幂迭代法求矩阵主特征值
字数 1138 2025-10-26 09:00:43

幂迭代法求矩阵主特征值

题目描述
给定一个 \(n \times n\) 的方阵 \(A\)，假设其存在一个绝对值最大的特征值（称为主特征值 \(\lambda_1\)），且对应的特征向量 \(\mathbf{v}_1\) 唯一。幂迭代法通过迭代计算逼近 \(\lambda_1\) 和 \(\mathbf{v}_1\)。

解题步骤

  1. 初始化
    随机选择一个初始向量 \(\mathbf{x}_0\)（通常要求不与 \(\mathbf{v}_1\) 正交）。例如，可取 \(\mathbf{x}_0 = [1, 1, \dots, 1]^T\)。

  2. 迭代过程
    对 \(k = 1, 2, \dots\) 执行以下步骤：

    • 步骤 2.1：矩阵乘法
      计算 \(\mathbf{y}_k = A \mathbf{x}_{k-1}\)。
      解释：将当前向量左乘矩阵 \(A\)，放大主特征值对应的分量。
    • 步骤 2.2：归一化
      计算 \(\mathbf{x}_k = \frac{\mathbf{y}_k}{\|\mathbf{y}_k\|}\)（常用范数为 \(\|\cdot\|_2\)）。
      解释：防止向量分量过大或过小，保持数值稳定性。
    • 步骤 2.3：估计特征值
      计算瑞利商（Rayleigh quotient）作为特征值的近似：

\[ \lambda^{(k)} = \frac{\mathbf{x}_k^T A \mathbf{x}_k}{\mathbf{x}_k^T \mathbf{x}_k} = \mathbf{x}_k^T A \mathbf{x}_k. \]

 *解释：瑞利商在接近特征向量时给出特征值的最优近似。*
  1. 收敛判断
    重复迭代直到满足停止条件（例如 \(\|\mathbf{x}_k - \mathbf{x}_{k-1}\| < \epsilon\) 或 \(|\lambda^{(k)} - \lambda^{(k-1)}| < \epsilon\)）。最终 \(\lambda^{(k)}\) 和 \(\mathbf{x}_k\) 即为 \(\lambda_1\) 和 \(\mathbf{v}_1\) 的近似。

关键点说明

  • 收敛性：迭代收敛速度取决于 \(|\lambda_2 / \lambda_1|\)（次大特征值与主特征值的比值），比值越小收敛越快。
  • 局限性：若主特征值不唯一（如 \(|\lambda_1| = |\lambda_2|\)），方法可能失效；初始向量需与 \(\mathbf{v}_1\) 不正交。
  • 扩展：逆迭代法可求最小特征值，平移幂迭代可求其他特征值。
幂迭代法求矩阵主特征值 题目描述 给定一个 \( n \times n \) 的方阵 \( A \)，假设其存在一个绝对值最大的特征值（称为主特征值 \(\lambda_ 1\)），且对应的特征向量 \(\mathbf{v}_ 1\) 唯一。幂迭代法通过迭代计算逼近 \(\lambda_ 1\) 和 \(\mathbf{v}_ 1\)。 解题步骤 初始化 随机选择一个初始向量 \(\mathbf{x}_ 0\)（通常要求不与 \(\mathbf{v}_ 1\) 正交）。例如，可取 \(\mathbf{x}_ 0 = [ 1, 1, \dots, 1 ]^T\)。 迭代过程 对 \( k = 1, 2, \dots \) 执行以下步骤： 步骤 2.1：矩阵乘法 计算 \(\mathbf{y} k = A \mathbf{x} {k-1}\)。 解释：将当前向量左乘矩阵 \(A\)，放大主特征值对应的分量。 步骤 2.2：归一化 计算 \(\mathbf{x}_ k = \frac{\mathbf{y}_ k}{\|\mathbf{y}_ k\|}\)（常用范数为 \(\|\cdot\|_ 2\)）。 解释：防止向量分量过大或过小，保持数值稳定性。 步骤 2.3：估计特征值 计算瑞利商（Rayleigh quotient）作为特征值的近似： \[ \lambda^{(k)} = \frac{\mathbf{x}_ k^T A \mathbf{x}_ k}{\mathbf{x}_ k^T \mathbf{x}_ k} = \mathbf{x}_ k^T A \mathbf{x}_ k. \] 解释：瑞利商在接近特征向量时给出特征值的最优近似。 收敛判断 重复迭代直到满足停止条件（例如 \(\|\mathbf{x} k - \mathbf{x} {k-1}\| < \epsilon\) 或 \(|\lambda^{(k)} - \lambda^{(k-1)}| < \epsilon\)）。最终 \(\lambda^{(k)}\) 和 \(\mathbf{x}_ k\) 即为 \(\lambda_ 1\) 和 \(\mathbf{v}_ 1\) 的近似。 关键点说明 收敛性 ：迭代收敛速度取决于 \(|\lambda_ 2 / \lambda_ 1|\)（次大特征值与主特征值的比值），比值越小收敛越快。 局限性 ：若主特征值不唯一（如 \(|\lambda_ 1| = |\lambda_ 2|\)），方法可能失效；初始向量需与 \(\mathbf{v}_ 1\) 不正交。 扩展 ：逆迭代法可求最小特征值，平移幂迭代可求其他特征值。