(i\) 为：

\[[\text{prox}_{\alpha g}(y)]_i = \text{sign}(y_i) \cdot \max\left( |y_i| - \alpha\lambda, 0 \right) \]

其中 \(\alpha > 0\) 是步长。

步骤2：近似梯度法的迭代格式

给定当前迭代点 \(x^k\)，步长 \(\alpha_k > 0\)，迭代格式为：

\[x^{k+1} = \text{prox}_{\alpha_k g} \left( x^k - \alpha_k \nabla f(x^k) \right) \]

代入 L1 范数的近端算子，得到：

\[x_i^{k+1} = \text{sign}\left( x_i^k - \alpha_k [\nabla f(x^k)]_i \right) \cdot \max\left( \left| x_i^k - \alpha_k [\nabla f(x^k)]_i \right| - \alpha_k \lambda, 0 \right) \]

步骤3：步长的选择

为了确保收敛，步长 \(\alpha_k\) 通常需要满足：

  • 恒定步长：若 \(\nabla f\) 是 Lipschitz 连续且 Lipschitz 常数为 \(L\)，则 \(\alpha_k \in (0, 1/L]\)。
  • 回溯线搜索（backtracking line search）：从一个初始步长开始，逐步减小直到满足下降条件。

回溯线搜索条件（Armijo 型条件）：

\[f(x^{k+1}) \le f(x^k) + \nabla f(x^k)^\top (x^{k+1} - x^k) + \frac{1}{2\alpha_k} \|x^{k+1} - x^k\|^2 \]

实际上，由于涉及 \(g\)，通常使用一个组合的下降条件（见下一步）。

步骤4：算法实现（含回溯线搜索）

我们使用一个标准的近似梯度法变体——加速近似梯度法（FISTA，Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm）来提升收敛速度。

FISTA 算法步骤：

  1. 初始化 \(x^0 = y^1\)，\(t_1 = 1\)，最大迭代次数 \(K\)。
  2. 对 \(k = 1, 2, \dots, K\) 执行：
    a. 令 \(v = y^k - \alpha_k \nabla f(y^k)\)，其中 \(\alpha_k\) 通过回溯线搜索确定。
    b. 计算 \(x^k = \text{prox}_{\alpha_k g}(v)\)（软阈值操作）。
    c. 更新 \(t_{k+1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 t_k^2}}{2}\)。
    d. 计算 \(y^{k+1} = x^k + \frac{t_k - 1}{t_{k+1}} (x^k - x^{k-1})\)（加速步骤）。
  3. 输出 \(x^K\)。

步骤5：收敛性分析

  • 标准近似梯度法（无加速）在目标函数 \(F\) 是凸的情况下，收敛速度为 \(O(1/k)\)。
  • FISTA（加速版本）达到更快的 \(O(1/k^2)\) 收敛速度。
  • 若 \(f\) 是强凸的，收敛速度可提升至线性收敛。

步骤6：数值示例（以最小二乘为例）

设 \(f(x) = \frac{1}{2} \|Ax - b\|^2\)，则 \(\nabla f(x) = A^\top (Ax - b)\)。
给定数据 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}, b \in \mathbb{R}^m, \lambda = 0.1\)。
算法步骤：

  1. 初始化 \(x^0 = 0\)，初始步长 \(\alpha_0 = 1 / \|A^\top A\|_2\)。
  2. 迭代：
    • 计算梯度： \(g_k = A^\top (A y^k - b)\)。
    • 回溯步长：从 \(\alpha = \alpha_{k-1}\) 开始，不断尝试 \(\alpha := \beta \alpha\)（如 \(\beta=0.8\)）直到满足：

\[ F\left( \text{prox}_{\alpha g}(y^k - \alpha g_k) \right) \le Q_\alpha\left( \text{prox}_{\alpha g}(y^k - \alpha g_k), y^k \right) \]

 其中 $Q_\alpha(z, y) = f(y) + \nabla f(y)^\top (z - y) + \frac{1}{2\alpha} \|z - y\|^2 + \lambda \|z\|_1$ 是近端点模型。
  • 更新 \(x^k\) 和 \(y^{k+1}\) 如上。
  1. 终止条件： \(\|x^k - x^{k-1}\|_\infty < \epsilon\)（如 \(\epsilon = 10^{-6}\)）。

4. 关键点总结

  1. 分解目标：将问题拆分为光滑部分 \(f\) 与非光滑部分 \(g\)。
  2. 近端算子：对于 L1 范数，近端算子是软阈值算子，有显式解。
  3. 迭代格式：先对光滑部分做梯度步，再对非光滑部分做近端映射。
  4. 步长选择：通过 Lipschitz 常数或回溯线搜索确定步长，确保下降性。
  5. 加速技巧：使用 FISTA 的动量加速，可显著提升收敛速度。
  6. 收敛保证：在凸条件下，算法保证收敛到全局最优解。

这种方法广泛应用于机器学习中的稀疏优化（如 Lasso）、信号处理、压缩感知等领域，因为它能有效处理非光滑正则项且实现简单高效。

近似梯度法在非光滑优化中的应用进阶题：处理L1范数正则化问题的复合优化 1. 题目描述 考虑一个复合优化问题，目标函数由可微部分与不可微部分叠加而成，具体形式如下： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad F(x) = f(x) + \lambda \|x\|_ 1 \] 其中： \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是一个光滑函数，其梯度 \(\nabla f\) 是 Lipschitz 连续且已知（例如最小二乘损失 \( f(x) = \frac{1}{2} \|Ax - b\|^2 \)）。 \(\|x\| 1 = \sum {i=1}^n |x_ i|\) 是 L1 范数，作为正则项引入以促进解的稀疏性。 \(\lambda > 0\) 是正则化参数。 这个问题是典型的非光滑优化问题，因为 L1 范数在坐标为零的点不可微。本题要求使用近似梯度法（Proximal Gradient Method）求解，并分析其收敛行为。 2. 核心思想 近似梯度法（又称近端梯度法）的核心是将目标函数分解为两部分： 光滑部分 ： \( f(x) \)，可计算梯度。 非光滑部分 ： \( g(x) = \lambda \|x\|_ 1 \)，通常结构简单，可以高效计算其近端算子（proximal operator）。 算法步骤 ： 在每一步，先对光滑部分 \( f \) 做梯度下降，得到一个中间点。 然后对非光滑部分 \( g \) 施加近端算子，将中间点映射回可行域，同时保留 \( g \) 的结构特性。 重复迭代直至收敛。 3. 详细推导与求解过程 步骤1：写出近端算子 对于 L1 范数，近端算子有一个闭式解，称为软阈值算子（soft-thresholding operator）： \[ \text{prox} {\alpha g}(y) = \arg\min {z} \left\{ \lambda \|z\|_ 1 + \frac{1}{2\alpha} \|z - y\|^2 \right\} \] 这个优化问题可以按分量独立求解，结果对每个坐标 \( i \) 为： \[ [ \text{prox}_ {\alpha g}(y)]_ i = \text{sign}(y_ i) \cdot \max\left( |y_ i| - \alpha\lambda, 0 \right) \] 其中 \(\alpha > 0\) 是步长。 步骤2：近似梯度法的迭代格式 给定当前迭代点 \( x^k \)，步长 \(\alpha_ k > 0\)，迭代格式为： \[ x^{k+1} = \text{prox}_ {\alpha_ k g} \left( x^k - \alpha_ k \nabla f(x^k) \right) \] 代入 L1 范数的近端算子，得到： \[ x_ i^{k+1} = \text{sign}\left( x_ i^k - \alpha_ k [ \nabla f(x^k)]_ i \right) \cdot \max\left( \left| x_ i^k - \alpha_ k [ \nabla f(x^k)]_ i \right| - \alpha_ k \lambda, 0 \right) \] 步骤3：步长的选择 为了确保收敛，步长 \(\alpha_ k\) 通常需要满足： 恒定步长：若 \(\nabla f\) 是 Lipschitz 连续且 Lipschitz 常数为 \(L\)，则 \(\alpha_ k \in (0, 1/L ]\)。 回溯线搜索（backtracking line search）：从一个初始步长开始，逐步减小直到满足下降条件。 回溯线搜索条件（Armijo 型条件）： \[ f(x^{k+1}) \le f(x^k) + \nabla f(x^k)^\top (x^{k+1} - x^k) + \frac{1}{2\alpha_ k} \|x^{k+1} - x^k\|^2 \] 实际上，由于涉及 \(g\)，通常使用一个组合的下降条件（见下一步）。 步骤4：算法实现（含回溯线搜索） 我们使用一个标准的近似梯度法变体——加速近似梯度法（FISTA，Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm）来提升收敛速度。 FISTA 算法步骤 ： 初始化 \( x^0 = y^1 \)，\( t_ 1 = 1 \)，最大迭代次数 \(K\)。 对 \( k = 1, 2, \dots, K \) 执行： a. 令 \( v = y^k - \alpha_ k \nabla f(y^k) \)，其中 \(\alpha_ k\) 通过回溯线搜索确定。 b. 计算 \( x^k = \text{prox} {\alpha_ k g}(v) \)（软阈值操作）。 c. 更新 \( t {k+1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 t_ k^2}}{2} \)。 d. 计算 \( y^{k+1} = x^k + \frac{t_ k - 1}{t_ {k+1}} (x^k - x^{k-1}) \)（加速步骤）。 输出 \( x^K \)。 步骤5：收敛性分析 标准近似梯度法（无加速）在目标函数 \(F\) 是凸的情况下，收敛速度为 \(O(1/k)\)。 FISTA（加速版本）达到更快的 \(O(1/k^2)\) 收敛速度。 若 \(f\) 是强凸的，收敛速度可提升至线性收敛。 步骤6：数值示例（以最小二乘为例） 设 \( f(x) = \frac{1}{2} \|Ax - b\|^2 \)，则 \(\nabla f(x) = A^\top (Ax - b)\)。 给定数据 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}, b \in \mathbb{R}^m, \lambda = 0.1\)。 算法步骤： 初始化 \(x^0 = 0\)，初始步长 \(\alpha_ 0 = 1 / \|A^\top A\|_ 2\)。 迭代： 计算梯度： \(g_ k = A^\top (A y^k - b)\)。 回溯步长：从 \(\alpha = \alpha_ {k-1}\) 开始，不断尝试 \(\alpha := \beta \alpha\)（如 \(\beta=0.8\)）直到满足： \[ F\left( \text{prox} {\alpha g}(y^k - \alpha g_ k) \right) \le Q \alpha\left( \text{prox} {\alpha g}(y^k - \alpha g_ k), y^k \right) \] 其中 \(Q \alpha(z, y) = f(y) + \nabla f(y)^\top (z - y) + \frac{1}{2\alpha} \|z - y\|^2 + \lambda \|z\|_ 1\) 是近端点模型。 更新 \(x^k\) 和 \(y^{k+1}\) 如上。 终止条件： \(\|x^k - x^{k-1}\|_ \infty < \epsilon\)（如 \(\epsilon = 10^{-6}\)）。 4. 关键点总结 分解目标 ：将问题拆分为光滑部分 \(f\) 与非光滑部分 \(g\)。 近端算子 ：对于 L1 范数，近端算子是软阈值算子，有显式解。 迭代格式 ：先对光滑部分做梯度步，再对非光滑部分做近端映射。 步长选择 ：通过 Lipschitz 常数或回溯线搜索确定步长，确保下降性。 加速技巧 ：使用 FISTA 的动量加速，可显著提升收敛速度。 收敛保证 ：在凸条件下，算法保证收敛到全局最优解。 这种方法广泛应用于机器学习中的稀疏优化（如 Lasso）、信号处理、压缩感知等领域，因为它能有效处理非光滑正则项且实现简单高效。