线性动态规划：最长回文子串（动态规划解法）的进阶版——统计所有长度至少为L的不同回文子串的个数
字数 1671 2025-12-17 22:55:43

线性动态规划：最长回文子串（动态规划解法）的进阶版——统计所有长度至少为L的不同回文子串的个数

题目描述
给定一个字符串 s 和一个正整数 L，要求统计所有长度至少为 L 的不同回文子串的个数。这里的子串是连续的，且不同指的是子串内容不同（即相同的字符串只计数一次）。例如，对于 s = "ababa" 和 L = 2，长度为2或以上的不同回文子串有 "aba"、"bab"、"ababa" 三个，所以答案是3。

解题过程
这是一个字符串处理问题，结合了回文串判断和去重计数。我们需要高效地找出所有长度至少为 L 的回文子串，并去重。动态规划可以用来判断任意子串是否为回文，同时配合哈希集合（如 Python 的 set）来去重。

步骤分解：

  1. 定义状态
    设 dp[i][j] 表示字符串 s 从索引 i 到 j 的子串（包含两端）是否为回文串。dp[i][j] 为布尔值：True 表示是回文，False 表示不是。

    • 如果 s[i] == s[j]，且去掉两端的子串 s[i+1:j-1] 是回文（或长度为0/1），则整个子串是回文。
    • 转移方程：
      dp[i][j] = (s[i] == s[j]) and (j - i <= 2 or dp[i+1][j-1])
      其中 j - i <= 2 表示子串长度为1、2或3时，只要两端字符相等就一定是回文。

  2. 初始化与填表顺序
    因为 dp[i][j] 依赖于 dp[i+1][j-1]（左下角的状态），我们需要按子串长度从小到大进行递推。

    • 外层循环枚举子串长度 len，从 1 到 n（n为字符串长度）。
    • 内层循环枚举起始位置 i，计算结束位置 j = i + len - 1。
    • 这样保证计算 dp[i][j] 时，dp[i+1][j-1] 已经计算过了。

  3. 收集结果并去重
    在计算过程中，每当发现一个回文子串 s[i:j+1]（Python切片是左闭右开，所以是 s[i:j+1]），检查其长度是否至少为 L。如果是，则将其加入一个集合（set）中，集合自动去重。

  4. 输出结果
    最后，集合的大小就是不同回文子串的个数。

举例说明
以 s = "ababa", L = 2 为例：

  • 字符串长度 n = 5。
  • 枚举所有子串：
    • 长度=2："ab" 不是回文，"ba" 不是，"ab" 不是，"ba" 不是。
    • 长度=3："aba" 是回文（长度≥2，加入集合），"bab" 是（加入），"aba" 是（重复，不重复加入）。
    • 长度=4："abab" 不是，"baba" 不是。
    • 长度=5："ababa" 是回文（加入集合）。
  • 集合中有 {"aba", "bab", "ababa"}，共3个。

复杂度分析

  • 时间复杂度：动态规划填表需要 O(n²)，每次子串加入集合（字符串切片）的代价为 O(子串长度)，最坏情况下所有子串都是回文（如全相同字符），总共有 O(n²) 个子串，每个子串长度平均 O(n)，所以最坏为 O(n³)。但实际中回文子串数量远少于全部子串，且可以通过存储子串的哈希值（如通过字符串哈希）优化到 O(n²)。
  • 空间复杂度：O(n²) 用于存储 dp 表，以及集合存储最多 O(n²) 个子串（每个子串长度 O(n)），所以空间最坏 O(n³)（如果存储完整子串）。同样可以用哈希值优化到 O(n²)。

优化思路
如果需要处理更长的字符串，可以采用中心扩展法枚举所有回文子串（每个中心点向两边扩展），配合哈希集合去重，时间复杂度为 O(n²)，空间为 O(n²)（用于存储哈希值）。不过动态规划解法更直接，易于理解。

总结
这个题目是最长回文子串问题的自然扩展，要求统计所有满足长度限制的不同回文子串。通过动态规划判断所有子串的回文性，并用集合去重，即可得到答案。

线性动态规划：最长回文子串（动态规划解法）的进阶版——统计所有长度至少为L的不同回文子串的个数 题目描述 给定一个字符串 s 和一个正整数 L ，要求统计所有长度至少为 L 的 不同 回文子串的个数。这里的子串是连续的，且不同指的是子串内容不同（即相同的字符串只计数一次）。例如，对于 s = "ababa" 和 L = 2 ，长度为2或以上的不同回文子串有 "aba" 、 "bab" 、 "ababa" 三个，所以答案是3。 解题过程 这是一个字符串处理问题，结合了回文串判断和去重计数。我们需要高效地找出所有长度至少为 L 的回文子串，并去重。动态规划可以用来判断任意子串是否为回文，同时配合哈希集合（如 Python 的 set ）来去重。 步骤分解： 定义状态 设 dp[i][j] 表示字符串 s 从索引 i 到 j 的子串（包含两端）是否为回文串。 dp[i][j] 为布尔值： True 表示是回文， False 表示不是。 如果 s[i] == s[j] ，且去掉两端的子串 s[i+1:j-1] 是回文（或长度为0/1），则整个子串是回文。 转移方程： dp[i][j] = (s[i] == s[j]) and (j - i <= 2 or dp[i+1][j-1]) 其中 j - i <= 2 表示子串长度为1、2或3时，只要两端字符相等就一定是回文。 初始化与填表顺序 因为 dp[i][j] 依赖于 dp[i+1][j-1] （左下角的状态），我们需要按子串长度从小到大进行递推。 外层循环枚举子串长度 len ，从 1 到 n （n为字符串长度）。 内层循环枚举起始位置 i ，计算结束位置 j = i + len - 1 。 这样保证计算 dp[i][j] 时， dp[i+1][j-1] 已经计算过了。 收集结果并去重 在计算过程中，每当发现一个回文子串 s[i:j+1] （Python切片是左闭右开，所以是 s[i:j+1] ），检查其长度是否至少为 L 。如果是，则将其加入一个集合（ set ）中，集合自动去重。 输出结果 最后，集合的大小就是不同回文子串的个数。 举例说明 以 s = "ababa" , L = 2 为例： 字符串长度 n = 5 。 枚举所有子串： 长度=2： "ab" 不是回文， "ba" 不是， "ab" 不是， "ba" 不是。 长度=3： "aba" 是回文（长度≥2，加入集合）， "bab" 是（加入）， "aba" 是（重复，不重复加入）。 长度=4： "abab" 不是， "baba" 不是。 长度=5： "ababa" 是回文（加入集合）。 集合中有 {"aba", "bab", "ababa"} ，共3个。 复杂度分析 时间复杂度：动态规划填表需要 O(n²)，每次子串加入集合（字符串切片）的代价为 O(子串长度)，最坏情况下所有子串都是回文（如全相同字符），总共有 O(n²) 个子串，每个子串长度平均 O(n)，所以最坏为 O(n³)。但实际中回文子串数量远少于全部子串，且可以通过存储子串的哈希值（如通过字符串哈希）优化到 O(n²)。 空间复杂度：O(n²) 用于存储 dp 表，以及集合存储最多 O(n²) 个子串（每个子串长度 O(n)），所以空间最坏 O(n³)（如果存储完整子串）。同样可以用哈希值优化到 O(n²)。 优化思路 如果需要处理更长的字符串，可以采用 中心扩展法 枚举所有回文子串（每个中心点向两边扩展），配合哈希集合去重，时间复杂度为 O(n²)，空间为 O(n²)（用于存储哈希值）。不过动态规划解法更直接，易于理解。 总结 这个题目是 最长回文子串 问题的自然扩展，要求统计所有满足长度限制的不同回文子串。通过动态规划判断所有子串的回文性，并用集合去重，即可得到答案。