SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 $\\pi$ (Pi) 步骤详解
字数 3743 2025-12-17 09:01:40

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 \(\\pi\) (Pi) 步骤详解

我将为您详细讲解 SHA-3 (Keccak) 哈希算法核心——Keccak-f[1600] 置换函数中的一个步骤：\(\pi\) (Pi)。这个步骤是 Keccak 算法中五个非线性映射步骤之一，负责在算法的内部状态上执行一个简单的置换。

题目描述

Keccak-f[1600] 置换函数是 SHA-3 的核心，它在一个 1600 比特的三维状态矩阵上迭代应用 24 轮相同的操作。每轮操作由五个步骤组成，依次是：\(\theta\) (Theta)、\(\rho\) (Rho)、\(\pi\) (Pi)、\(\chi\) (Chi) 和 \(\iota\) (Iota)。其中，\(\pi\) 步骤是一个固定的、与轮数无关的置换操作，它在算法的轮函数中负责重新排列状态矩阵中“道”的位置，从而在空间上提供扩散。理解 \(\pi\) 步骤的作用和具体计算方式，是理解 SHA-3 算法扩散特性的关键。

解题过程循序渐进讲解

为了让您完全理解，我们从 SHA-3 的基本结构开始，逐步深入到 \(\pi\) 步骤。

第1步：回顾 SHA-3 与 Keccak-f 置换函数

SHA-3 采用“海绵结构”，由“吸收”和“挤压”两个阶段构成。这两个阶段共同使用一个核心的置换函数 Keccak-f[b] 来对内部状态进行混淆和扩散。在 SHA-3 标准中，b (状态宽度) 通常为 1600 比特。这个 1600 比特的内部状态，在算法中被视为一个三维的“状态阵列” A。

  • 状态表示：状态阵列 A 有 3 个维度，可以用 A[x][y][z] 表示，其中：
    • x 和 y 是平面坐标，取值范围是 0 ≤ x, y < 5。因此，在 x-y 平面上有 5×5=25 个“道”。
    • z 是垂直坐标（比特深度），对于 Keccak-f[1600]，有 0 ≤ z < 64。所以每个“道”是一个 64 比特的“道字”。
  • 总比特数：5 × 5 × 64 = 1600 比特。

Keccak-f[1600] 每轮对状态阵列 A 依次应用 5 个步骤。\(\pi\) 步骤是第三个步骤。

第2步：理解 \(\pi\) 步骤的核心目标

\(\pi\) 步骤是一个线性置换。它的核心目的是重新排列 25 个“道”的位置。它不改变任何一个“道”内部的 64 个比特的值，只是将这个“道”整个移动到状态矩阵的新位置上。这种操作在密码学设计中是为了实现“扩散”，即改变单个输入比特对多个输出比特的影响模式，使得输入中相邻的比特在输出中分散开来。

第3步：掌握 \(\pi\) 步骤的数学定义

\(\pi\) 步骤的数学定义非常简洁。它接收当前状态 A，并输出一个新的状态 A’。其操作定义如下：

对于所有的 (x, y) 坐标，以及所有的 z (0 ≤ z < 64)：

\[A'[x][y][z] = A[(x + 3y) \mod 5][x][z] \]

让我们分解理解这个公式：

  1. 左侧：A’[x][y][z] 表示经过 \(\pi\) 步骤变换后，位于坐标 (x, y, z) 的比特值。
  2. 右侧：
    • A[(x + 3y) mod 5][x][z] 表示变换之前，位于某个坐标的比特值。
    • 目标行索引：(x + 3y) mod 5。这是 \(\pi\) 步骤的核心，它定义了“道”将被移动到哪个新的 x 坐标。mod 5 确保新行索引在 0 到 4 之间。
    • 目标列索引：x。注意，原始坐标 (x, y) 中的 x 坐标，在变换后成为了新的 y 坐标。这是固定的置换关系。
    • 深度索引：z 保持不变。这印证了 \(\pi\) 步骤是“道”的完整移动，不改变“道”内比特的顺序。

关键的重新解释：这个公式可以更直观地理解为：

将原始状态中位于 (x_old, y_old) 的“道”，移动到新状态中位于 (x_new, y_new) 的位置。
其中，新旧坐标的映射关系是：
\(x\_new = (x\_old + 3y\_old) \mod 5\)
\(y\_new = x\_old\)

第4步：通过具体例子验证理解

让我们用一个简单的例子，在概念上验证这个映射。假设我们只关心“道”的位置，忽略其内部的 64 个比特值。我们取原始状态中的一个“道”，它位于坐标 (x_old, y_old) = (1, 2)。

根据 \(\pi\) 步骤的映射公式：

  • 新的 x 坐标：x_new = (1 + 3*2) mod 5 = (1+6) mod 5 = 7 mod 5 = 2
  • 新的 y 坐标：y_new = x_old = 1

所以，原来在 (1, 2) 位置的“道”，经过 \(\pi\) 步骤后，被移动到了 (2, 1) 的位置。

我们可以用原始的公式 A‘[x][y][z] = A[(x+3y) mod 5][x][z] 来逆向验证。我们想求新状态 A’[2][1] 的值。令 x=2, y=1：

  • A’[2][1][z] = A[(2+3*1) mod 5][2][z] = A[(5) mod 5][2][z] = A[0][2][z]。
  • 等等，这里得到了 A[0][2]，而不是我们例子中的 A[1][2]。矛盾吗？

注意：这里有一个理解上的关键点。我们上面例子中的 (1,2) 是原始坐标，而公式定义中的 (x,y) 是结果坐标。我们需要的是从原始位置到新位置的映射函数，而公式给出的是从新位置回溯到原始位置的函数。

更直接的方法是根据公式推导“道”的移动映射。从 A’[x_new][y_new][z] = A[(x_new+3y_new) mod 5][x_new][z] 我们知道，新位置 (x_new, y_new) 的比特来自旧位置 (x_old, y_old) = ((x_new+3y_new) mod 5, x_new)。

所以，对于旧位置 (1,2)：

  • 我们需要解出 (x_new, y_new)，使得：
    • (x_new+3*y_new) mod 5 = 1
    • x_new = 2
  • 将 x_new=2 代入第一个方程：(2 + 3*y_new) mod 5 = 1。
  • 尝试 y_new=1：(2+3*1)=5 mod 5 = 0，不对。
  • 尝试 y_new=2：(2+3*2)=8 mod 5 = 3，不对。
  • 尝试 y_new=3：(2+3*3)=11 mod 5 = 1，正确！
  • 所以 (x_new, y_new) = (2, 3)。

因此，原始位置 (1,2) 的“道”被移动到了新位置 (2,3)。这与我们第一次直觉计算的 (2,1) 不同，是因为我们没有正确使用公式。这个例子说明了严格按照公式进行计算的重要性。

第5步：结合前序步骤理解 \(\pi\) 的作用

在 Keccak 的一轮中：

  1. \(\theta\) 步骤：在列方向（z轴）和行方向上进行运算，提供了良好的列间扩散。
  2. \(\rho\) 步骤：在每个“道”内部对比特进行循环移位，提供了良好的“道”内扩散。
  3. \(\pi\) 步骤：将“道”在 5x5 的平面上重新排列。这一步本身是线性的，不提供非线性，但它为下一步关键的 \(\chi\) 步骤创造输入模式。\(\chi\) 步骤是一个按位的非线性操作，作用在“行”（固定 y 和 z，遍历 x）上。\(\pi\) 步骤将经过 \(\theta\) 和 \(\rho\) 扩散后的比特，以一种特定的、固定的模式重新组织到各个行中，使得 \(\chi\) 步骤的非线性影响能够更有效地在后续轮中传播开来。
  4. \(\chi\) 步骤：提供算法的非线性性，是算法安全性的核心。
  5. \(\iota\) 步骤：为每轮添加不同的轮常量，破坏对称性。

第6步：总结与安全考量

  • \(\pi\) 步骤的本质：它是一个固定的、基于坐标的置换，将状态阵列 A 的 25 个“道”重新排列。它是一个线性变换，不引入非线性，也不改变比特值，只改变比特的位置。
  • 设计目标：增强算法的扩散（Diffusion）属性。通过与 \(\theta\) 和 \(\rho\) 步骤协同工作，\(\pi\) 步骤确保了在几轮迭代后，输入消息的任何微小变化都会以复杂的方式影响输出哈希值的绝大部分比特。它为紧接着的 \(\chi\) 非线性步骤准备数据布局，是构建强密码学置换的关键一环。
  • 与 \(\rho\) 步骤的区别：\(\rho\) 步骤是道内的比特循环移位（沿 z 轴），而 \(\pi\) 步骤是道间的整体位置交换（在 x-y 平面上）。两者结合，实现了比特在三维空间中的全面扩散。

通过以上六个步骤的讲解，您应该已经理解了 SHA-3 (Keccak) 中 \(\pi\) 步骤的精确数学定义、其具体的计算过程，以及它在整个密码学哈希函数中所扮演的角色——一个为实现强扩散特性而精心设计的线性置换步骤。

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 $\\pi$ (Pi) 步骤详解 我将为您详细讲解 SHA-3 (Keccak) 哈希算法核心——Keccak-f[ 1600 ] 置换函数中的一个步骤：$\pi$ (Pi)。这个步骤是 Keccak 算法中五个非线性映射步骤之一，负责在算法的内部状态上执行一个简单的置换。 题目描述 Keccak-f[ 1600 ] 置换函数是 SHA-3 的核心，它在一个 1600 比特的三维状态矩阵上迭代应用 24 轮相同的操作。每轮操作由五个步骤组成，依次是：$\theta$ (Theta)、$\rho$ (Rho)、$\pi$ (Pi)、$\chi$ (Chi) 和 $\iota$ (Iota)。其中，$\pi$ 步骤是一个固定的、与轮数无关的置换操作，它在算法的轮函数中负责重新排列状态矩阵中“道”的位置，从而在空间上提供扩散。理解 $\pi$ 步骤的作用和具体计算方式，是理解 SHA-3 算法扩散特性的关键。 解题过程循序渐进讲解 为了让您完全理解，我们从 SHA-3 的基本结构开始，逐步深入到 $\pi$ 步骤。 第1步：回顾 SHA-3 与 Keccak-f 置换函数 SHA-3 采用“海绵结构”，由“吸收”和“挤压”两个阶段构成。这两个阶段共同使用一个核心的置换函数 Keccak-f[b] 来对内部状态进行混淆和扩散。在 SHA-3 标准中， b (状态宽度) 通常为 1600 比特。这个 1600 比特的内部状态，在算法中被视为一个三维的“状态阵列” A 。 状态表示 ：状态阵列 A 有 3 个维度，可以用 A[x][y][z] 表示，其中： x 和 y 是平面坐标，取值范围是 0 ≤ x, y < 5。因此，在 x-y 平面上有 5×5=25 个“道”。 z 是垂直坐标（比特深度），对于 Keccak-f[ 1600]，有 0 ≤ z < 64。所以每个“道”是一个 64 比特的“道字”。 总比特数 ：5 × 5 × 64 = 1600 比特。 Keccak-f[ 1600] 每轮对状态阵列 A 依次应用 5 个步骤。$\pi$ 步骤是第三个步骤。 第2步：理解 $\pi$ 步骤的核心目标 $\pi$ 步骤是一个 线性置换 。它的核心目的是 重新排列 25 个“道”的位置 。它不改变任何一个“道”内部的 64 个比特的值，只是将这个“道”整个移动到状态矩阵的新位置上。这种操作在密码学设计中是为了实现“扩散”，即改变单个输入比特对多个输出比特的影响模式，使得输入中相邻的比特在输出中分散开来。 第3步：掌握 $\pi$ 步骤的数学定义 $\pi$ 步骤的数学定义非常简洁。它接收当前状态 A ，并输出一个新的状态 A’ 。其操作定义如下： 对于所有的 (x, y) 坐标，以及所有的 z (0 ≤ z < 64)： \[ A'[ x][ y][ z] = A[ (x + 3y) \mod 5][ x][ z ] \] 让我们分解理解这个公式： 左侧 ： A’[x][y][z] 表示经过 $\pi$ 步骤变换后，位于坐标 (x, y, z) 的比特值。 右侧 ： A[(x + 3y) mod 5][x][z] 表示变换之前，位于某个坐标的比特值。 目标行索引 ： (x + 3y) mod 5 。这是 $\pi$ 步骤的核心，它定义了“道”将被移动到哪个新的 x 坐标。 mod 5 确保新行索引在 0 到 4 之间。 目标列索引 ： x 。注意，原始坐标 (x, y) 中的 x 坐标，在变换后成为了新的 y 坐标。这是固定的置换关系。 深度索引 ： z 保持不变。这印证了 $\pi$ 步骤是“道”的完整移动，不改变“道”内比特的顺序。 关键的重新解释 ：这个公式可以更直观地理解为： 将 原始状态 中位于 (x_old, y_old) 的“道”，移动到 新状态 中位于 (x_new, y_new) 的位置。 其中，新旧坐标的映射关系是： \( x\_new = (x\_old + 3y\_old) \mod 5 \) \( y\_new = x\_old \) 第4步：通过具体例子验证理解 让我们用一个简单的例子，在概念上验证这个映射。假设我们只关心“道”的位置，忽略其内部的 64 个比特值。我们取原始状态中的一个“道”，它位于坐标 (x_old, y_old) = (1, 2) 。 根据 $\pi$ 步骤的映射公式： 新的 x 坐标： x_new = (1 + 3*2) mod 5 = (1+6) mod 5 = 7 mod 5 = 2 新的 y 坐标： y_new = x_old = 1 所以，原来在 (1, 2) 位置的“道”，经过 $\pi$ 步骤后，被移动到了 (2, 1) 的位置。 我们可以用原始的公式 A‘[x][y][z] = A[(x+3y) mod 5][x][z] 来逆向验证。我们想求新状态 A’[2][1] 的值。令 x=2, y=1： A’[2][1][z] = A[(2+3*1) mod 5][2][z] = A[(5) mod 5][2][z] = A[0][2][z] 。 等等，这里得到了 A[0][2] ，而不是我们例子中的 A[1][2] 。矛盾吗？ 注意 ：这里有一个理解上的关键点。我们上面例子中的 (1,2) 是原始坐标，而公式定义中的 (x,y) 是 结果坐标 。我们需要的是 从原始位置到新位置的映射函数 ，而公式给出的是 从新位置回溯到原始位置 的函数。 更直接的方法是根据公式推导“道”的移动映射。从 A’[x_new][y_new][z] = A[(x_new+3y_new) mod 5][x_new][z] 我们知道，新位置 (x_new, y_new) 的比特来自旧位置 (x_old, y_old) = ((x_new+3y_new) mod 5, x_new) 。 所以，对于旧位置 (1,2)： 我们需要解出 (x_ new, y_ new)，使得： (x_new+3*y_new) mod 5 = 1 x_new = 2 将 x_new=2 代入第一个方程： (2 + 3*y_new) mod 5 = 1 。 尝试 y_new=1 ： (2+3*1)=5 mod 5 = 0 ，不对。 尝试 y_new=2 ： (2+3*2)=8 mod 5 = 3 ，不对。 尝试 y_new=3 ： (2+3*3)=11 mod 5 = 1 ，正确！ 所以 (x_new, y_new) = (2, 3) 。 因此，原始位置 (1,2) 的“道”被移动到了新位置 (2,3) 。这与我们第一次直觉计算的 (2,1) 不同，是因为我们没有正确使用公式。这个例子说明了严格按照公式进行计算的重要性。 第5步：结合前序步骤理解 $\pi$ 的作用 在 Keccak 的一轮中： $\theta$ 步骤 ：在列方向（z轴）和行方向上进行运算，提供了良好的列间扩散。 $\rho$ 步骤 ：在每个“道”内部对比特进行循环移位，提供了良好的“道”内扩散。 $\pi$ 步骤 ：将“道”在 5x5 的平面上重新排列。这一步本身是线性的，不提供非线性，但它为下一步关键的 $\chi$ 步骤 创造输入模式 。$\chi$ 步骤是一个按位的非线性操作，作用在“行”（固定 y 和 z，遍历 x）上。$\pi$ 步骤将经过 $\theta$ 和 $\rho$ 扩散后的比特，以一种特定的、固定的模式重新组织到各个行中，使得 $\chi$ 步骤的非线性影响能够更有效地在后续轮中传播开来。 $\chi$ 步骤 ：提供算法的非线性性，是算法安全性的核心。 $\iota$ 步骤 ：为每轮添加不同的轮常量，破坏对称性。 第6步：总结与安全考量 $\pi$ 步骤的本质 ：它是一个固定的、基于坐标的置换，将状态阵列 A 的 25 个“道”重新排列。它是一个线性变换，不引入非线性，也不改变比特值，只改变比特的位置。 设计目标 ：增强算法的 扩散 （Diffusion）属性。通过与 $\theta$ 和 $\rho$ 步骤协同工作，$\pi$ 步骤确保了在几轮迭代后，输入消息的任何微小变化都会以复杂的方式影响输出哈希值的绝大部分比特。它为紧接着的 $\chi$ 非线性步骤准备数据布局，是构建强密码学置换的关键一环。 与 $\rho$ 步骤的区别 ：$\rho$ 步骤是 道内 的比特循环移位（沿 z 轴），而 $\pi$ 步骤是 道间 的整体位置交换（在 x-y 平面上）。两者结合，实现了比特在三维空间中的全面扩散。 通过以上六个步骤的讲解，您应该已经理解了 SHA-3 (Keccak) 中 $\pi$ 步骤的精确数学定义、其具体的计算过程，以及它在整个密码学哈希函数中所扮演的角色——一个为实现强扩散特性而精心设计的线性置换步骤。