基于句法树核（Syntactic Tree Kernel）的文本相似度计算算法

一、 算法描述

基于句法树核的文本相似度计算算法，是一种用于衡量两段文本在句法结构层面相似度的经典方法。它属于结构核（Structural Kernel）和卷积核（Convolutional Kernel）的一种具体应用。

核心思想：不同于传统方法（如词袋模型）只关注词汇的重叠，句法树核通过比较两个句子对应句法分析树（如依存树或短语结构树）的共有子树结构来计算相似度。其基本假设是：句法结构相似的文本，在语义或功能上也可能更相近。

主要特点：

1. 结构性：直接利用句法分析得到的树结构信息。
2. 隐含语义：能捕捉到超越表面词汇的语法关系相似性。
3. 核方法：将文本映射到一个高维的隐式特征空间（所有可能的子树空间），通过计算内积（即核函数值）来得到相似度，而无需显式枚举所有特征。

典型应用：文本分类、信息检索、问答匹配、复述识别等领域，尤其在对语法敏感的任务中表现良好。

二、 解题过程循序渐进讲解

我们将以短语结构树为例，详细讲解如何利用树核计算两个句子的相似度。

第一步：输入文本与句法分析

假设我们要比较两个句子：

• S1: “The cat chased the mouse.”
• S2: “A dog barked at the mailman.”

步骤 1.1：句法解析
首先，我们需要为每个句子生成句法分析树。这里使用简化的短语结构树（Penn Treebank风格）作为示例。

• S1 的句法树 T1：

          S
       /  |   \
      NP  VP   .
     / \  |   / \
   Det N  V   NP  .
    |  |  |  / \  |
   The cat chased Det N
                |  |
               the mouse
  

  （为简化图示，我们用一个更线性的方式表示其节点集合和关系）

• S2 的句法树 T2：

          S
       /  |   \
      NP  VP   .
     / \  |   / \
   Det N  V  PP  .
    |  |  |  / \  |
    A dog barked P  NP
              |  / \
             at Det N
               |  |
               the mailman
  

关键点：树核算法的性能很大程度上依赖于句法分析器的准确度。常用的分析器有Stanford Parser、Berkeley Parser等。

第二步：理解树核的基本单位——子树

树核比较的是两棵树之间共有的“子树”结构。这里的“子树”通常定义为：

• 连续子树：由原树中任意一个节点及其所有后代节点组成的树片段，且必须保持原树中的父子关系和兄弟顺序。
• 在经典的Collins & Duffy (2001) 树核中，通常考虑所有可能的连续子树。

举例说明：
对于T1中的一个节点“VP”，其一个连续子树可以是：

    VP
     |
     V
     |
   chased

另一个更复杂的连续子树是：

    VP
     |
     V
     |
   chased
     \
      NP
     /  \
   Det   N
    |    |
   the  mouse

第三步：计算树核函数——核心公式

树核的核心是计算两个句法树 T1 和 T2 之间的相似度 K(T1, T2)。最常用的是子集树核 公式。

步骤 3.1：定义核函数
K(T1, T2) = Σ_{n1 ∈ N(T1)} Σ_{n2 ∈ N(T2)} C(n1, n2)

• N(T) 表示树T的所有节点集合。
• C(n1, n2) 是一个递归函数，计算以节点n1和n2为根的两棵子树之间，所有匹配的连续子树的数量。

步骤 3.2：定义递归函数 C(n1, n2)
C(n1, n2) 的计算遵循以下规则：

1. 基础情况：如果节点n1和n2的产生式（即节点本身的标签及其直接子节点的标签序列）不同，那么C(n1, n2) = 0。因为它们不可能有相同的子树结构。
2. 递归情况：如果节点n1和n2的产生式相同，那么
   • 如果它们都是预终结符节点（即子节点是词汇），则C(n1, n2) = λ （λ 是一个衰减因子，0<λ≤1，通常设为0.4-1.0，用于控制大子树的权重）。
   • 否则，它们有相同数量的子节点（因为产生式相同）。假设有m个子节点，则：
     C(n1, n2) = λ * Π_{j=1}^{m} (1 + C(ch(n1, j), ch(n2, j)))
     • ch(n, j) 表示节点n的第j个子节点。
     • 公式中 (1 + C(...)) 是因为对于每个子节点对，我们既可以考虑以它们为根的更深的匹配子树（C的值），也可以只匹配到当前这个子节点本身（即贡献1）。

λ的作用：λ^d，其中d是子树的深度。它使得大而深的匹配子树对相似度的贡献小于小而浅的匹配子树，这符合直觉：共享一个简单的“NP -> Det N”结构比共享一个复杂的完整从句结构更常见，因此前者的区分度应更低。

第四步：手动计算示例（简化版）

为了直观理解，我们极端简化地计算T1和T2的核。

我们只考虑几个关键节点：

• 假设我们只比较根节点“S”的直接子结构。
• S1的根“S”有三个子节点：[NP, VP, ‘.’]
• S2的根“S”有三个子节点：[NP, VP, ‘.’]

对于根节点“S”对：

1. 产生式相同（都是 S -> NP VP ‘.’）。假设λ=1。
2. 它们不是预终结符。有3个子节点。
3. 计算：
   C(S1, S2) = λ * [ (1 + C(NP1, NP2)) * (1 + C(VP1, VP2)) * (1 + C(‘.’, ‘.’)) ]
   • C(‘.’, ‘.’)：产生式相同且是预终结符，所以 = λ = 1。
   • C(NP1, NP2)：NP1的产生式是 NP -> Det N (The, cat)。NP2的产生式是 NP -> Det N (A, dog)。产生式相同。
     • Det节点：Det(The) 和 Det(A)，产生式相同，预终结符，C=λ=1。
     • N节点：N(cat) 和 N(dog)，产生式相同，预终结符，C=λ=1。
     • 所以 C(NP1, NP2) = λ * [ (1+1) * (1+1) ] = 1 * (2 * 2) = 4。（这表示在NP这个层级上，有4种匹配的子树：两个单独的Det或N节点，以及整个NP结构本身）。
   • C(VP1, VP2)：VP1产生式 VP -> V NP。VP2产生式 VP -> V PP。产生式不同！所以 C(VP1, VP2) = 0。
4. 代入：C(S1, S2) = 1 * [ (1+4) * (1+0) * (1+1) ] = 5 * 1 * 2 = 10。

这个值“10”意味着，在考虑了从根节点“S”开始的、λ=1的、我们简化的比较范围内，T1和T2共有10种匹配的连续子树结构（主要是由共享的句法框架 S -> NP . 和 NP -> Det N 贡献的）。

在实际计算中，程序会遍历T1和T2的每一个节点对，递归地计算所有C(n1, n2)，最后将它们求和得到最终的K(T1, T2)。这个计算可以通过动态规划高效实现。

第五步：归一化与相似度得分

原始的核值K(T1, T2)受到树大小的影响。为了得到一个在[0, 1]范围内的可解释的相似度分数，通常进行归一化：

相似度(T1, T2) = K(T1, T2) / sqrt( K(T1, T1) * K(T2, T2) )

• K(T1, T1) 是树T1与自身的核，代表了T1所有可能的子树结构的“自相似度”或复杂度。
• 这样归一化后，结果就是余弦相似度的一种形式，值越接近1，表示两棵树在句法结构上越相似。

第六步：算法总结与要点

1. 输入：两段文本。
2. 预处理：对文本进行句法分析，得到两棵句法树T1和T2。
3. 核计算：应用子集树核公式，通过动态规划递归地计算每一对节点(n1, n2)的C(n1, n2)，然后求和得到K(T1, T2)。
4. 归一化：将K(T1, T2)除以两个树自核的几何平均数，得到最终的相似度得分。
5. 输出：一个介于0到1之间的相似度分数。

优势：

• 有效利用句法结构信息。
• 对词汇变化有一定鲁棒性（只要句法框架相似，即使词汇不同也能得高分）。

局限：

• 严重依赖句法分析的准确性。
• 计算复杂度较高（O(|N1| * |N2|)），但对于一般句子尚可接受。
• 主要捕捉语法相似性，对于语义相似但语法结构不同的句子（如主动句和被动句），可能得分不高。

这个算法是连接句法分析与机器学习（特别是支持向量机等核方法）的一座重要桥梁，展示了如何将离散的语言结构转化为可计算的连续相似度度量。