AES加密算法的InvMixColumns变换详解
字数 3051 2025-12-17 16:31:16

AES加密算法的InvMixColumns变换详解

好的，我们来讲讲AES加密算法中解密流程里的一个核心步骤——InvMixColumns（逆列混淆）变换。这是AES解密过程中最复杂的一个线性变换，与加密过程中的MixColumns变换严格对应。理解它，是理解AES算法结构对称性与可逆性的关键。

题目描述

在AES加密算法中，解密流程是加密流程的逆过程。解密轮的轮函数依次包括：InvShiftRows（逆行移位）、InvSubBytes（逆字节替换）、InvMixColumns（逆列混淆）和AddRoundKey（轮密钥加，但顺序有调整）。其中，InvMixColumns变换是MixColumns变换的逆操作。它的任务是将状态矩阵（State）中的每一列，通过与一个固定的、定义在有限域GF(2^8)上的可逆矩阵相乘，来“扩散”或“混淆”列中的字节，以逆转加密时MixColumns带来的扩散效果，从而正确恢复出原始数据。

我们的目标是：详细解析InvMixColumns变换的数学定义、计算过程、所依赖的数学基础（有限域GF(2^8)），并阐明它如何与MixColumns构成一对互逆的运算。

解题过程（详细讲解）

第一步：回顾预备知识——AES的状态与GF(2^8)

  1. AES状态：AES算法（以128位密钥为例）将16字节的中间数据（明文、密文或中间值）组织成一个4x4的字节矩阵，称为“状态（State）”。运算都是对这个状态矩阵进行的。
  2. 有限域GF(2^8)：AES的所有字节运算都定义在有限域GF(2^8)上。这个域包含256个元素，每个元素可以表示为一个8位的字节（例如0x57）。域上的加法是字节的按位异或（XOR，记作⊕），乘法是模一个特定的8次不可约多项式m(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1（十六进制表示为0x11B）的乘法。这是理解后续所有多项式系数的前提。

第二步：理解加密中的MixColumns变换

要理解逆变换，必须先理解正变换。MixColumns对状态的每一列（4个字节）进行独立运算，将其视为GF(2^8)上的一个4项多项式（或4维向量）。

  • 将列向量记为：s(x) = s3*x^3 + s2*x^2 + s1*x + s0，其中s0是列中最顶端的字节。
  • MixColumns变换定义为将该列多项式与一个固定的多项式c(x) = {03}x^3 + {01}x^2 + {01}x + {02}在模x^4 + 1下相乘。这里的{02}, {03}等是GF(2^8)中的元素。
  • 这个模乘操作等价于用一个固定的4x4矩阵（称为MDS矩阵，即扩散矩阵）左乘该列向量。矩阵形式如下（所有数值均为十六进制，运算在GF(2^8)中）： 
    | s0' |   | 02 03 01 01 |   | s0 |
| s1' | = | 01 02 03 01 | * | s1 |
| s2' |   | 01 01 02 03 |   | s2 |
| s3' |   | 03 01 01 02 |   | s3 |
    结果得到新的列向量(s0’， s1‘， s2‘， s3’)。

第三步：引出InvMixColumns变换

解密时，我们需要一个变换来抵消MixColumns的效果。这个变换就是InvMixColumns。在数学上，它对应的就是MixColumns所用矩阵的逆矩阵。

  • 在GF(2^8)上，可以计算出MixColumns矩阵的逆矩阵。计算结果为：

    | s0 |   | 0E 0B 0D 09 |   | s0' | （注意：这里`s`是输入，`s'`是输出，但为了清晰，我们通常用`s'`表示解密后恢复出的值，即上一步的输入。这里从逆运算角度理解）
| s1 | = | 09 0E 0B 0D | * | s1' |
| s2 |   | 0D 09 0E 0B |   | s2' |
| s3 |   | 0B 0D 09 0E |   | s3' |

    更准确的表述是：如果C是MixColumns矩阵，D是InvMixColumns矩阵，那么有 D * C = I（单位矩阵）。所以，解密时，我们对当前状态的一列（记为S_col）执行 S_col_new = D * S_col。

  • 从多项式角度看，InvMixColumns对应乘以一个多项式d(x)，满足 c(x) * d(x) ≡ 1 mod (x^4 + 1)。计算可得 d(x) = {0B}x^3 + {0D}x^2 + {09}x + {0E}。

第四步：InvMixColumns的详细计算步骤（以一个列为例）

假设解密过程中，进入InvMixColumns的某一列四个字节为：a0, a1, a2, a3。我们需要计算得到新的四个字节b0, b1, b2, b3。

根据逆矩阵公式，有：

b0 = ({0E} • a0) ⊕ ({0B} • a1) ⊕ ({0D} • a2) ⊕ ({09} • a3)
b1 = ({09} • a0) ⊕ ({0E} • a1) ⊕ ({0B} • a2) ⊕ ({0D} • a3)
b2 = ({0D} • a0) ⊕ ({09} • a1) ⊕ ({0E} • a2) ⊕ ({0B} • a3)
b3 = ({0B} • a0) ⊕ ({0D} • a1) ⊕ ({09} • a2) ⊕ ({0E} • a3)

其中，• 表示GF(2^8)上的乘法，⊕ 表示异或。

关键：GF(2^8)乘法的手动计算
以计算{0E} • a0为例。{0E} 的二进制是0000 1110，可以看作多项式x^3 + x^2 + x（因为0x0E = 0*2^7 + 0*2^6 + 0*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0）。
在GF(2^8)中，乘法满足分配律。所以：

{0E} • a0 = (x^3 + x^2 + x) • a0
          = (x^3 • a0) ⊕ (x^2 • a0) ⊕ (x • a0)

在AES的有限域中，乘以x（即多项式x，对应字节{02}）有一个高效的实现方法：将字节左移一位，如果结果的最高位是1（即移出了比特），则再与0x1B (0x11B去掉最高位的x^8项)进行异或。这称为xtime操作。

因此：

  • x • a0 可以通过一次xtime(a0)得到。
  • x^2 • a0 = x • (x • a0)，即对a0进行两次xtime。
  • x^3 • a0 = x • (x^2 • a0)，即对a0进行三次xtime。

所以，{0E} • a0 = xtime(xtime(xtime(a0))) ⊕ xtime(xtime(a0)) ⊕ xtime(a0)。

在实际的AES实现（包括加解密库和硬件指令）中，这些系数乘法{0E}, {0B}, {0D}, {09}通常会被预计算成查找表，以极大提高速度。这就是著名的“T-Table”优化技术。

第五步：验证与MixColumns的互逆性

这是核心。我们可以用一个小例子验证，或者从理论上理解。

  • 理论保证：因为矩阵D是矩阵C在GF(2^8)上的逆矩阵，所以对于任何列向量S，都有 D * (C * S) = (D * C) * S = I * S = S。这意味着先做MixColumns，再做InvMixColumns，就能恢复原数据。反之亦然。
  • 与解密流程的配合：AES的解密流程是：
    InvShiftRows -> InvSubBytes -> InvMixColumns -> AddRoundKey （对于前Nr-1轮）
    注意，最后一轮解密没有InvMixColumns变换，这与加密最后一轮没有MixColumns是对称的。
  • 等价解密流程：由于矩阵乘法的线性性质，AES还有一个“等价解密流程”，可以将InvMixColumns变换合并到轮密钥中，使得解密流程的结构与加密流程完全一致（都是SubBytes, ShiftRows, MixColumns, AddRoundKey的顺序），只是使用的密钥和S盒不同。这体现了AES算法设计的优雅性。

总结

InvMixColumns变换是AES解密算法中恢复数据正确性的关键线性扩散步骤。其本质是MixColumns变换在有限域GF(2^8)上的逆运算，通过一个固定的逆矩阵（或逆多项式）与状态矩阵的每一列相乘来实现。其计算依赖于有限域GF(2^8)上的乘法和异或运算，虽然手算繁琐，但在实际中通过查找表优化效率极高。理解InvMixColumns，是透彻掌握AES算法可逆性和整体结构的重要一环。

AES加密算法的InvMixColumns变换详解 好的，我们来讲讲AES加密算法中解密流程里的一个核心步骤—— InvMixColumns （逆列混淆）变换。这是AES解密过程中最复杂的一个线性变换，与加密过程中的MixColumns变换严格对应。理解它，是理解AES算法结构对称性与可逆性的关键。 题目描述 在AES加密算法中，解密流程是加密流程的逆过程。解密轮的轮函数依次包括： InvShiftRows （逆行移位）、 InvSubBytes （逆字节替换）、 InvMixColumns （逆列混淆）和 AddRoundKey （轮密钥加，但顺序有调整）。其中，InvMixColumns变换是MixColumns变换的逆操作。它的任务是将状态矩阵（State）中的每一列，通过与一个固定的、定义在有限域GF(2^8)上的可逆矩阵相乘，来“扩散”或“混淆”列中的字节，以逆转加密时MixColumns带来的扩散效果，从而正确恢复出原始数据。 我们的目标是 ：详细解析InvMixColumns变换的数学定义、计算过程、所依赖的数学基础（有限域GF(2^8)），并阐明它如何与MixColumns构成一对互逆的运算。 解题过程（详细讲解） 第一步：回顾预备知识——AES的状态与GF(2^8) AES状态 ：AES算法（以128位密钥为例）将16字节的中间数据（明文、密文或中间值）组织成一个4x4的字节矩阵，称为“状态（State）”。运算都是对这个状态矩阵进行的。 有限域GF(2^8) ：AES的所有字节运算都定义在有限域GF(2^8)上。这个域包含256个元素，每个元素可以表示为一个8位的字节（例如 0x57 ）。域上的加法是字节的按位异或（XOR，记作⊕），乘法是模一个特定的8次不可约多项式 m(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 （十六进制表示为 0x11B ）的乘法。这是理解后续所有多项式系数的前提。 第二步：理解加密中的MixColumns变换 要理解逆变换，必须先理解正变换。MixColumns对状态的每一列（4个字节）进行独立运算，将其视为GF(2^8)上的一个4项多项式（或4维向量）。 将列向量记为： s(x) = s3*x^3 + s2*x^2 + s1*x + s0 ，其中 s0 是列中最顶端的字节。 MixColumns变换定义为将该列多项式与一个固定的多项式 c(x) = {03}x^3 + {01}x^2 + {01}x + {02} 在模 x^4 + 1 下相乘。这里的 {02} , {03} 等是GF(2^8)中的元素。 这个模乘操作等价于用一个固定的4x4矩阵（称为MDS矩阵，即扩散矩阵）左乘该列向量。矩阵形式如下（所有数值均为十六进制，运算在GF(2^8)中）： 结果得到新的列向量 (s0’， s1‘， s2‘， s3’) 。 第三步：引出InvMixColumns变换 解密时，我们需要一个变换来抵消MixColumns的效果。这个变换就是 InvMixColumns 。在数学上，它对应的就是MixColumns所用矩阵的 逆矩阵 。 在GF(2^8)上，可以计算出MixColumns矩阵的逆矩阵。计算结果为： 更准确的表述是：如果 C 是MixColumns矩阵， D 是InvMixColumns矩阵，那么有 D * C = I （单位矩阵）。所以，解密时，我们对当前状态的一列（记为 S_col ）执行 S_col_new = D * S_col 。 从多项式角度看，InvMixColumns对应乘以一个多项式 d(x) ，满足 c(x) * d(x) ≡ 1 mod (x^4 + 1) 。计算可得 d(x) = {0B}x^3 + {0D}x^2 + {09}x + {0E} 。 第四步：InvMixColumns的详细计算步骤（以一个列为例） 假设解密过程中，进入InvMixColumns的某一列四个字节为： a0, a1, a2, a3 。我们需要计算得到新的四个字节 b0, b1, b2, b3 。 根据逆矩阵公式，有： 其中， • 表示GF(2^8)上的乘法， ⊕ 表示异或。 关键：GF(2^8)乘法的手动计算 以计算 {0E} • a0 为例。 {0E} 的二进制是 0000 1110 ，可以看作多项式 x^3 + x^2 + x （因为 0x0E = 0*2^7 + 0*2^6 + 0*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 ）。 在GF(2^8)中，乘法满足分配律。所以： 在AES的有限域中，乘以 x （即多项式 x ，对应字节 {02} ）有一个高效的实现方法：将字节左移一位，如果结果的最高位是1（即移出了比特），则再与 0x1B ( 0x11B 去掉最高位的 x^8 项)进行异或。这称为 xtime 操作。 因此： x • a0 可以通过一次 xtime(a0) 得到。 x^2 • a0 = x • (x • a0) ，即对 a0 进行两次 xtime 。 x^3 • a0 = x • (x^2 • a0) ，即对 a0 进行三次 xtime 。 所以， {0E} • a0 = xtime(xtime(xtime(a0))) ⊕ xtime(xtime(a0)) ⊕ xtime(a0) 。 在实际的AES实现（包括加解密库和硬件指令）中，这些系数乘法 {0E} , {0B} , {0D} , {09} 通常会被预计算成查找表，以极大提高速度。这就是著名的“T-Table”优化技术。 第五步：验证与MixColumns的互逆性 这是核心。我们可以用一个小例子验证，或者从理论上理解。 理论保证 ：因为矩阵 D 是矩阵 C 在GF(2^8)上的逆矩阵，所以对于任何列向量 S ，都有 D * (C * S) = (D * C) * S = I * S = S 。这意味着先做MixColumns，再做InvMixColumns，就能恢复原数据。反之亦然。 与解密流程的配合 ：AES的解密流程是： InvShiftRows -> InvSubBytes -> InvMixColumns -> AddRoundKey （对于前Nr-1轮） 注意，最后一轮解密没有InvMixColumns变换，这与加密最后一轮没有MixColumns是对称的。 等价解密流程 ：由于矩阵乘法的线性性质，AES还有一个“等价解密流程”，可以将InvMixColumns变换合并到轮密钥中，使得解密流程的结构与加密流程完全一致（都是SubBytes, ShiftRows, MixColumns, AddRoundKey的顺序），只是使用的密钥和S盒不同。这体现了AES算法设计的优雅性。 总结 InvMixColumns变换是AES解密算法中恢复数据正确性的关键线性扩散步骤。其本质是MixColumns变换在有限域GF(2^8)上的逆运算，通过一个固定的逆矩阵（或逆多项式）与状态矩阵的每一列相乘来实现。其计算依赖于有限域GF(2^8)上的乘法和异或运算，虽然手算繁琐，但在实际中通过查找表优化效率极高。理解InvMixColumns，是透彻掌握AES算法可逆性和整体结构的重要一环。