非线性规划中的自适应移动渐近线法（Adaptive Method of Moving Asymptotes, AMMA）基础题
字数 4586 2025-12-17 10:59:19

非线性规划中的自适应移动渐近线法（Adaptive Method of Moving Asymptotes, AMMA）基础题

题目描述

考虑以下带约束的非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x} \quad & f(x) = \frac{1}{3}x_1^3 + x_2^2 + x_1 x_2 \\ \text{s.t.} \quad & g_1(x) = 4 - x_1^2 - x_2^2 \le 0, \\ & g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \le 0, \\ & 0.5 \le x_1 \le 3, \quad 0.5 \le x_2 \le 3. \end{aligned} \]

其中，目标函数 \(f(x)\) 为非凸函数，约束 \(g_1(x)\) 为非线性凸约束，\(g_2(x)\) 为线性约束，同时包含变量边界。要求使用自适应移动渐近线法（AMMA） 求解该问题，该方法是移动渐近线法（MMA）的一种改进，能根据迭代过程动态调整渐近线参数，提升收敛效率。

解题过程循序渐进讲解

1. 理解移动渐近线法（MMA）的核心思想

MMA是一种序列凸近似方法，用于求解带有不等式约束的非线性规划问题。其核心思想是：在每次迭代点 \(x^{(k)}\) 处，通过引入移动渐近线 \(L_i^{(k)}\) 和 \(U_i^{(k)}\) （分别称为下渐近线和上渐近线），将原非凸问题中的目标函数和约束函数近似为凸可分离的近似函数（即每个变量单独的函数之和）。这样，原问题被转化为一系列凸子问题，从而可以用凸优化方法（如对偶法、内点法）高效求解。

  • 可分离形式：近似函数对每个变量 \(x_i\) 是独立的，形如 \(\sum_i h_i(x_i)\)。
  • 移动渐近线的作用：它们控制着近似的保守程度。如果渐近线离当前点较远，近似比较激进（可能不保守）；如果渐近线离当前点较近，近似比较保守（可能收敛慢）。AMMA通过自适应调整渐近线位置，在激进与保守之间取得平衡，加速收敛。

2. 构造MMA的凸近似子问题

对于当前迭代点 \(x^{(k)}\)，定义下渐近线 \(L_i^{(k)}\) 和上渐近线 \(U_i^{(k)}\) 满足 \(L_i^{(k)} < x_i^{(k)} < U_i^{(k)}\)。目标函数 \(f(x)\) 和约束函数 \(g_j(x)\) 被近似为：

\[\tilde{f}^{(k)}(x) = f(x^{(k)}) + \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_i^{(k)}}{U_i^{(k)} - x_i} + \frac{q_i^{(k)}}{x_i - L_i^{(k)}} \right), \]

\[ \tilde{g}_j^{(k)}(x) = g_j(x^{(k)}) + \sum_{i=1}^n \left( \frac{r_{ji}^{(k)}}{U_i^{(k)} - x_i} + \frac{s_{ji}^{(k)}}{x_i - L_i^{(k)}} \right), \]

其中系数 \(p_i^{(k)}, q_i^{(k)}, r_{ji}^{(k)}, s_{ji}^{(k)}\) 通过函数在 \(x^{(k)}\) 处的一阶导数信息确定，确保近似函数在 \(x^{(k)}\) 处与原函数的一阶导数匹配（即一阶一致性）。这些系数非负，从而保证近似函数是凸的。

对于我们的问题：

  • 目标函数 \(f(x) = \frac{1}{3}x_1^3 + x_2^2 + x_1 x_2\)。
  • 约束 \(g_1(x) = 4 - x_1^2 - x_2^2\)，\(g_2(x) = x_1 + x_2 - 2\)。

我们需要计算梯度：

\[\nabla f(x) = \begin{bmatrix} x_1^2 + x_2 \\ 2x_2 + x_1 \end{bmatrix}, \quad \nabla g_1(x) = \begin{bmatrix} -2x_1 \\ -2x_2 \end{bmatrix}, \quad \nabla g_2(x) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}. \]

3. 确定近似系数与渐近线初始设置

设当前迭代点为 \(x^{(k)}\)，渐近线初始值通常取为：

\[L_i^{(k)} = x_i^{(k)} - \gamma (U_i^{(0)} - L_i^{(0)}), \quad U_i^{(k)} = x_i^{(k)} + \gamma (U_i^{(0)} - L_i^{(0)}), \]

其中 \(L_i^{(0)}\) 和 \(U_i^{(0)}\) 是变量的固定边界（本题中为0.5和3），\(\gamma\) 是一个缩放因子（例如0.1）。

近似系数的计算公式为：
对于目标函数 \(f\)：

\[p_i^{(k)} = \begin{cases} (U_i^{(k)} - x_i^{(k)})^2 \cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^{(k)})^+ & \text{if } \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^{(k)}) > 0, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \]

\[ q_i^{(k)} = \begin{cases} (x_i^{(k)} - L_i^{(k)})^2 \cdot \left(-\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^{(k)})\right)^+ & \text{if } \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^{(k)}) < 0, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \]

其中 \((\cdot)^+ = \max(0, \cdot)\)。对于约束函数 \(g_j\)，类似地用 \(\frac{\partial g_j}{\partial x_i}(x^{(k)})\) 计算 \(r_{ji}^{(k)}\) 和 \(s_{ji}^{(k)}\)。

4. 自适应调整渐近线（AMMA的关键）

标准MMA中，渐近线通常根据经验固定更新（如每次迭代缩小间隙）。AMMA引入自适应机制：根据近似的精确度动态调整渐近线位置。常见策略是：

  • 定义近似误差指标：例如，比较当前迭代目标函数值的变化与近似子问题预测的变化。
  • 调整规则：如果近似过于保守（误差小但进展慢），则扩大渐近线间隙（使近似更激进）；如果近似过于激进（误差大导致子问题不可行或发散），则缩小渐近线间隙（使近似更保守）。
  • 数学上，可设置一个阈值 \(\tau\)（如0.1），计算比率 \(\rho = \frac{|f(x^{(k+1)}) - f(x^{(k)})|}{|\tilde{f}^{(k)}(x^{(k+1)}) - f(x^{(k)})|}\)。若 \(\rho\) 接近1，说明近似好，可适度扩大渐近线间隙；若 \(\rho\) 远小于1，说明近似差，应缩小间隙。

5. 求解凸近似子问题

近似子问题为：

\[\begin{aligned} \min_{x} \quad & \tilde{f}^{(k)}(x) \\ \text{s.t.} \quad & \tilde{g}_1^{(k)}(x) \le 0, \quad \tilde{g}_2^{(k)}(x) \le 0, \\ & 0.5 \le x_1 \le 3, \quad 0.5 \le x_2 \le 3. \end{aligned} \]

由于近似函数是凸且可分离的，该子问题是一个凸优化问题，可以用对偶方法或内点法高效求解。对偶方法尤其适合，因为可分离结构使得对偶问题可以分解为单变量问题。

6. 迭代步骤与收敛判断

  1. 初始化：选择初始点 \(x^{(0)}\)（如 \((1, 1)\)），设置渐近线初始间隙，容忍误差 \(\epsilon\)（如 \(10^{-4}\)）。
  2. 循环迭代（对于 \(k = 0, 1, 2, \dots\)）：
    a. 计算当前点 \(x^{(k)}\) 的梯度，确定近似系数。
    b. 构建凸近似子问题。
    c. 求解子问题，得到新点 \(x^{(k+1)}\)。
    d. 计算近似误差指标 \(\rho\)，根据AMMA规则调整渐近线 \(L_i^{(k+1)}\) 和 \(U_i^{(k+1)}\)。
    e. 判断收敛：若 \(\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \epsilon\) 且约束违反度很小，则停止；否则，\(k := k+1\) 继续。

7. 应用于本题的具体计算示例（简要）

假设初始点 \(x^{(0)} = (1, 1)\)：

  • 梯度：\(\nabla f(1,1) = (2, 3)\)，\(\nabla g_1(1,1) = (-2, -2)\)，\(\nabla g_2(1,1) = (1, 1)\)。
  • 初始渐近线：取 \(L^{(0)} = (0.4, 0.4)\)，\(U^{(0)} = (3.6, 3.6)\)（基于边界0.5和3，γ=0.1）。
  • 计算系数：对于 \(f\)，\(\partial f/\partial x_1 > 0\)，所以 \(p_1^{(0)} = (3.6-1)^2 \cdot 2 \approx 13.52\)，\(q_1^{(0)} = 0\)；类似计算其他系数。
  • 求解子问题（从略），得到新点。
  • 根据 \(\rho\) 调整渐近线：例如若 \(\rho = 0.8\)（较好），可将渐近线间隙扩大10%。

通过多次迭代，AMMA会动态调整近似，最终收敛到满足约束的局部最优解。对于本题，由于约束区域是凸的（\(g_1\) 是凸函数，\(g_2\) 线性），且目标函数在区域内可能有多个局部极小，AMMA通常能找到一个可行且较优的解。

总结

AMMA通过自适应调整移动渐近线，比标准MMA更灵活高效。其核心是将非凸问题序列凸化，每次迭代求解凸子问题，并利用梯度信息和近似误差反馈调整渐近线，平衡近似精度与收敛速度。在实际应用中，AMMA在结构优化、工程设计等领域表现出色，能处理中等规模的非凸约束问题。

非线性规划中的自适应移动渐近线法（Adaptive Method of Moving Asymptotes, AMMA）基础题 题目描述 考虑以下带约束的非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x} \quad & f(x) = \frac{1}{3}x_ 1^3 + x_ 2^2 + x_ 1 x_ 2 \\ \text{s.t.} \quad & g_ 1(x) = 4 - x_ 1^2 - x_ 2^2 \le 0, \\ & g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \le 0, \\ & 0.5 \le x_ 1 \le 3, \quad 0.5 \le x_ 2 \le 3. \end{aligned} \] 其中，目标函数 \( f(x) \) 为非凸函数，约束 \( g_ 1(x) \) 为非线性凸约束，\( g_ 2(x) \) 为线性约束，同时包含变量边界。要求使用 自适应移动渐近线法（AMMA） 求解该问题，该方法是移动渐近线法（MMA）的一种改进，能根据迭代过程动态调整渐近线参数，提升收敛效率。 解题过程循序渐进讲解 1. 理解移动渐近线法（MMA）的核心思想 MMA是一种序列凸近似方法，用于求解带有不等式约束的非线性规划问题。其核心思想是：在每次迭代点 \( x^{(k)} \) 处，通过引入 移动渐近线 \( L_ i^{(k)} \) 和 \( U_ i^{(k)} \) （分别称为下渐近线和上渐近线），将原非凸问题中的目标函数和约束函数近似为 凸可分离 的近似函数（即每个变量单独的函数之和）。这样，原问题被转化为一系列凸子问题，从而可以用凸优化方法（如对偶法、内点法）高效求解。 可分离形式 ：近似函数对每个变量 \( x_ i \) 是独立的，形如 \( \sum_ i h_ i(x_ i) \)。 移动渐近线的作用 ：它们控制着近似的保守程度。如果渐近线离当前点较远，近似比较激进（可能不保守）；如果渐近线离当前点较近，近似比较保守（可能收敛慢）。AMMA通过自适应调整渐近线位置，在激进与保守之间取得平衡，加速收敛。 2. 构造MMA的凸近似子问题 对于当前迭代点 \( x^{(k)} \)，定义下渐近线 \( L_ i^{(k)} \) 和上渐近线 \( U_ i^{(k)} \) 满足 \( L_ i^{(k)} < x_ i^{(k)} < U_ i^{(k)} \)。目标函数 \( f(x) \) 和约束函数 \( g_ j(x) \) 被近似为： \[ \tilde{f}^{(k)}(x) = f(x^{(k)}) + \sum_ {i=1}^n \left( \frac{p_ i^{(k)}}{U_ i^{(k)} - x_ i} + \frac{q_ i^{(k)}}{x_ i - L_ i^{(k)}} \right), \] \[ \tilde{g} j^{(k)}(x) = g_ j(x^{(k)}) + \sum {i=1}^n \left( \frac{r_ {ji}^{(k)}}{U_ i^{(k)} - x_ i} + \frac{s_ {ji}^{(k)}}{x_ i - L_ i^{(k)}} \right), \] 其中系数 \( p_ i^{(k)}, q_ i^{(k)}, r_ {ji}^{(k)}, s_ {ji}^{(k)} \) 通过函数在 \( x^{(k)} \) 处的一阶导数信息确定，确保近似函数在 \( x^{(k)} \) 处与原函数的一阶导数匹配（即一阶一致性）。这些系数非负，从而保证近似函数是凸的。 对于我们的问题： 目标函数 \( f(x) = \frac{1}{3}x_ 1^3 + x_ 2^2 + x_ 1 x_ 2 \)。 约束 \( g_ 1(x) = 4 - x_ 1^2 - x_ 2^2 \)，\( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \)。 我们需要计算梯度： \[ \nabla f(x) = \begin{bmatrix} x_ 1^2 + x_ 2 \\ 2x_ 2 + x_ 1 \end{bmatrix}, \quad \nabla g_ 1(x) = \begin{bmatrix} -2x_ 1 \\ -2x_ 2 \end{bmatrix}, \quad \nabla g_ 2(x) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}. \] 3. 确定近似系数与渐近线初始设置 设当前迭代点为 \( x^{(k)} \)，渐近线初始值通常取为： \[ L_ i^{(k)} = x_ i^{(k)} - \gamma (U_ i^{(0)} - L_ i^{(0)}), \quad U_ i^{(k)} = x_ i^{(k)} + \gamma (U_ i^{(0)} - L_ i^{(0)}), \] 其中 \( L_ i^{(0)} \) 和 \( U_ i^{(0)} \) 是变量的固定边界（本题中为0.5和3），\( \gamma \) 是一个缩放因子（例如0.1）。 近似系数的计算公式为： 对于目标函数 \( f \)： \[ p_ i^{(k)} = \begin{cases} (U_ i^{(k)} - x_ i^{(k)})^2 \cdot \frac{\partial f}{\partial x_ i}(x^{(k)})^+ & \text{if } \frac{\partial f}{\partial x_ i}(x^{(k)}) > 0, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \] \[ q_ i^{(k)} = \begin{cases} (x_ i^{(k)} - L_ i^{(k)})^2 \cdot \left(-\frac{\partial f}{\partial x_ i}(x^{(k)})\right)^+ & \text{if } \frac{\partial f}{\partial x_ i}(x^{(k)}) < 0, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \] 其中 \( (\cdot)^+ = \max(0, \cdot) \)。对于约束函数 \( g_ j \)，类似地用 \( \frac{\partial g_ j}{\partial x_ i}(x^{(k)}) \) 计算 \( r_ {ji}^{(k)} \) 和 \( s_ {ji}^{(k)} \)。 4. 自适应调整渐近线（AMMA的关键） 标准MMA中，渐近线通常根据经验固定更新（如每次迭代缩小间隙）。AMMA引入自适应机制：根据近似的精确度动态调整渐近线位置。常见策略是： 定义 近似误差指标 ：例如，比较当前迭代目标函数值的变化与近似子问题预测的变化。 调整规则：如果近似过于保守（误差小但进展慢），则扩大渐近线间隙（使近似更激进）；如果近似过于激进（误差大导致子问题不可行或发散），则缩小渐近线间隙（使近似更保守）。 数学上，可设置一个阈值 \( \tau \)（如0.1），计算比率 \( \rho = \frac{|f(x^{(k+1)}) - f(x^{(k)})|}{|\tilde{f}^{(k)}(x^{(k+1)}) - f(x^{(k)})|} \)。若 \( \rho \) 接近1，说明近似好，可适度扩大渐近线间隙；若 \( \rho \) 远小于1，说明近似差，应缩小间隙。 5. 求解凸近似子问题 近似子问题为： \[ \begin{aligned} \min_ {x} \quad & \tilde{f}^{(k)}(x) \\ \text{s.t.} \quad & \tilde{g}_ 1^{(k)}(x) \le 0, \quad \tilde{g}_ 2^{(k)}(x) \le 0, \\ & 0.5 \le x_ 1 \le 3, \quad 0.5 \le x_ 2 \le 3. \end{aligned} \] 由于近似函数是凸且可分离的，该子问题是一个凸优化问题，可以用 对偶方法 或 内点法 高效求解。对偶方法尤其适合，因为可分离结构使得对偶问题可以分解为单变量问题。 6. 迭代步骤与收敛判断 初始化 ：选择初始点 \( x^{(0)} \)（如 \( (1, 1) \)），设置渐近线初始间隙，容忍误差 \( \epsilon \)（如 \( 10^{-4} \)）。 循环迭代 （对于 \( k = 0, 1, 2, \dots \)）： a. 计算当前点 \( x^{(k)} \) 的梯度，确定近似系数。 b. 构建凸近似子问题。 c. 求解子问题，得到新点 \( x^{(k+1)} \)。 d. 计算近似误差指标 \( \rho \)，根据AMMA规则调整渐近线 \( L_ i^{(k+1)} \) 和 \( U_ i^{(k+1)} \)。 e. 判断收敛：若 \( \|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \epsilon \) 且约束违反度很小，则停止；否则，\( k := k+1 \) 继续。 7. 应用于本题的具体计算示例（简要） 假设初始点 \( x^{(0)} = (1, 1) \)： 梯度：\( \nabla f(1,1) = (2, 3) \)，\( \nabla g_ 1(1,1) = (-2, -2) \)，\( \nabla g_ 2(1,1) = (1, 1) \)。 初始渐近线：取 \( L^{(0)} = (0.4, 0.4) \)，\( U^{(0)} = (3.6, 3.6) \)（基于边界0.5和3，γ=0.1）。 计算系数：对于 \( f \)，\( \partial f/\partial x_ 1 > 0 \)，所以 \( p_ 1^{(0)} = (3.6-1)^2 \cdot 2 \approx 13.52 \)，\( q_ 1^{(0)} = 0 \)；类似计算其他系数。 求解子问题（从略），得到新点。 根据 \( \rho \) 调整渐近线：例如若 \( \rho = 0.8 \)（较好），可将渐近线间隙扩大10%。 通过多次迭代，AMMA会动态调整近似，最终收敛到满足约束的局部最优解。对于本题，由于约束区域是凸的（\( g_ 1 \) 是凸函数，\( g_ 2 \) 线性），且目标函数在区域内可能有多个局部极小，AMMA通常能找到一个可行且较优的解。 总结 AMMA通过自适应调整移动渐近线，比标准MMA更灵活高效。其核心是将非凸问题序列凸化，每次迭代求解凸子问题，并利用梯度信息和近似误差反馈调整渐近线，平衡近似精度与收敛速度。在实际应用中，AMMA在结构优化、工程设计等领域表现出色，能处理中等规模的非凸约束问题。