好的，在仔细检查了你提供的庞大历史记录列表，并确保不重复之后，我将为你讲解一个经典的、但你可能还未听过的线性动态规划问题。 题目：最长有效括号匹配子序列的变种：统计所有不同的、连续的有效括号子串数量 题目描述： 给你一个只包含字符 '(' 和 ')' 的字符串 s 。一个 有效括号子串 定义为满足以下条件的 连续 子串： 所有括号都能正确匹配。 子串是连续的（即原始字符串中一段连续的字符序列）。 例如，对于字符串 "()(())" ： 有效的连续括号子串有： "()" , "(())" , "()(())" 。 "())" 不是有效的，因为括号没有完全匹配。 "()()" 也是有效的，但在这个例子中不是连续的子串（在 "()(())" 中，它是两个独立的子串 "()" 和 "(())" 拼接而成的一个更大有效串）。 我们的目标是计算字符串 s 中所有 不同的、有效的连续括号子串 的数量。注意，即使两个子串内容相同，只要它们在字符串中的 起始和结束位置 不同，就被视为不同的子串。 例如： s = "()" ， 输出：1 (子串： [0, 1] -> "()" ) s = "(())" ，输出：2 (子串： [1, 2] -> "()" , [0, 3] -> "(())" ) s = "()(())" ，输出：3 (子串： [0, 1] -> "()" , [3, 4] -> "()" , [2, 5] -> "(())" ) s = "(()())" ，输出：3 (子串： [1, 2] -> "()" , [3, 4] -> "()" , [0, 5] -> "(()())" ) 解题过程循序渐进讲解 这个问题是 “最长有效括号子串” 问题的延伸。最长有效括号子串问题通常使用栈或动态规划来找到 最长 的有效子串。而这里我们需要 统计所有 有效子串的数量。 核心思路： 我们可以利用动态规划。定义 dp[i] 表示 以字符 s[i] 为结尾的最长有效括号子串的长度 。如果能求出 dp[i] ，那么我们就能判断以 i 结尾的有效子串是什么，并据此进行计数。 为什么能计数？ 因为对于以 i 结尾的最长有效括号子串，它的所有后缀（只要本身是有效的）也都是有效的括号子串。例如， "(()())" 以最后一个 ) 结尾的最长子串是 "(()())" ，它的有效后缀子串有： "()" (对应子串 [4, 5] ), "()" (对应子串 [1,2] 和 [3,4] ，但注意，以 i=5 结尾时，我们只关心从某个位置开始到 i 结束的子串)， "(())" (对应 [2,5] )，以及整个 "(()())" 。我们需要一种系统的方法来统计它们。 步骤 1：定义动态规划状态 设 dp[i] 表示以字符 s[i] 结尾的 最长有效括号子串的长度 。如果以 s[i] 结尾无法形成有效括号子串，则 dp[i] = 0 。 例如，对于 s = “()(())” ： i=1 ( ‘)’ ): 以它结尾的最长有效子串是 “()” ，长度 2，所以 dp[1] = 2 。 i=5 ( ‘)’ ): 以它结尾的最长有效子串是 “(())” ，长度 4，所以 dp[5] = 4 。 步骤 2：推导状态转移方程 我们如何计算 dp[i] ？ 只有当前字符 s[i] 是 ‘)’ 时，才有可能形成以它结尾的有效子串（因为有效子串必须以 ‘)’ 结尾）。 情况分析： 基本情况 ：如果 s[i] = ‘)’ 且 s[i-1] = ‘(’ ，即形如 “...()” 。 那么以 i 结尾的最长有效子串就是 s[i-1] 和 s[i] 组成的 “()” 。 此外，这个有效子串还可能和它前面紧邻的有效子串连接起来。所以： dp[i] = dp[i-2] + 2 ，前提是 i >= 2 。如果 i-2 不存在，则 dp[i] = 2 。 嵌套情况 ：如果 s[i] = ‘)’ 且 s[i-1] = ‘)’ ，即形如 “...))” 。 这意味着当前 ‘)’ 可能是一个外层括号的右括号。例如 “(()())” ，最后一个 ‘)’ 匹配的是索引 0 的 ‘(’ 。 我们需要找到与当前 s[i] 匹配的左括号的位置。这个位置是 j = i - dp[i-1] - 1 。 dp[i-1] 是以 s[i-1] 结尾的最长有效子串长度。 i - dp[i-1] - 1 就是跳过这个有效子串后，前面的一个字符。 如果 j >= 0 且 s[j] == ‘(’ ，说明我们找到了匹配的左括号。 那么，以 s[i] 结尾的有效子串长度至少是 dp[i-1] + 2 （内部的 dp[i-1] 长的有效子串加上外面一对括号）。 此外，这个新形成的有效子串还可能和它前面 (j-1) 结尾的有效子串拼接起来。所以： dp[i] = dp[i-1] + 2 + (dp[j-1] if j-1 >= 0 else 0) 状态转移方程总结： 如果 s[i] == ‘)’ ： 如果 i > 0 且 s[i-1] == ‘(’ ： dp[i] = (dp[i-2] if i >= 2 else 0) + 2 如果 i > 0 且 s[i-1] == ‘)’ ： j = i - dp[i-1] - 1 如果 j >= 0 且 s[j] == ‘(’ ： dp[i] = dp[i-1] + 2 + (dp[j-1] if j >= 1 else 0) 如果 s[i] == ‘(’ ： dp[i] = 0 步骤 3：统计所有有效子串 我们有了 dp 数组。现在关键在于： 如何利用 dp[i] 统计所有以 i 结尾的有效子串？ 观察到一个重要性质： 对于一个以索引 i 结尾的、长度为 L ( L = dp[i] ) 的最长有效括号子串，所有以 i 结尾的更短的有效子串，必然是这个最长子串的某个后缀，并且这些后缀的有效性可以通过检查它们的长度是否是“有效单位”的偶数倍，并满足括号匹配规则来间接确认吗？ 更简单直接的方法：当我们计算出 dp[i] 后， 以 i 结尾的有效子串数量，就等于以 i 结尾的最长有效子串中，所有合法的“前缀-后缀”对的数量吗？ 不完全是。 更巧妙的计数方法： 我们引入第二个状态 count[i] ，它表示 以字符 s[i] 结尾的有效括号子串的数量 。 count[i] 的推导依赖于 dp[i] ： 如果 dp[i] > 0 （即以 s[i] 结尾存在有效子串）： 那么，以 s[i] 结尾的最短有效子串，就是和 s[i] 匹配的那个左括号 s[j] 到 s[i] 形成的子串 s[j...i] ，其长度为 len1 = i - j + 1 。这个 j 就是我们计算 dp[i] 时找到的 j 。 这个子串 s[j...i] 本身就是一个有效子串，所以 count 至少为 1。 更重要的是，以 i 结尾的其他有效子串，都可以看作是：在 s[j...i] 这个 基础有效单元 的 前面 ，拼接上若干个以 s[j-1] 结尾的有效子串（如果存在的话）。因为 s[j...i] 自身是有效的，前面再拼一个有效的子串 s[k...j-1] ，结果 s[k...i] 仍然是有效的。 所以， 以 i 结尾的有效子串总数 = 1 (基础单元 s[j...i] ) + 以 j-1 结尾的有效子串总数 ( count[j-1] ) 。 即： count[i] = 1 + (count[j-1] if j-1 >= 0 else 0) 如果 dp[i] == 0 ，则 count[i] = 0 。 为什么这样是对的？ 因为任何以 i 结尾的有效子串，其最后一个字符 ‘)’ 必然匹配某个 ‘(’ 在位置 j 。这个子串必然可以分解为 A + B ，其中 B = s[j...i] 是一个最小的、不可再分割的、以 i 结尾的有效单元（即 B 内部是有效匹配的，且 s[j] 和 s[i] 匹配）。 A 是 s[0...j-1] 的某个以 j-1 结尾的有效后缀（可以为空）。 A 的有效后缀数量正好就是 count[j-1] 。所以总数量是 1 + count[j-1] 。 步骤 4：计算最终答案 字符串 s 中所有不同的有效括号子串总数 ans ，就是所有 count[i] 的和。 ans = sum(count[i]) for i in range(n) 因为 count[i] 精确地统计了以每个位置 i 结尾的所有有效子串，且每个有效子串都有唯一的结束位置 i ，所以求和即可得到总数。 步骤 5：算法步骤与示例 让我们用 s = “()(())” 来演示。 初始化 dp = [0, 0, 0, 0, 0, 0] , count = [0, 0, 0, 0, 0, 0] 。 ans = 0 。 i=0 ， s[0]=‘(’ ， dp[0]=0 , count[0]=0 。 i=1 ， s[1]=‘)’ ，且 s[0]=‘(’ (基本情况)。 j = i - dp[i-1] - 1 不适用，我们走 s[i-1]==‘(’ 分支。 dp[1] = (dp[-1]? 视为0) + 2 = 2 。 找到与 s[1] 匹配的左括号位置 j = 1 - dp[0] - 1? 不，对于基本情况，匹配的左括号就是 i-1=0 。 j = 0 。 count[1] = 1 + (count[-1]? 视为0) = 1 。 ans += 1 (现在 ans=1 ，对应子串 [0,1] -> “()” )。 i=2 ， s[2]=‘(’ ， dp[2]=0 , count[2]=0 。 i=3 ， s[3]=‘(’ ， dp[3]=0 , count[3]=0 。 i=4 ， s[4]=‘)’ ，且 s[3]=‘(’ (基本情况)。 dp[4] = dp[2] + 2 = 0 + 2 = 2 。 匹配的左括号 j = 3 。 count[4] = 1 + count[2] = 1 + 0 = 1 。 ans += 1 (现在 ans=2 ，对应新增子串 [3,4] -> “()” )。 i=5 ， s[5]=‘)’ ，且 s[4]=‘)’ (嵌套情况)。 j = i - dp[i-1] - 1 = 5 - dp[4] - 1 = 5 - 2 - 1 = 2 。 s[2] = ‘(’ ，匹配成功。 dp[5] = dp[4] + 2 + dp[1] = 2 + 2 + 2 = 6 ? 等等， dp[1] 是 dp[j-1] = dp[2-1]=dp[1]=2 。所以 dp[5]=2+2+2=6 。这表示以 i=5 结尾的最长有效子串是 s[0...5] 即 “()(())” ，长度 6。 匹配的左括号位置 j = 2 。 count[5] = 1 + count[1] = 1 + 1 = 2 。 这两个以 i=5 结尾的有效子串分别是： a. 基础单元 s[2...5] -> “(())” (对应 count=1 中的 1 )。 b. 基础单元前面拼接上以 j-1=1 结尾的有效子串 s[0...1] -> “()” ，得到 s[0...5] -> “()(())” (对应 count=1 中的 count[1]=1 )。 ans += 2 (现在 ans=4 )。等等，我们的例子预期是 3。哪里出错了？ 问题分析： 我们的推导似乎多了一个。检查 s = “()(())” ： 以 i=1 结尾的有效子串： [0,1] -> “()” 。 以 i=4 结尾的有效子串： [3,4] -> “()” 。 以 i=5 结尾的有效子串： [2,5] -> “(())” 和 [0,5] -> “()(())” 。 总数为 4。但题目描述的例子说输出是 3。矛盾在于题目描述！让我们重新审视题目描述中的例子。 题目描述说： s = “()(())” ，输出 3，子串为 [0,1] , [3,4] , [2,5] 。它 没有 把 [0,5] 算进去。为什么？ 因为 [0,5] 对应的子串是 “()(())” ，它虽然整体是有效的，但它是由两个独立的有效子串 “()” 和 “(())” 拼接 而成的。在许多这类计数问题的变种中， “连续的有效括号子串”有时被隐式定义为“不可再被分割为两个连续的有效括号子串” ，或者说** “不能被更小的连续有效子串覆盖”** 。这更像是在统计“有效括号子串”的“原子”单位或“极大”单位。 修正题目理解与状态定义： 因此，我们需要明确：我们想统计的是 所有满足“该子串本身有效，且其任何真前缀都不是有效括号串”的有效括号子串 吗？不，那样会漏掉 “()(())” 这样的串。 更常见的统计目标是： 统计所有“不能被扩展”的有效括号子串 ，即对于子串 s[l...r] ，如果它是有效的，并且 s[l-1...r] 和 s[l...r+1] 都不是有效的（如果存在的话），那么它就是一个“极大”有效子串。但我们的例子中 [0,5] 是极大的， [0,1] 和 [2,5] 不是极大的（因为它们被包含在 [0,5] 里）。这与题目例子不符。 根据例子反推 ：题目例子似乎是在统计 所有形如 “(……)” 的、最外层括号匹配的、且内部也是有效的子串 ，但它把 “()(())” 这种由两个独立单元 () 和 (()) 并列而成的串，只算作两个单元 ( [0,1] 和 [2,5] 或 [3,4] 和 [0,5] ? 不对)……例子中的三个子串是 [0,1] , [3,4] , [2,5] 。注意 [2,5] 是 (()) ，它是一个完整的、内部嵌套的有效单元。 [0,1] 和 [3,4] 都是 () 。 [0,5] 没有被计入。 所以，题目的真实意图可能是： 统计所有“原始的”、“不可分割的”有效括号子串 ，即该有效子串不能被划分为两个或多个连续的非空有效括号子串。在 “()(())” 中， [0,5] 可以被划分为 [0,1] 和 [2,5] 或 [0,3] 和 [4,5] 等，所以它不计入。而 [0,1] 、 [3,4] 、 [2,5] 都不能被这样划分。 这引导我们修改计数逻辑。 步骤 6：修正计数逻辑（统计“不可分割”的有效子串） 我们需要修改 count[i] 的定义或引入新的判断。 新思路 ： 我们依然计算 dp[i] 。当我们找到以 i 结尾的最长有效子串的匹配左括号 j 后，形成的有效子串 s[j...i] 是一个候选。 这个子串 s[j...i] 是“不可分割的”当且仅当 dp[i] == i - j + 1 并且 dp[i] 就是原始计算出的长度，没有和前面的 dp[j-1] 连接 ？不完全是。 实际上， 一个有效括号子串 s[l...r] 是“不可分割的”（或称“本原有效的”）的充要条件是：对于任何满足 l < k < r 的 k ，子串 s[l...k] 都不是有效的括号串 。换句话说，除了 r 之外，任何真前缀都不是有效的。 如何在动态规划中识别？ 当我们按照之前的方法计算 dp[i] 时： 在“基本情况” () 下， s[j...i] (其中 j=i-1 ) 一定是本原有效的，因为它的真前缀只有一个字符 ‘(’ ，不是有效的。 在“嵌套情况” “(...)” 下， s[j...i] 也是本原有效的，因为它的第一个字符是 ‘(’ ，最后一个字符是 ‘)’ ，并且内部 s[j+1...i-1] 是一个有效的子串（由 dp[i-1] 定义）。它的任何真前缀 s[j...k] (对于 k < i ) 都会多一个 ‘(’ 而缺少对应的 ‘)’ ，因此无效。 但是 ，问题出在当 dp[i] 的计算包含了 dp[j-1] 的部分时（即 dp[i] = dp[i-1] + 2 + dp[j-1] ），我们实际上将两个本原有效子串 s[?..j-1] 和 s[j...i] 连接 成了一个更大的有效子串 s[?..i] 。这个更大的子串 s[?..i] 不是 本原有效的，因为它可以被分割。 因此， 要统计本原有效的子串，我们只应该计数那些在计算 dp[i] 时，没有与前面子串连接的情况 。即，我们只计数“基础单元” s[j...i] 本身，而不是 s[?..i] 。 修正后的计数方法： 我们定义 primitive_count[i] 表示以 i 结尾的 本原有效括号子串 的数量。 如果 s[i] == ‘)’ 且我们找到了匹配的 j (使得 s[j] == ‘(’ )： 那么 s[j...i] 一定是一个本原有效子串。 所以 primitive_count[i] = 1 。 注意 ：即使 dp[i] 因为连接了前面的有效子串而变得更长，我们也不为那个更长的、非本原的子串计数。我们只计 s[j...i] 这一个。 否则， primitive_count[i] = 0 。 那么，整个字符串 s 中所有本原有效子串的总数就是 sum(primitive_count[i]) 。 用修正后的方法验证例子 s = “()(())” ： i=1 : 匹配 j=0 , primitive_count[1] = 1 。子串 [0,1] 。 i=4 : 匹配 j=3 , primitive_count[4] = 1 。子串 [3,4] 。 i=5 : 匹配 j=2 , primitive_count[5] = 1 。子串 [2,5] 。 总和为 3，符合例子。 再验证 s = “(()())” ： i=1 : s[1]=‘)’ , s[0]=‘(’ , primitive_count[1]=1 (子串 [0,1] ? 不对，应该是 [0,1] -> “()” ？等等， s[0]=‘(’， s[1]=‘)’ ，确实是 “()” 。) i=2 : s[2]=‘(’ , primitive_count[2]=0 。 i=3 : s[3]=‘(’ , primitive_count[3]=0 。 i=4 : s[4]=‘)’ , s[3]=‘(’ , primitive_count[4]=1 (子串 [3,4] -> “()” )。 i=5 : s[5]=‘)’ , s[4]=‘)’ , 计算 j = 5 - dp[4] - 1 = 5 - 2 - 1 = 2 。 s[2]=‘(’ ，匹配。 primitive_count[5] = 1 (子串 [2,5] -> “()()” ? 等等， s[2]=‘(’， s[3]=‘(’， s[4]=‘)’， s[5]=‘)’ ，即 “(()())” 中的内层 “()” 和外层括号？不对， j=2 , i=5 ，子串是 s[2...5] = “(())” ？我们检查字符串： s = “(()())” , 索引: 0:(, 1:(, 2:), 3:(, 4:), 5:)。 s[2...5] = “)(()” ，这显然不对。我犯了一个错误。 重新计算 s = “(()())” 的 dp 数组 ： dp = [0,0,0,0,0,0] i=0 : ‘(’ , dp=0 i=1 : ‘(’ , dp=0 i=2 : ‘)’ , 且 s[1]=‘(’ (基本情况)， dp[2] = dp[0] + 2 = 0+2=2 。匹配 j=1 。 i=3 : ‘(’ , dp=0 i=4 : ‘)’ , 且 s[3]=‘(’ (基本情况)， dp[4] = dp[2] + 2 = 2+2=4 。匹配 j=3 ? 等等，基本情况匹配的是 i-1=3 。 dp[4]=4 意味着以 i=4 结尾的最长子串是 s[1...4] = “(()())” 中的 “()()” ? s[1...4] 是 “(()” ，不对。 dp[4]=4 表示子串长度为4，即 s[1...4] ( “()()” ) 是有效的吗？ “()()” 是有效的，长度4。但 s[1] 是 ‘(’ , s[4] 是 ‘)’ ，中间 s[2] 是 ‘)’ , s[3] 是 ‘(’ ，即 “()()” ，确实有效。匹配的 j = i - dp[i-1] - 1 ? 对于基本情况，匹配的 j 就是 i-1=3 。所以基础单元是 s[3...4] = “()” 。 dp[4]=4 是因为它连接了前面的 dp[2]=2 （即 s[1...2]=“()” ），所以 dp[4] = dp[2] + 2 = 4 。 i=5 : ‘)’ , 且 s[4]=‘)’ (嵌套情况)。 j = 5 - dp[4] - 1 = 5-4-1=0 。 s[0]=‘(’ ，匹配。 dp[5] = dp[4] + 2 + dp[-1]? (j-1=-1, 视为0) = 4+2+0=6 。匹配 j=0 。 现在计算 primitive_count ： i=2 : 匹配 j=1 , primitive_count[2]=1 (子串 [1,2] -> “()” ) i=4 : 匹配 j=3 , primitive_count[4]=1 (子串 [3,4] -> “()” ) i=5 : 匹配 j=0 , primitive_count[5]=1 (子串 [0,5] -> “(()())” ) 总和为 3。符合例子 “(()())” 输出 3 的预期（子串： [1,2] , [3,4] , [0,5] ）。 步骤 7：最终算法总结 初始化 ：创建长度为 n 的数组 dp 和 primitive_count ，初始化为 0。 total = 0 。 遍历 i 从 0 到 n-1： 如果 s[i] == ‘)’ ： 如果 s[i-1] == ‘(’ (且 i > 0 )： dp[i] = (dp[i-2] if i >= 2 else 0) + 2 j = i - 1 // 匹配的左括号位置 primitive_count[i] = 1 否则如果 s[i-1] == ‘)’ (且 i > 0 )： j = i - dp[i-1] - 1 如果 j >= 0 且 s[j] == ‘(’ ： dp[i] = dp[i-1] + 2 + (dp[j-1] if j >= 1 else 0) primitive_count[i] = 1 total += primitive_count[i] 返回 total 。 复杂度分析 ： 时间复杂度：O(n)，我们只遍历字符串一次。 空间复杂度：O(n)，用于存储 dp 和 primitive_count 数组（实际上 primitive_count 可以只用一个变量累加，不需要数组）。 这个算法巧妙地利用动态规划找出了每一个“本原”有效括号子串的结束位置，并进行了计数，最终得到了题目要求的结果。