基于自适应混合基函数逼近的带端点可去奇异性高振荡积分计算
首先，我们来明确题目。本题目探讨一种数值积分方法，用于计算一类形式较为复杂的积分，其核心难点在于被积函数同时具有高振荡特性和端点可去奇异性。我们的目标是设计一种算法，能够高效、高精度地逼近此类积分值。
积分问题定义
考虑计算如下定积分：
\
\[ I[f] = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \ \]
其中，被积函数 $ f(x) $ 具有以下两个特征：
- 高振荡性：$ f(x) = g(x) e^{i \omega h(x)} $ 或 $ f(x) = g(x) \cos(\omega h(x)) $ 等形式，其中 $ \omega $ 是一个大参数（振荡频率高），$ g(x) $ 和 $ h(x) $ 是振幅和相位函数，$ h(x) $ 在积分区间内通常单调。
- 端点可去奇异性：在端点 $ x = \pm 1 $ 处，函数 $ g(x) $ 或 $ f(x) $ 本身可能趋于无穷大，但这种奇异性是“可去”的。数学上，这常意味着存在一个解析函数，使得奇异性可以被抵消。例如，$ f(x) = \frac{\cos(\omega x)}{\sqrt{1 - x^2}} $，在 $ x = \pm 1 $ 时，分母为零，但整个函数在区间内是可积的（属于可去奇异性的一种常见表现，如带权 $ 1/\sqrt{1-x^2} $ 的积分）。
对于此类问题，传统的标准高斯求积公式（如高斯-勒让德）在 $ \omega $ 很大时失效，因为需要极多的节点才能捕捉振荡。而专门针对振荡的Filon或Levin方法，又可能因端点奇异性而精度下降。因此，我们需要一个结合两者处理的策略。
解题思路
我们的核心思路是：将原积分分解为两部分之和，对每一部分使用最适合其特性的基函数进行逼近，然后将逼近结果相加得到积分近似值。具体步骤如下：
步骤1：积分问题的正则化与分解
目标是将带奇异性的振荡积分转化为一个正则（无非正常奇点）的振荡积分加上一个非振荡的奇异性贡献项。
假设被积函数为 $ f(x) = s(x) \cdot \phi_\omega(x) $，其中：
- $ s(x) $ 包含可去奇异性（如 $ 1/\sqrt{1-x^2} $ 或其他在端点发散的项）。
- $ \phi_\omega(x) = e^{i\omega h(x)} $ 或其三角函数形式，表示高频振荡部分。
一个有效的策略是利用部分分式分解或加减分裂技巧。我们构造一个辅助的奇异性函数 $ p(x) $，它在端点处与 $ s(x) $ 有相同的奇性行为，但在整个区间上是解析的，并且其与振荡部分的积分可以解析或半解析计算。然后，我们将被积函数重写为：
\
\[ f(x) = [s(x) - p(x)] \phi_\omega(x) + p(x) \phi_\omega(x) \ \]
通过精心选择 $ p(x) $，使得第一项 $ [s(x) - p(x)] \phi_\omega(x) $ 在端点处是正则的（即奇异性被消去），虽然它仍然是振荡的。第二项 $ p(x) \phi_\omega(x) $ 仍然包含奇异性，但它的形式是已知的，我们期望能利用特殊函数或数值方法（如高斯-切比雪夫求积）来精确计算。
步骤2：对正则化振荡部分应用Levin型方法
现在处理第一项：$ f_1(x) = [s(x) - p(x)] \phi_\omega(x) $。由于它已无奇异性，但其振荡频率 $ \omega $ 可能很大，我们采用一种改进的Levin-Collocation方法。
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Levin方法回顾：Levin方法的核心思想是寻找一个辅助函数 $ F(x) $，使得 $ \frac{d}{dx}[F(x) \phi_\omega(x)] = f_1(x) $ 近似成立。如果找到这样的 $ F(x) $，那么积分 $ \int f_1(x)dx = F(1)\phi_\omega(1) - F(-1)\phi_\omega(-1) $，从而避免了直接对振荡函数采样。
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自适应基函数逼近：传统的Levin方法用多项式基逼近 $ F(x) $。但这里，由于 $ s(x) - p(x) $ 可能仍有复杂结构，我们采用混合基函数。我们选择基函数集合为 $ \{ 1, x, ..., x^m \} \cup \{ q_1(x), q_2(x) \} $，其中 $ q_j(x) $ 是根据 $ s(x) - p(x) $ 在端点附近的行为选择的特定函数（例如，如果奇异性是代数型的，$ q_j $ 可包含 $ (1-x)^\alpha $ 等项）。这允许我们用更少的自由度来更精确地逼近 $ F(x) $。
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配置点选取：在区间上选择 $ n $ 个配置点（如切比雪夫点或等距点），将微分方程 $ F'(x)\phi_\omega(x) + F(x)\phi'\omega(x) = f_1(x) $ 在这些点上离散，形成一个关于基函数系数（$ m+3 $ 个未知数）的线性方程组。解此方程组得到 $ F(x) $ 的逼近，进而求得 $ I_1 = \int{-1}^1 f_1(x) dx $ 的近似值。由于 $ f_1 $ 是正则的，即使 $ \omega $ 很大，只要基函数能捕捉其变化趋势，此法仍可高效计算。
步骤3：对奇异性振荡部分应用高斯-切比雪夫求积
现在处理第二项：$ f_2(x) = p(x) \phi_\omega(x) $。这里的关键是，$ p(x) $ 被特意选为与 $ s(x) $ 在端点有相同奇异性。一个经典且强大的选择是令 $ p(x) = A/\sqrt{1-x^2} $ 或类似形式，使其与切比雪夫权函数匹配。
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权函数匹配：考虑积分 $ I_2 = \int_{-1}^1 p(x) \phi_\omega(x) dx $。如果 $ p(x) = w(x) = 1/\sqrt{1-x^2} $（第一类切比雪夫权函数），那么积分变为 $ I_2 = \int_{-1}^1 \frac{\phi_\omega(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx $。这正是高斯-切比雪夫求积公式所针对的标准形式。
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高斯-切比雪夫求积应用：高斯-切比雪夫求积公式告诉我们：
\
\[ \int_{-1}^1 \frac{h(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \sum_{k=1}^{N} w_k^{Ch} h(x_k^{Ch}) \ \]
其中节点 \$ x_k^{Ch} = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2N}\right) \$，权重 \$ w_k^{Ch} = \pi / N \$。这里，函数 \$ h(x) = \phi_\omega(x) \$。
- 高效性：此公式的优势在于权重和节点是已知的、简单的，并且对于振荡函数 $ \phi_\omega(x) $，随着 $ N $ 增加，即使 $ \omega $ 很大，只要 $ N $ 与 $ \omega $ 成比例增长，也能获得良好的精度。更重要的是，它天然地处理了 $ 1/\sqrt{1-x^2} $ 型的奇异性。如果 $ p(x) $ 是其他形式的奇异性，我们可以通过变量替换，将其转化为高斯-雅可比求积等更一般的形式。
步骤4：结果合成与误差分析
最后，整体的积分近似值为：
\
\[ I[f] \approx I_1^{(approx)} + I_2^{(approx)} \ \]
其中 $ I_1^{(approx)} $ 来自步骤2的Levin型方法，$ I_2^{(approx)} $ 来自步骤3的高斯-切比雪夫求积。
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自适应策略：为确保整体精度，可以采用自适应循环：
- 从较小的配置点数和求积节点数开始。
- 分别计算 $ I_1 $ 和 $ I_2 $ 的近似值。
- 通过比较不同精度等级（例如，增加配置点或求积节点）的结果，估计误差。
- 如果误差大于预设容差，则对两部分分别增加采样点（对 $ I_1 $ 增加配置点或基函数维数，对 $ I_2 $ 增加高斯-切比雪夫节点数 $ N $）并重新计算，直到满足精度要求。
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误差来源：
- 分解误差：依赖于 $ p(x) $ 对奇异性逼近的准确度。理想情况下，$ s(x)-p(x) $ 在端点解析，此项误差可忽略。
- Levin型方法误差：取决于基函数对 $ F(x) $ 的逼近能力，以及配置点数量。对于高频振荡，只要 $ F(x) $ 变化缓慢，低阶多项式混合基即可，误差与 $ \omega^{-1} $ 或更高次幂成正比。
- 高斯-切比雪夫求积误差：取决于 $ \phi_\omega(x) $ 的光滑性。对于解析的 $ \phi_\omega(x) $（如 $ e^{i\omega x} $），误差随 $ N $ 呈指数衰减。
总结
这种方法的核心创新在于“分离奇异性，对症下药”：
- 减法分解：从被积函数中显式地减掉一个已知的奇异性部分，使其剩余部分正则化，便于用振荡积分专用方法处理。
- 混合基Levin法：用多项式与奇异性匹配的特定函数的组合作为基，高效求解正则化后振荡部分的积分。
- 权函数匹配求积：对减去的奇异性部分，利用其与经典正交多项式权函数一致的特点，调用高度优化、针对高频振荡仍有效的高斯-切比雪夫求积。
通过这种联合策略，我们能够稳健、高精度地计算兼具端点奇异性和高振荡性的积分，而这是单一传统方法难以处理的。自适应循环确保了计算的效率和用户指定的精度。