最小生成树唯一性判定算法
字数 2403 2025-12-17 23:18:34

最小生成树唯一性判定算法

题目描述
给定一个无向连通加权图 G = (V, E, w)，其中 w(e) 表示边 e 的权重。我们已经知道至少存在一棵最小生成树（MST）。请设计一个算法，判定这个图的最小生成树是否唯一。换句话说，是否存在另一棵不同的生成树 T'，满足 w(T') = w(T)，其中 T 是某一棵最小生成树？

解题过程讲解

第一步：理解问题的本质

首先，我们需要明确什么情况下最小生成树是唯一的。回顾最小生成树的性质（以 Kruskal 或 Prim 算法为例）：

  • 如果图中所有边的权重都互不相同，那么 MST 一定是唯一的。
  • 但如果存在权重相等的边，就可能出现多棵总权重相同的生成树。

关键在于：在构造 MST 时，当我们在某个步骤面临多条权重相同的边可以选择，不同的选择可能导致不同的生成树结构，但最终总权重相同。
因此，判定唯一性就转化为：检查是否可以在保持最小总权重的条件下，用另一条边替换 MST 中的某条边。

第二步：核心思路——替换边法

一个经典判定方法是：

  1. 先求出任意一棵最小生成树 T（例如用 Kruskal 或 Prim 算法）。
  2. 对 T 中的每一条边 e ∈ T，尝试用一条不在 T 中且权重与 e 相同的边 e' 替换 e，并检查替换后是否仍然是一棵生成树，且总权重不变。
  3. 如果存在这样一条可替换的边，则 MST 不唯一；否则唯一。

为什么这个思路是正确的？

  • 如果存在另一棵 MST T' ≠ T，且 w(T') = w(T)，那么 T 和 T' 的边集至少有一条边不同。
  • 考虑 T 中的某条边 e 不在 T' 中。由于 T' 也是一棵生成树，将 e 加入 T' 会形成一个环 C，且 C 上一定存在另一条边 e' ∈ T' 但 e' ∉ T。
  • 由切性质（cut property）可知，e 和 e' 的权重相等，且 e' 是连接 e 对应的某个割的另一条最小权重边。
  • 因此，在 T 中尝试用 e' 替换 e 是可行的，且权重不变。

第三步：算法步骤细化

步骤 1：求任意一棵 MST T
使用 Kruskal 或 Prim 算法，得到 T 和它的总权重 W。
记录 T 中的边集，以及每条边的端点。

步骤 2：枚举 T 中的每一条边 e = (u, v)

  1. 从原图 G 中暂时移除边 e（或标记为不可用）。
  2. 在移除 e 后的图上，重新运行 MST 算法（如 Kruskal），但只考虑权重 ≤ w(e) 的边（因为如果使用权重更大的边，总权重会增加，不可能与 W 相等）。
  3. 在构建新生成树的过程中，如果能够找到一棵总权重等于 W 的生成树，则说明存在另一棵 MST（它不包含 e 但总权重相同），于是判定不唯一。
  4. 如果找不到，则继续测试下一条边。

步骤 3：判断
如果所有边 e 都测试完都没有找到替换，则 MST 唯一。

第四步：优化与高效实现

上述暴力方法需要对每条 T 边跑一次 MST 算法，最坏复杂度 O(E log E) 每条边，总共 O(VE log E)，比较慢。
我们可以优化：

方法 A：利用最小瓶颈路思想

  • 对每条非树边 e' = (u, v) ∉ T，考虑它加入 T 后形成的环。
  • 在环上找到权重最大的边（即瓶颈边）。如果这个最大边的权重等于 e' 的权重，那么就可以用 e' 替换那条最大边，从而得到另一棵总权重相同的生成树。
  • 因此，算法变为：
    1. 求 MST T。
    2. 预处理 T 上任意两点间路径上的最大边权重（可以用树上倍增或树链剖分在 O(n log n) 时间内预处理，O(log n) 查询）。
    3. 对每条非树边 e' = (u, v) 权重 w'，查询 T 中 u 到 v 路径上的最大边权重 w_max。
    4. 如果 w_max == w'，说明可以替换，MST 不唯一。

方法 B：利用边的分类

  • 将边按权重分组。
  • 对每个权重值，先考虑所有该权重的边，用 Kruskal 算法构建 MST 时，记录哪些该权重的边被选中（成为 MST 边），哪些被丢弃（因为两端已在同一连通分量）。
  • 关键：如果在处理某个权重的边时，存在一条边 e' 被丢弃，但它在加入时连接的两个连通分量之间，在该权重下还有另一条边 e（树边）连接相同的两个连通分量，那么 e' 就可以替代 e，得到另一棵 MST。
  • 实现时可以用并查集，按权重从小到大处理，对每个权重，先收集所有该权重的边，然后依次尝试加入，如果某条边加入时两端已经连通，则标记它是一条“可替代”的边；接着正式加入该权重中被选为 MST 的边到并查集。如果在某个权重中发现了“可替代”边，则 MST 不唯一。

第五步：算法实现示例（采用方法 A）

输入：图 G = (V, E, w)
输出：True（如果 MST 唯一），False（如果不唯一）

1. 用 Kruskal 算法求出 MST T，得到边集 T_edges。
2. 构建 T 的邻接表表示（因为 T 是树，有 V-1 条边）。
3. 预处理 T 上任意两点间路径的最大边权重：
   - 以任意节点为根，做 DFS 或 BFS 得到父节点、深度。
   - 用倍增法（binary lifting）存储每个节点向上 2^k 步的祖先，以及到该祖先路径上的最大边权重。
4. 对每条非树边 e' = (u, v, w')：
   a. 在 T 上查询 u 到 v 路径上的最大边权重 w_max。
   b. 如果 w_max == w'，则返回 False（不唯一）。
5. 如果所有非树边都检查完，没有发现 w_max == w' 的情况，返回 True（唯一）。

预处理 O(V log V)，查询 O(log V) 每条非树边，总复杂度 O(E log V)。

第六步：举例说明

考虑一个正方形加一条对角线的图，四个顶点 A,B,C,D，边：
AB=1, BC=2, CD=1, DA=2, AC=2（对角线）。

  • 用 Kruskal 选边：先选 AB(1), CD(1), 然后可以从 BC(2), DA(2), AC(2) 中选两条。
  • 一种 MST 是 {AB, CD, BC, DA} 权重 1+1+2+2=6。
  • 检查非树边 AC(2)：在 MST 中 A 到 C 路径是 A-B-C，最大边权重是 max(1,2)=2，等于 AC 的权重 2，因此可以用 AC 替换 BC（或替换 DA，但替换后结构不同），得到另一棵 MST {AB, CD, AC, DA}，权重 6。
    所以 MST 不唯一。

总结
最小生成树唯一性判定可通过检查是否存在另一条与某 MST 边权重相同的非树边，能替换它而保持总权重不变来实现。高效算法利用树上路径最大边权查询，可在 O(E log V) 时间内判定。

最小生成树唯一性判定算法 题目描述 给定一个无向连通加权图 G = (V, E, w)，其中 w(e) 表示边 e 的权重。我们已经知道至少存在一棵最小生成树（MST）。请设计一个算法，判定这个图的最小生成树是否唯一。换句话说，是否存在另一棵不同的生成树 T'，满足 w(T') = w(T)，其中 T 是某一棵最小生成树？ 解题过程讲解 第一步：理解问题的本质 首先，我们需要明确什么情况下最小生成树是唯一的。回顾最小生成树的性质（以 Kruskal 或 Prim 算法为例）： 如果图中所有边的权重都 互不相同 ，那么 MST 一定是唯一的。 但如果存在 权重相等的边 ，就可能出现多棵总权重相同的生成树。 关键在于：在构造 MST 时，当我们在某个步骤面临多条权重相同的边可以选择，不同的选择可能导致不同的生成树结构，但最终总权重相同。 因此，判定唯一性就转化为：检查是否可以在保持最小总权重的条件下，用另一条边替换 MST 中的某条边。 第二步：核心思路——替换边法 一个经典判定方法是： 先求出任意一棵最小生成树 T（例如用 Kruskal 或 Prim 算法）。 对 T 中的每一条边 e ∈ T，尝试用一条不在 T 中且权重与 e 相同的边 e' 替换 e，并检查替换后是否仍然是一棵生成树，且总权重不变。 如果存在这样一条可替换的边，则 MST 不唯一；否则唯一。 为什么这个思路是正确的？ 如果存在另一棵 MST T' ≠ T，且 w(T') = w(T)，那么 T 和 T' 的边集至少有一条边不同。 考虑 T 中的某条边 e 不在 T' 中。由于 T' 也是一棵生成树，将 e 加入 T' 会形成一个环 C，且 C 上一定存在另一条边 e' ∈ T' 但 e' ∉ T。 由切性质（cut property）可知，e 和 e' 的权重相等，且 e' 是连接 e 对应的某个割的另一条最小权重边。 因此，在 T 中尝试用 e' 替换 e 是可行的，且权重不变。 第三步：算法步骤细化 步骤 1：求任意一棵 MST T 使用 Kruskal 或 Prim 算法，得到 T 和它的总权重 W。 记录 T 中的边集，以及每条边的端点。 步骤 2：枚举 T 中的每一条边 e = (u, v) 从原图 G 中暂时移除边 e（或标记为不可用）。 在移除 e 后的图上，重新运行 MST 算法（如 Kruskal），但 只考虑权重 ≤ w(e) 的边 （因为如果使用权重更大的边，总权重会增加，不可能与 W 相等）。 在构建新生成树的过程中，如果能够找到一棵总权重等于 W 的生成树，则说明存在另一棵 MST（它不包含 e 但总权重相同），于是判定不唯一。 如果找不到，则继续测试下一条边。 步骤 3：判断 如果所有边 e 都测试完都没有找到替换，则 MST 唯一。 第四步：优化与高效实现 上述暴力方法需要对每条 T 边跑一次 MST 算法，最坏复杂度 O(E log E) 每条边，总共 O(VE log E)，比较慢。 我们可以优化： 方法 A：利用最小瓶颈路思想 对每条非树边 e' = (u, v) ∉ T，考虑它加入 T 后形成的环。 在环上找到权重最大的边（即瓶颈边）。如果这个最大边的权重等于 e' 的权重，那么就可以用 e' 替换那条最大边，从而得到另一棵总权重相同的生成树。 因此，算法变为： 求 MST T。 预处理 T 上任意两点间路径上的最大边权重（可以用树上倍增或树链剖分在 O(n log n) 时间内预处理，O(log n) 查询）。 对每条非树边 e' = (u, v) 权重 w'，查询 T 中 u 到 v 路径上的最大边权重 w_ max。 如果 w_ max == w'，说明可以替换，MST 不唯一。 方法 B：利用边的分类 将边按权重分组。 对每个权重值，先考虑所有该权重的边，用 Kruskal 算法构建 MST 时，记录哪些该权重的边被选中（成为 MST 边），哪些被丢弃（因为两端已在同一连通分量）。 关键：如果在处理某个权重的边时，存在一条边 e' 被丢弃，但它在加入时连接的两个连通分量之间， 在该权重下 还有另一条边 e（树边）连接相同的两个连通分量，那么 e' 就可以替代 e，得到另一棵 MST。 实现时可以用并查集，按权重从小到大处理，对每个权重，先收集所有该权重的边，然后依次尝试加入，如果某条边加入时两端已经连通，则标记它是一条“可替代”的边；接着正式加入该权重中被选为 MST 的边到并查集。如果在某个权重中发现了“可替代”边，则 MST 不唯一。 第五步：算法实现示例（采用方法 A） 预处理 O(V log V)，查询 O(log V) 每条非树边，总复杂度 O(E log V)。 第六步：举例说明 考虑一个正方形加一条对角线的图，四个顶点 A,B,C,D，边： AB=1, BC=2, CD=1, DA=2, AC=2（对角线）。 用 Kruskal 选边：先选 AB(1), CD(1), 然后可以从 BC(2), DA(2), AC(2) 中选两条。 一种 MST 是 {AB, CD, BC, DA} 权重 1+1+2+2=6。 检查非树边 AC(2)：在 MST 中 A 到 C 路径是 A-B-C，最大边权重是 max(1,2)=2，等于 AC 的权重 2，因此可以用 AC 替换 BC（或替换 DA，但替换后结构不同），得到另一棵 MST {AB, CD, AC, DA}，权重 6。 所以 MST 不唯一。 总结 最小生成树唯一性判定可通过检查是否存在另一条与某 MST 边权重相同的非树边，能替换它而保持总权重不变来实现。高效算法利用树上路径最大边权查询，可在 O(E log V) 时间内判定。