基于线性规划的图最小费用循环流问题的多项式时间势缩放算法求解示例
字数 3676 2025-12-17 11:38:54

基于线性规划的图最小费用循环流问题的多项式时间势缩放算法求解示例

题目描述
给定一个有向图 \(G = (V, E)\)，其中每条边 \(e \in E\) 具有容量 \(u(e) > 0\) 和单位流费用 \(c(e)\)。图中没有源点和汇点，目标是寻找一个循环流（Circulation），即满足每个节点流量平衡（流入等于流出）的流，同时满足容量限制，且总费用 \(\sum_{e \in E} c(e) f(e)\) 最小。这是一个典型的最小费用循环流问题。要求设计一个多项式时间算法，基于势函数（也称为价格或节点势）和容量缩放技术来求解该问题，并分析其时间复杂度。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题建模与基本概念

最小费用循环流问题可以形式化为线性规划：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in E} c(e) f(e) \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in \delta^+(v)} f(e) - \sum_{e \in \delta^-(v)} f(e) = 0 \quad \forall v \in V \quad &\text{(流量平衡)} \\ & 0 \leq f(e) \leq u(e) \quad \forall e \in E &\text{(容量限制)} \end{aligned} \]

其中 \(\delta^+(v)\) 表示从节点 \(v\) 出发的边，\(\delta^-(v)\) 表示进入节点 \(v\) 的边。

关键思路：
该问题是最小费用流问题的一种特殊形式（没有供需，所有节点的净需求为0）。我们可以通过引入节点势（Potentials） \(p(v)\) 来定义缩减费用（Reduced Cost）：

\[c_p(e) = c(e) + p(u) - p(v) \quad \text{对于边 } e = (u,v) \]

在最小费用流理论中，一个流是最优的当且仅当存在一组势 \(p\) 使得对于所有边 \(e\)：

  • 若 \(f(e) < u(e)\)，则 \(c_p(e) \geq 0\)（非负缩减费用）；
  • 若 \(f(e) > 0\)，则 \(c_p(e) \leq 0\)（非正缩减费用）。

这等价于：每条边在最优解中要么满流（\(f(e) = u(e)\)），要么零流（\(f(e) = 0\)），除非其缩减费用恰好为0。

2. 算法框架：势缩放算法（Potential Scaling Algorithm）

势缩放算法是一种多项式时间算法，通过逐渐“缩放”费用精度来逼近最优解。其主要步骤如下：

步骤1：初始化

  • 设初始流 \(f\) 为零流（\(f(e) = 0\) 对所有边 \(e\)）。
  • 设初始势 \(p(v) = 0\) 对所有节点 \(v\)。
  • 令缩放参数 \(\Delta\) 为最大的2的幂次，使得 \(\Delta \geq \max_{e \in E} |c(e)|\)。

步骤2：缩放阶段（Scaling Phase）

当 \(\Delta \geq 1\) 时，重复以下过程：

  1. 构建 \(\Delta\)-残留网络（Residual Network）：
    • 对每条边 \(e = (u,v)\)：
      • 若 \(f(e) < u(e)\)（还有剩余容量），则在残留网络中添加一条前向边 \((u,v)\)，其残留容量为 \(u(e) - f(e)\)，费用为 \(c(e)\)。
      • 若 \(f(e) > 0\)（可以推回流），则在残留网络中添加一条反向边 \((v,u)\)，其残留容量为 \(f(e)\)，费用为 \(-c(e)\)。
    • 计算每条残留边的缩减费用 \(c_p(e) = c(e) + p(u) - p(v)\)。
  2. 寻找负费用圈（Negative-Cost Cycle）：
    • 在残留网络中，寻找一个圈（Cycle）使得其总缩减费用为负（即 \(\sum_{e \in \text{cycle}} c_p(e) < 0\)）。
    • 由于缩放设计，我们只关注那些缩减费用小于 \(-\Delta\) 的边组成的子图，以限制搜索范围。
  3. 沿圈增广（Augment）：
    • 若找到负费用圈，则沿该圈推送尽可能多的流（受圈上最小残留容量限制），更新流 \(f\)。
    • 重复寻找负费用圈并增广，直到不存在这样的圈。
  4. 更新势函数：
    • 若当前缩放阶段结束（即不存在缩减费用小于 \(-\Delta\) 的负费用圈），则更新势函数 \(p\) 以反映新的费用结构，通常通过最短路径算法（如Bellman-Ford）计算从某个参考节点到其他节点的最短路径距离。
  5. 缩放参数减半：令 \(\Delta \leftarrow \Delta / 2\)。

步骤3：终止与输出

当 \(\Delta < 1\) 时，算法终止。此时流 \(f\) 是最优的最小费用循环流。

3. 关键细节与正确性解释

  • 为什么缩放？
    直接在所有残留边上寻找负费用圈可能效率较低。通过缩放，我们逐步聚焦于“更显著”的负费用边（费用小于 \(-\Delta\)），每阶段处理一部分边，从而控制每阶段的工作量。

  • 势函数的作用
    势函数 \(p\) 用于保持缩减费用的非负性（近似）。每阶段结束后，通过更新势函数，可以保证下一阶段中缩减费用为负的边数量有限，便于高效寻找负费用圈。

  • 多项式时间复杂度
    该算法运行时间为 \(O(|V|^2 |E| \log C)\)，其中 \(C = \max_{e} |c(e)|\)。这是因为：

    • 缩放阶段数为 \(O(\log C)\)。
    • 每阶段最多进行 \(O(|V||E|)\) 次增广（因为每次增广至少消除一条“负边”）。
    • 每次寻找负费用圈可用Bellman-Ford算法在 \(O(|V||E|)\) 时间内完成。

4. 举例说明

考虑一个简单有向图：三个节点 \(\{1,2,3\}\)，三条边 \((1,2), (2,3), (3,1)\)，容量均为10，费用分别为 \(c_{12}=5, c_{23}=-3, c_{31}=2\)。

  1. 初始化：\(f=0, p=0, \Delta=8\)（因为最大费用绝对值为5）。
  2. 第一缩放阶段（\(\Delta=8\)）：
    • 构建残留网络：三条前向边，费用分别为5, -3, 2；无反向边。
    • 缩减费用等于原费用（因为 \(p=0\)）。
    • 寻找缩减费用小于 -8 的边：无，因为最小费用为 -3 > -8。
    • 故本阶段无增广。
    • 更新势函数：由于无负圈，势保持不变。
  3. 第二缩放阶段（\(\Delta=4\)）：
    • 同样无边费用小于 -4，无增广。
  4. 第三缩放阶段（\(\Delta=2\)）：
    • 边 \((2,3)\) 费用 -3 < -2，因此将其加入子图。
    • 寻找负费用圈：检查圈 \(2 \to 3 \to 1 \to 2\)（实际需检查所有可能圈），计算总费用 \(-3 + 2 + 5 = 4 > 0\)，不是负圈。因此仍无增广。
  5. 第四缩放阶段（\(\Delta=1\)）：
    • 边 \((2,3)\) 费用 -3 < -1，被激活。
    • 寻找负费用圈：例如圈 \(1 \to 2 \to 3 \to 1\) 总费用 \(5 + (-3) + 2 = 4 > 0\)，仍非负。但注意，随着流改变，残留网络会变化。
    • 实际上，最优解是发送流沿费用最小的圈 \(2 \to 3 \to 1 \to 2\)？等等，该圈费用为4。然而，最小费用循环流应尽可能利用负费用边。让我们重新审视：最优解是发送流沿圈 \(1 \to 2 \to 3 \to 1\)（费用4），但可通过调整势发现：若设 \(p(1)=0, p(2)=-5, p(3)=-8\)，则缩减费用：\(c_p(1,2)=0, c_p(2,3)=0, c_p(3,1)=0\)，满足最优性条件。此时任意流分配都最优？实际上，由于所有缩减费用为零，任何满足容量的循环流都是最优的，最小总费用为0（通过势调整抵消了原始费用）。因此，算法最终会通过更新势函数达到该状态，并输出一个可行循环流（例如零流）。

此例说明了算法如何通过缩放和势更新逐步逼近最优解。

总结
势缩放算法通过结合势函数和容量缩放技术，将最小费用循环流问题分解为多个阶段，每阶段仅处理费用显著的边，从而在多项式时间内获得最优解。其核心在于维护势函数以保证高效检测负费用圈，并通过缩放参数逐步提高精度。

基于线性规划的图最小费用循环流问题的多项式时间势缩放算法求解示例 题目描述 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 具有容量 \( u(e) > 0 \) 和单位流费用 \( c(e) \)。图中没有源点和汇点，目标是寻找一个 循环流（Circulation） ，即满足每个节点流量平衡（流入等于流出）的流，同时满足容量限制，且总费用 \( \sum_ {e \in E} c(e) f(e) \) 最小。这是一个典型的 最小费用循环流问题 。要求设计一个多项式时间算法，基于势函数（也称为价格或节点势）和容量缩放技术来求解该问题，并分析其时间复杂度。 解题过程循序渐进讲解 1. 问题建模与基本概念 最小费用循环流问题可以形式化为线性规划： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {e \in E} c(e) f(e) \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {e \in \delta^+(v)} f(e) - \sum_ {e \in \delta^-(v)} f(e) = 0 \quad \forall v \in V \quad &\text{(流量平衡)} \\ & 0 \leq f(e) \leq u(e) \quad \forall e \in E &\text{(容量限制)} \end{aligned} \] 其中 \( \delta^+(v) \) 表示从节点 \( v \) 出发的边，\( \delta^-(v) \) 表示进入节点 \( v \) 的边。 关键思路 ： 该问题是 最小费用流问题 的一种特殊形式（没有供需，所有节点的净需求为0）。我们可以通过引入 节点势（Potentials） \( p(v) \) 来定义 缩减费用（Reduced Cost） ： \[ c_ p(e) = c(e) + p(u) - p(v) \quad \text{对于边 } e = (u,v) \] 在最小费用流理论中，一个流是最优的当且仅当存在一组势 \( p \) 使得对于所有边 \( e \)： 若 \( f(e) < u(e) \)，则 \( c_ p(e) \geq 0 \)（非负缩减费用）； 若 \( f(e) > 0 \)，则 \( c_ p(e) \leq 0 \)（非正缩减费用）。 这等价于：每条边在最优解中要么满流（\( f(e) = u(e) \)），要么零流（\( f(e) = 0 \)），除非其缩减费用恰好为0。 2. 算法框架：势缩放算法（Potential Scaling Algorithm） 势缩放算法是一种多项式时间算法，通过逐渐“缩放”费用精度来逼近最优解。其主要步骤如下： 步骤1：初始化 设初始流 \( f \) 为零流（\( f(e) = 0 \) 对所有边 \( e \)）。 设初始势 \( p(v) = 0 \) 对所有节点 \( v \)。 令缩放参数 \( \Delta \) 为最大的2的幂次，使得 \( \Delta \geq \max_ {e \in E} |c(e)| \)。 步骤2：缩放阶段（Scaling Phase） 当 \( \Delta \geq 1 \) 时，重复以下过程： 构建 \(\Delta\)-残留网络（Residual Network） ： 对每条边 \( e = (u,v) \)： 若 \( f(e) < u(e) \)（还有剩余容量），则在残留网络中添加一条前向边 \( (u,v) \)，其残留容量为 \( u(e) - f(e) \)，费用为 \( c(e) \)。 若 \( f(e) > 0 \)（可以推回流），则在残留网络中添加一条反向边 \( (v,u) \)，其残留容量为 \( f(e) \)，费用为 \( -c(e) \)。 计算每条残留边的缩减费用 \( c_ p(e) = c(e) + p(u) - p(v) \)。 寻找负费用圈（Negative-Cost Cycle） ： 在残留网络中，寻找一个圈（Cycle）使得其总缩减费用为负（即 \( \sum_ {e \in \text{cycle}} c_ p(e) < 0 \)）。 由于缩放设计，我们只关注那些缩减费用小于 \( -\Delta \) 的边组成的子图，以限制搜索范围。 沿圈增广（Augment） ： 若找到负费用圈，则沿该圈推送尽可能多的流（受圈上最小残留容量限制），更新流 \( f \)。 重复寻找负费用圈并增广，直到不存在这样的圈。 更新势函数 ： 若当前缩放阶段结束（即不存在缩减费用小于 \( -\Delta \) 的负费用圈），则更新势函数 \( p \) 以反映新的费用结构，通常通过最短路径算法（如Bellman-Ford）计算从某个参考节点到其他节点的最短路径距离。 缩放参数减半 ：令 \( \Delta \leftarrow \Delta / 2 \)。 步骤3：终止与输出 当 \( \Delta < 1 \) 时，算法终止。此时流 \( f \) 是最优的最小费用循环流。 3. 关键细节与正确性解释 为什么缩放？ 直接在所有残留边上寻找负费用圈可能效率较低。通过缩放，我们逐步聚焦于“更显著”的负费用边（费用小于 \( -\Delta \)），每阶段处理一部分边，从而控制每阶段的工作量。 势函数的作用 势函数 \( p \) 用于保持缩减费用的非负性（近似）。每阶段结束后，通过更新势函数，可以保证下一阶段中缩减费用为负的边数量有限，便于高效寻找负费用圈。 多项式时间复杂度 该算法运行时间为 \( O(|V|^2 |E| \log C) \)，其中 \( C = \max_ {e} |c(e)| \)。这是因为： 缩放阶段数为 \( O(\log C) \)。 每阶段最多进行 \( O(|V||E|) \) 次增广（因为每次增广至少消除一条“负边”）。 每次寻找负费用圈可用Bellman-Ford算法在 \( O(|V||E|) \) 时间内完成。 4. 举例说明 考虑一个简单有向图：三个节点 \( \{1,2,3\} \)，三条边 \( (1,2), (2,3), (3,1) \)，容量均为10，费用分别为 \( c_ {12}=5, c_ {23}=-3, c_ {31}=2 \)。 初始化 ：\( f=0, p=0, \Delta=8 \)（因为最大费用绝对值为5）。 第一缩放阶段（\(\Delta=8\)） ： 构建残留网络：三条前向边，费用分别为5, -3, 2；无反向边。 缩减费用等于原费用（因为 \( p=0 \)）。 寻找缩减费用小于 -8 的边：无，因为最小费用为 -3 > -8。 故本阶段无增广。 更新势函数：由于无负圈，势保持不变。 第二缩放阶段（\(\Delta=4\)） ： 同样无边费用小于 -4，无增广。 第三缩放阶段（\(\Delta=2\)） ： 边 \( (2,3) \) 费用 -3 < -2，因此将其加入子图。 寻找负费用圈：检查圈 \( 2 \to 3 \to 1 \to 2 \)（实际需检查所有可能圈），计算总费用 \( -3 + 2 + 5 = 4 > 0 \)，不是负圈。因此仍无增广。 第四缩放阶段（\(\Delta=1\)） ： 边 \( (2,3) \) 费用 -3 < -1，被激活。 寻找负费用圈：例如圈 \( 1 \to 2 \to 3 \to 1 \) 总费用 \( 5 + (-3) + 2 = 4 > 0 \)，仍非负。但注意，随着流改变，残留网络会变化。 实际上，最优解是发送流沿费用最小的圈 \( 2 \to 3 \to 1 \to 2 \)？等等，该圈费用为4。然而，最小费用循环流应尽可能利用负费用边。让我们重新审视：最优解是发送流沿圈 \( 1 \to 2 \to 3 \to 1 \)（费用4），但可通过调整势发现：若设 \( p(1)=0, p(2)=-5, p(3)=-8 \)，则缩减费用：\( c_ p(1,2)=0, c_ p(2,3)=0, c_ p(3,1)=0 \)，满足最优性条件。此时任意流分配都最优？实际上，由于所有缩减费用为零，任何满足容量的循环流都是最优的，最小总费用为0（通过势调整抵消了原始费用）。因此，算法最终会通过更新势函数达到该状态，并输出一个可行循环流（例如零流）。 此例说明了算法如何通过缩放和势更新逐步逼近最优解。 总结 势缩放算法通过结合势函数和容量缩放技术，将最小费用循环流问题分解为多个阶段，每阶段仅处理费用显著的边，从而在多项式时间内获得最优解。其核心在于维护势函数以保证高效检测负费用圈，并通过缩放参数逐步提高精度。