切棍子的最小成本问题（限定每次切割必须切成整数长度） 题目描述 你有一根长度为 n 的木棍，它需要被切成若干段 整数长度 的小段。给定一个整数数组 cuts ，其中每个元素表示一个必须进行切割的位置（距离木棍左端的距离，也是整数），并且 1 <= cuts[i] <= n-1 （保证不会在端点切割）。每次切割的成本等于当前被切割木棍的长度。 你每次可以选择一根当前已有的木棍（可能是初始木棍，也可能是切割后得到的某一段），在其某个整数位置（该位置必须在 cuts 中，且尚未在该段上执行过该位置的切割）进行切割，将其分成两段整数长度的木棍。你需要按照某种顺序执行所有给定的切割（每个切割位置必须恰好被切割一次），目标是 求出完成所有切割的最小总成本 。 示例 输入： n = 7 , cuts = [1, 3, 4, 5] 解释：木棍长度 7，需要在位置 1、3、4、5 处切割（位置从木棍左端算起，距离为整数）。 一种切割顺序： 先在位置 4 切，当前木棍长度 7，成本 7，得到两段长度分别为 4 和 3。 在左段（长度 4）的位置 1 切，成本 4，得到长度 1 和 3。 在右段（长度 3）的位置 3（相对原木棍）其实是该段的右端点？注意：我们需要在原木棍的绝对位置 3 和 5 处切，但此时位置 3 在左段（原位置 3 落在第一段长度 4 内，相对该段位置是 3 - 0 = 3？ 不对，因为第一次切在 4，原位置 3 在左段（0~4）内，距离左段左端是 3，所以在该段切位置 3 是对的。但注意该段长度是 4，位置 3 是其内部一个整数点） 为了清晰，我们换一个顺序： 先排序 cuts 为 [1, 3, 4, 5] ，并在两端添加 0 和 7，得到 [0, 1, 3, 4, 5, 7] 。 任何相邻两点之间的长度就是最终的一段。 问题转化为：按某种顺序合并这些相邻点之间的区间（最终每段长度已知），每次合并相邻区间的成本等于合并后区间的长度（即右端点 - 左端点），求将所有区间合并成一个（即原木棍）的最小成本？ 不，正好相反：我们需要把 [0,7] 这个区间通过切割（即划分）成 [0,1] , [1,3] , [3,4] , [4,5] , [5,7] 这些小段，每次切割的成本是当前区间的长度，求最小总成本。 这等价于：把切割点排序后，考虑区间 [l, r] 代表木棍上从位置 l 到位置 r 的一段，如果我们需要在这个区间内部进行所有落在 (l, r) 内的切割，那么选择第一个切割点 k，成本为 r-l ，然后递归处理 [l, k] 和 [k, r] 。 所以这其实就是经典的“切棍子”问题，只不过切割点必须是指定的整数位置，且每次切割成本是当前段长度。 输出： 16 解释：一种最优切割顺序： 切位置 4（成本 7），分成 [ 0,4] 和 [ 4,7 ]。 切位置 1（在 [ 0,4] 段，成本 4），分成 [ 0,1] 和 [ 1,4 ]。 切位置 3（在 [ 1,4] 段，成本 3），分成 [ 1,3] 和 [ 3,4 ]。 切位置 5（在 [ 4,7] 段，成本 3），分成 [ 4,5] 和 [ 5,7 ]。 总成本 = 7 + 4 + 3 + 3 = 17？这是 17，但示例输出是 16，说明有更优顺序。 实际上正确顺序： 切位置 3（成本 7）→ [ 0,3] 和 [ 3,7 ] 切位置 1（在 [ 0,3]，成本 3）→ [ 0,1] 和 [ 1,3 ] 切位置 4（在 [ 3,7]，成本 4）→ [ 3,4] 和 [ 4,7 ] 切位置 5（在 [ 4,7]，成本 3）→ [ 4,5] 和 [ 5,7 ] 总成本 = 7 + 3 + 4 + 3 = 17？还是 17。 等等，我们再算一个顺序： 切位置 5（成本 7）→ [ 0,5] 和 [ 5,7 ] 切位置 4（在 [ 0,5]，成本 5）→ [ 0,4] 和 [ 4,5 ] 切位置 3（在 [ 0,4]，成本 4）→ [ 0,3] 和 [ 3,4 ] 切位置 1（在 [ 0,3]，成本 3）→ [ 0,1] 和 [ 1,3 ] 总成本 = 7 + 5 + 4 + 3 = 19。 那么最小成本 16 怎么来的？ 我们看官方示例：n=7, cuts=[ 1,3,4,5 ] 答案是 16。 最优顺序之一： 切位置 4（成本 7）→ [ 0,4], [ 4,7 ] 切位置 2？不对，cuts 只有 1,3,4,5。 我们换个思路：将 cuts 排序并加上边界点 0 和 n，得到数组 arr=[ 0,1,3,4,5,7 ]。 区间长度依次是 1,2,1,1,2。 问题等价于：每次选择相邻两个区间合并，合并成本等于合并后区间长度（即两区间长度和），直到只剩一个区间（长度 7），求最小合并成本。 这是经典的 石子合并 问题（相邻合并，成本为两堆石子数量之和，求最小总成本）。 计算最小合并成本： (1) 合并 1 和 2（成本 3）→ 得到 3，序列变为 [ 3,1,1,2 ] (2) 合并 1 和 1（成本 2）→ 得到 2，序列变为 [ 3,2,2 ] (3) 合并 2 和 2（成本 4）→ 得到 4，序列变为 [ 3,4 ] (4) 合并 3 和 4（成本 7）→ 得到 7 总成本 = 3 + 2 + 4 + 7 = 16。 对应切割顺序（逆序看合并顺序）： 合并 3 和 4 对应最早切割分开它们的位置，即位置 3 切割（因为 3 是 arr[ 2]，分开区间 [ 0,3] 和 [ 3,7 ]）成本 7。 合并 2 和 2 对应在 [ 3,7] 内部切位置 5（分开 [ 3,5] 和 [ 5,7]）成本 4（此时段长度是 4？注意此时段是 [ 3,7] 长度 4，切位置 5 后分成 [ 3,5] 长度 2 和 [ 5,7 ] 长度 2）。 合并 1 和 1 对应在 [ 0,3] 内部切位置 1（分开 [ 0,1] 和 [ 1,3 ]）成本 3。 合并 1 和 2 对应在 [ 3,5] 内部切位置 4（分开 [ 3,4] 和 [ 4,5 ]）成本 2。 总成本 = 7 + 4 + 3 + 2 = 16。 注意这里合并顺序对应的切割顺序不是唯一的，但总成本最小是 16。 所以这个问题可以转化为石子合并问题。 解题思路 我们定义 arr 为排序后的切割点加上左右端点： arr = [0] + sorted(cuts) + [n] 。 设 m = len(arr) - 1 ，即最终有 m 段木棍（ arr[i] 到 arr[i+1] 长度记为 len[i] ）。 我们的目标是通过一系列的“切割”逆操作（即合并相邻段）来还原成一根完整木棍，每次合并的成本是合并后区间的长度。 令 dp[i][j] 表示合并第 i 段到第 j 段（共 j-i+1 段）成为一根连续木棍（即区间 [arr[i], arr[j+1]] ）的最小成本。 则转移方程： dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j]) + (arr[j+1] - arr[i]) ，其中 k 从 i 到 j-1 枚举分割点，表示最后一步合并是合并 [i,k] 和 [k+1,j] 两段，合并成本为当前区间长度 arr[j+1] - arr[i] 。 初始条件： dp[i][i] = 0 （单段无需合并）。 最终答案： dp[0][m-1] 。 为什么可以这样建模 因为每次切割的成本是当前木棍长度，等价于在最终所有段合并的过程中，每次合并的成本是合并后区间的长度。合并的顺序正好对应切割的逆序，总成本相同。所以求最小切割成本转化为求最小合并成本，这就是标准的 区间DP石子合并 问题。 详细步骤 预处理 将 cuts 排序，并构建数组 arr = [0] + sorted(cuts) + [n] 。 令 m = len(arr) - 1 ，即最终段数。 DP数组定义 dp[i][j] 表示将 arr[i..j+1] 这些点之间的所有段（即第 i 段到第 j 段）合并成一根木棍的最小成本。其中 0 <= i <= j <= m-1 。 注意：第 i 段对应区间 [arr[i], arr[i+1]] ，长度为 arr[i+1]-arr[i] 。 状态转移 考虑最后一步合并：一定是把 [i..k] 和 [k+1..j] 两段合并，合并成本为当前整段长度 arr[j+1] - arr[i] 。 所以 dp[i][j] = min_{i<=k<j} (dp[i][k] + dp[k+1][j]) + (arr[j+1] - arr[i]) 。 计算顺序 按区间长度从小到大计算： length = 2 到 m （表示合并的段数），对于每个长度，枚举起点 i ，计算 j = i + length - 1 ，再枚举分割点 k 。 答案 dp[0][m-1] 即为所求。 示例计算（n=7, cuts=[ 1,3,4,5]） 排序 cuts → [ 1,3,4,5]，arr = [ 0,1,3,4,5,7 ]，m=5（段数 5）。 段长：1,2,1,1,2。 初始化 dp[i][i] = 0 。 计算长度 2 的区间： dp[0][1] ：合并段0和段1（区间[ 0,1]和[ 1,3]）， arr[2]-arr[0]=3-0=3 ， dp[0][0]+dp[1][1]+3 = 0+0+3 = 3 。 dp[1][2] ：合并段1和段2（区间[ 1,3]和[ 3,4]）， arr[3]-arr[1]=4-1=3 ，成本 3。 dp[2][3] ： arr[4]-arr[2]=5-3=2 ，成本 2。 dp[3][4] ： arr[5]-arr[3]=7-4=3 ，成本 3。 长度 3 的区间： dp[0][2] ：区间 [ 0,4 ]，长度 4。 k=0：左 dp[0][0]=0 ，右 dp[1][2]=3 ，和=3，加 4 得 7。 k=1：左 dp[0][1]=3 ，右 dp[2][2]=0 ，和=3，加 4 得 7。 取 min=7。 dp[1][3] ：区间 [ 1,5 ]，长度 4。 k=1：0+dp[ 2][ 3 ]=2 → 总 6。 k=2：dp[ 1][ 2 ]=3+0=3 → 总 7。 min=6。 dp[2][4] ：区间 [ 3,7 ]，长度 4。 k=2：0+dp[ 3][ 4 ]=3 → 7。 k=3：dp[ 2][ 3 ]=2+0=2 → 6。 min=6。 长度 4 的区间： dp[0][3] ：区间 [ 0,5 ]，长度 5。 k=0：0+dp[ 1][ 3 ]=6 → 11。 k=1：dp[ 0][ 1]=3+dp[ 2][ 3 ]=2 → 5+5=10。 k=2：dp[ 0][ 2 ]=7+0=7 → 12。 min=10。 dp[1][4] ：区间 [ 1,7 ]，长度 6。 k=1：0+dp[ 2][ 4 ]=6 → 12。 k=2：dp[ 1][ 2]=3+dp[ 3][ 4 ]=3 → 6+6=12。 k=3：dp[ 1][ 3 ]=6+0=6 → 12。 min=12。 长度 5 的区间： dp[0][4] ：区间 [ 0,7 ]，长度 7。 k=0：0+dp[ 1][ 4 ]=12 → 19。 k=1：dp[ 0][ 1]=3+dp[ 2][ 4 ]=6 → 9+7=16。 k=2：dp[ 0][ 2]=7+dp[ 3][ 4 ]=3 → 10+7=17。 k=3：dp[ 0][ 3]=10+dp[ 4][ 4 ]=0 → 10+7=17。 min=16。 得到答案 16，与示例一致。 复杂度分析 时间复杂度：O(m³)，其中 m = len(cuts) + 1，因为区间长度最多 m 段。 空间复杂度：O(m²)。 关键点 将切割点排序并添加端点，转化为相邻合并问题。 切割成本等于当前段长，合并成本等于合并后区间长度，两者等价。 直接套用石子合并的区间DP模板即可。 这样，我们就完成了“切棍子的最小成本问题（限定每次切割必须切成整数长度）”的详细讲解。