基于非等距节点插值的数值微分公式：构造、误差分析与稳定性改进
我将为你讲解一个关于数值微分的算法题目，重点讨论非等距节点情形下如何构造插值型数值微分公式，并分析其误差和稳定性问题。
题目描述
考虑在区间 \([a, b]\) 上已知函数 \(f(x)\) 在 \(n+1\) 个节点 \(\{x_0, x_1, \dots, x_n\}\) 处的函数值，其中节点是非等距分布的，即 \(x_{i+1} - x_i\) 不一定相等。目标是构造一个数值微分公式，用于近似计算 \(f(x)\) 在某点（如 \(x_k\)）的一阶导数 \(f'(x_k)\) 或二阶导数 \(f''(x_k)\)。需要详细推导公式，分析其截断误差，并讨论由于节点非均匀分布带来的稳定性问题（如大舍入误差）及其改进策略。
解题过程
第一步：基于 Lagrange 插值多项式构造数值微分公式
- Lagrange 插值多项式：
\[ P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) L_i(x) \]
其中 \(L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\) 是 Lagrange 基函数。
- 近似导数：
由于 \(P_n(x)\) 近似 \(f(x)\)，可用 \(P_n'(x)\) 近似 \(f'(x)\)。在特定点 \(x_k\) 处：
\[ f'(x_k) \approx P_n'(x_k) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) L_i'(x_k) \]
这是一个插值型数值微分公式，系数为 \(L_i'(x_k)\)。
- 计算系数：
- 对基函数求导：\(L_i'(x) = \sum_{\substack{m=0 \\ m \neq i}}^{n} \frac{1}{x_i - x_m} \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i, m}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\)
- 在 \(x = x_k\) 处计算 \(L_i'(x_k)\)。若 \(k = i\)，需特殊处理：
\[ L_i'(x_i) = \sum_{\substack{m=0 \\ m \neq i}}^{n} \frac{1}{x_i - x_m} \]
- 若 \(k \neq i\)，则
\[ L_i'(x_k) = \frac{1}{x_i - x_k} \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i, k}}^{n} \frac{x_k - x_j}{x_i - x_j} \]
- 公式形式：
最终公式为：
\[ f'(x_k) \approx \sum_{i=0}^{n} w_{ki} f(x_i) \]
其中权重 \(w_{ki} = L_i'(x_k)\) 仅依赖于节点位置。
第二步：截断误差分析
- 误差来源：
插值余项为：
\[ f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^{n} (x - x_i) \]
其中 \(\xi \in (a, b)\)。
- 导数误差：
对余项求导：
\[ f'(x) - P_n'(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \frac{d}{dx} \prod_{i=0}^{n} (x - x_i) + \frac{d}{dx} \left[ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \right] \prod_{i=0}^{n} (x - x_i) \]
由于第二项复杂，通常假设 \(f^{(n+1)}(x)\) 变化缓慢，近似忽略其导数项。在节点 \(x_k\) 处，\(\prod_{i=0}^{n} (x_k - x_i) = 0\)，但导数项不一定为零。
-
简化误差表达式：
更实用的方法是利用 Taylor 展开直接分析。假设节点间距为 \(h_i = x_i - x_{i-1}\)，但 \(h_i\) 不等距。误差通常依赖于局部节点分布和 \(f\) 的高阶导数。对于一阶导数，误差阶一般为 \(O(h_{\text{max}}^n)\)，其中 \(h_{\text{max}}\) 是最大节点间距，但系数与节点分布密切相关。 -
举例：三点非等距公式：
- 节点 \(x_0, x_1, x_2\)，计算 \(f'(x_1)\)。
- 通过 Lagrange 插值可得：
\[ f'(x_1) \approx \frac{f(x_2) - f(x_0)}{x_2 - x_0} - \frac{(x_2 - x_1)(x_1 - x_0)}{x_2 - x_0} f[x_0, x_1, x_2] \]
其中 $f[x_0, x_1, x_2]$ 是二阶差商。
- 误差项为 \(-\frac{1}{6} f'''(\xi) (x_2 - x_1)(x_1 - x_0)\)，表明当节点不对称时，误差可能增大。
第三步：稳定性问题与改进策略
-
问题：
- 非等距节点可能导致权重 \(w_{ki}\) 的绝对值很大（尤其是高阶公式），从而放大函数值 \(f(x_i)\) 的舍入误差。
- 条件数定义为 \(\sum_i |w_{ki}|\)，条件数越大，对舍入误差越敏感。
-
改进策略：
- 选择优化节点：在允许选择节点位置时，使用切比雪夫节点（在区间内非均匀但对称分布）可最小化插值误差，并改善稳定性。
- 低阶公式组合：避免使用高阶公式（\(n\) 大），改用分段低阶公式（如分段二次插值），在每段上用等距或近等距节点。
- 正则化技术：在计算权重时，可对节点分布进行缩放和平移，使节点相对坐标的数值范围适中，减少大数相减。
- 使用重心权公式：Lagrange 插值的重心形式：
\[ P_n(x) = \frac{\sum_{i=0}^{n} \frac{w_i}{x - x_i} f(x_i)}{\sum_{i=0}^{n} \frac{w_i}{x - x_i}}, \quad w_i = \frac{1}{\prod_{j \neq i} (x_i - x_j)} \]
其导数公式数值上更稳定，因为直接处理差商，可减少舍入误差。
- 误差控制：
- 实际计算中，可估计 \(f\) 的高阶导数界，从而估计截断误差。
- 若节点间距变化剧烈，可在密集区域用低阶公式，稀疏区域适当提高阶数，但需平衡截断误差与舍入误差。
第四步：算法步骤总结
- 输入：节点 \(\{x_i\}\) 和函数值 \(\{f(x_i)\}\)，目标点 \(x_k\)。
- 计算权重：
- 若 \(n\) 较小（如 ≤4），直接按公式计算 \(L_i'(x_k)\)。
- 若 \(n\) 较大，采用重心权法计算导数权重，或改用分段低阶插值。
- 计算近似导数：
\[ f'(x_k) \approx \sum_i w_{ki} f(x_i) \]
- 误差估计（若可能）：
- 用差商估计 \(f^{(n+1)}\) 的界，结合节点分布估算截断误差。
- 通过扰动 \(f(x_i)\) 观察输出变化，估计条件数。
- 稳定性检查：若条件数过大，考虑重构节点分布或降低公式阶数。
核心要点
- 非等距节点数值微分公式可通过 Lagrange 插值直接导出，但权重计算复杂。
- 误差依赖于节点分布的非均匀程度和函数的高阶导数。
- 主要困难是数值稳定性，可通过优化节点选择、使用重心形式、分段低阶逼近等策略缓解。
- 在实际应用中，需权衡截断误差（要求节点多、阶数高）和舍入误差（要求条件数小）。
这个题目涵盖了从公式构造、误差分析到稳定性改进的完整过程，是数值微分中一个经典且实用的问题。