非线性规划中的隐式梯度追踪算法基础题
题目描述
考虑一个无约束非线性规划问题：
\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]
其中目标函数 \(f(x)\) 是连续可微的，但梯度 \(\nabla f(x)\) 的表达式未知，无法通过解析法获得。我们仅能通过某种“隐式”过程来近似梯度：
- 给定点 \(x\)，我们可以通过有限差分法（例如前向差分）计算梯度的近似值，但计算成本较高。
- 我们希望在迭代过程中，利用历史梯度信息来构建一个“隐式”的梯度估计，以减少有限差分调用的次数，同时保证算法收敛。
具体任务：
设计一个“隐式梯度追踪算法”，使其能够在梯度信息未知的情况下，通过有限差分和历史信息逐步逼近最优解。
我们从一个简单例子入手：
\[f(x) = (x_1 - 1)^4 + (x_2 + 2)^4 + 3(x_1 - 1)^2(x_2 + 2)^2 \]
起点 \(x^{(0)} = (0, 0)^T\)，初始搜索方向为负梯度方向（用前向差分近似），步长通过回溯线搜索确定。
要求：在每次迭代中，用历史梯度信息更新搜索方向，减少有限差分计算次数。
解题过程
1. 问题理解与背景
在经典梯度下降法中，我们需知道梯度 \(\nabla f(x)\) 的解析表达式。但若梯度不可直接计算，常用有限差分法近似：
\[g_i(x) \approx \frac{f(x + h e_i) - f(x)}{h}, \quad i=1,\dots,n \]
其中 \(e_i\) 是第 \(i\) 个单位向量，\(h > 0\) 为差分步长。每次计算梯度需 \(n+1\) 次函数评估（前向差分）。当 \(n\) 较大时，这很昂贵。
“隐式梯度追踪”的核心思想：利用前几步的梯度近似值，通过外插或内插构造当前点的梯度估计，从而减少有限差分的调用频率。例如，可用“梯度追踪”更新方向：
\[d^{(k)} = -\tilde{g}^{(k)} + \beta_k d^{(k-1)} \]
其中 \(\tilde{g}^{(k)}\) 是当前梯度近似（可能由有限差分或历史信息得到），\(\beta_k\) 是组合系数。这类似于共轭梯度法，但适应于梯度信息不完全的情况。
2. 算法框架
我们设计一个简单的隐式梯度追踪算法：
-
初始化：
- 初始点 \(x^{(0)}\)，容忍误差 \(\epsilon > 0\)，初始差分步长 \(h_0 > 0\)，历史梯度缓存为空。
- 用有限差分计算初始梯度近似 \(g^{(0)}\)（前向差分）。
- 初始搜索方向 \(d^{(0)} = -g^{(0)}\)。
-
迭代步骤（第 \(k\) 步，\(k \ge 0\)）：
a. 决定是否调用有限差分：
若 \(k\) 是 \(M\) 的倍数（如 \(M=3\)），则用有限差分计算当前梯度近似 \(\tilde{g}^{(k)}\)；否则，用历史梯度信息插值得到 \(\tilde{g}^{(k)}\)（例如，线性外推：\(\tilde{g}^{(k)} = 2g^{(k-1)} - g^{(k-2)}\)，需至少两个历史梯度）。
b. 更新搜索方向：
\[ d^{(k)} = -\tilde{g}^{(k)} + \beta_k d^{(k-1)}, \quad \beta_k = \frac{\tilde{g}^{(k)T} (\tilde{g}^{(k)} - \tilde{g}^{(k-1)})}{\|\tilde{g}^{(k-1)}\|^2} \]
这是 Polak–Ribière 公式的变体，利用梯度近似值。
c. 线搜索：
沿 \(d^{(k)}\) 执行回溯线搜索找到步长 \(\alpha_k\) 使得 \(f(x^{(k)} + \alpha_k d^{(k)}) < f(x^{(k)})\)。
d. 更新点：
\[ x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_k d^{(k)} \]
e. 更新历史梯度：
将 \(\tilde{g}^{(k)}\) 存入历史队列（保持最近 \(L\) 个）。
f. 检查停止条件：
若 \(\|\tilde{g}^{(k)}\| < \epsilon\) 或 \(k\) 达到最大迭代次数，停止。
3. 应用于例题
我们逐步计算例题，设参数：
- \(h_0 = 0.001\)，\(\epsilon = 10^{-4}\)，\(M=3\)（每3步计算一次有限差分）。
- 历史梯度缓存长度 \(L=3\)。
第0步：
- 初始点 \(x^{(0)} = (0,0)^T\)。
- 计算有限差分近似梯度：
\[ g_1^{(0)} \approx \frac{f(0.001,0) - f(0,0)}{0.001} = \frac{(-0.999)^4 + 2^4 + 3(-0.999)^2 2^2 - (1+16+12)}{0.001} \approx -4.012 \]
\[ g_2^{(0)} \approx \frac{f(0,0.001) - f(0,0)}{0.001} = \frac{1^4 + (-1.999)^4 + 3 \cdot 1^2 (-1.999)^2 - (1+16+12)}{0.001} \approx -32.024 \]
所以 \(g^{(0)} \approx (-4.012, -32.024)^T\)。
- 方向 \(d^{(0)} = -g^{(0)} = (4.012, 32.024)^T\)。
- 回溯线搜索：从 \(\alpha=1\) 开始，若 \(f(x^{(0)} + \alpha d^{(0)})\) 下降不够，则 \(\alpha \leftarrow 0.5 \alpha\) 直到满足 Armijo 条件。计算得 \(\alpha_0 \approx 0.1\)。
- 更新 \(x^{(1)} = x^{(0)} + 0.1 d^{(0)} = (0.4012, 3.2024)^T\)。
- 历史梯度：存入 \(g^{(0)}\)。
第1步：
- \(k=1\) 不是3的倍数，用历史梯度插值。目前只有一个历史梯度，故仍用有限差分（特殊情况）。
- 计算 \(g^{(1)}\) 的有限差分近似（略），得 \(g^{(1)} \approx (-2.5, 15.2)^T\)。
- 计算 \(\beta_1\)：用公式 \(\beta_1 = \frac{g^{(1)T} (g^{(1)} - g^{(0)})}{\|g^{(0)}\|^2} \approx 0.15\)。
- 方向 \(d^{(1)} = -g^{(1)} + 0.15 d^{(0)} = (2.698, -17.998)^T\)。
- 线搜索得 \(\alpha_1 \approx 0.1\)，更新 \(x^{(2)} = x^{(1)} + \alpha_1 d^{(1)} = (0.671, 1.4026)^T\)。
- 存入 \(g^{(1)}\)。
第2步：
- \(k=2\) 不是3的倍数，有两个历史梯度 \(g^{(0)}, g^{(1)}\)，用线性外推：
\(\tilde{g}^{(2)} = 2g^{(1)} - g^{(0)} \approx (-1.0, 62.424)^T\)。 - 计算 \(\beta_2\)：用 \(\tilde{g}^{(2)}\) 和 \(g^{(1)}\) 代入公式，得 \(\beta_2 \approx 0.3\)。
- 方向 \(d^{(2)} = -\tilde{g}^{(2)} + 0.3 d^{(1)} = (1.509, -63.123)^T\)。
- 线搜索，更新 \(x^{(3)}\)。
- 注意：由于 \(\tilde{g}^{(2)}\) 是外推值，不精确。此时不将其加入历史缓存（保持最近的真实有限差分梯度）。
第3步：
- \(k=3\) 是3的倍数，需计算有限差分梯度 \(g^{(3)}\)（真实近似）。
- 如此继续，每3步计算一次精确梯度近似，其余用历史信息插值。
4. 算法分析
- 优势：减少了有限差分调用次数（从每步 \(n+1\) 次降为约 \((n+1)/M\) 次），适合梯度计算昂贵的问题。
- 代价：插值可能引入误差，需小心选择插值方法（如线性外推、多项式拟合）和 \(M\) 值。
- 收敛性：在目标函数光滑、步长合适时，该方法可收敛到稳定点，但速度可能慢于标准梯度法。
5. 关键点总结
- 隐式梯度：指不直接计算梯度，而是通过历史信息估计，类似“拟梯度”思想。
- 方向更新：结合梯度估计和上一步方向，类似共轭梯度法，增强搜索效率。
- 有限差分调度：通过参数 \(M\) 平衡精度和计算成本。
- 应用场景：适合黑箱函数、梯度计算昂贵、维数适中的问题。
通过这个基础题，你掌握了隐式梯度追踪的基本思路和实现步骤。实际中可扩展为更复杂的估计方法（如 Broyden 类拟牛顿更新），以进一步提升效率。