非线性规划中的外点罚函数法进阶题：非凸非光滑约束问题的处理策略
题目描述
考虑如下非线性规划问题：
最小化 \(f(x)\)
满足约束：
\[g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, 2, \ldots, m \]
\[ h_j(x) = 0, \quad j = 1, 2, \ldots, p \]
其中，\(x \in \mathbb{R}^n\)。目标函数 \(f(x)\) 是非凸且可能非光滑的（例如，具有分段线性或绝对值项）。约束函数 \(g_i(x)\) 和 \(h_j(x)\) 也是非凸且可能非光滑的。要求使用外点罚函数法求解该问题，并针对非凸非光滑特性设计有效的处理策略，确保算法能收敛到一个可行的局部最优解。
解题过程循序渐进讲解
步骤1：理解外点罚函数法的核心思想
外点罚函数法是一种将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题的方法。其基本思想是：在原目标函数上添加一个“惩罚项”，该惩罚项在约束被违反时取正值，且违反程度越大惩罚值越高。通过逐渐增大惩罚参数，迫使无约束问题的解逼近原约束问题的解。对于外点法，迭代点序列允许在可行域外部，但随着惩罚加大，会逐渐被“推”向可行域。
对于一般约束问题，构造罚函数为：
\[P(x; \mu) = f(x) + \mu \left( \sum_{i=1}^{m} [\max(0, g_i(x))]^2 + \sum_{j=1}^{p} [h_j(x)]^2 \right) \]
其中，\(\mu > 0\) 是惩罚参数。当 \(x\) 违反约束时，括号内的项为正，从而增大 \(P(x; \mu)\) 的值；当 \(x\) 满足所有约束时，惩罚项为零。
步骤2：处理非光滑特性的挑战
在非光滑情形下，目标函数或约束函数的导数可能不存在或不连续，这会导致基于梯度的无约束优化方法（如拟牛顿法）失效。因此，需要采用适用于非光滑问题的无约束优化器。常见的策略有：
- 次梯度法：适用于凸非光滑函数，但收敛较慢。
- 捆绑法（Bundle Methods）：通过积累过往迭代点的次梯度信息构建局部模型，能有效处理一般非光滑问题。
- 直接搜索法：如模式搜索、Nelder-Mead单纯形法，不依赖梯度信息，但高维效率低。
- 平滑近似：用光滑函数近似非光滑部分，例如用 \(\sqrt{x^2 + \epsilon}\) 近似 \(|x|\)（当 \(\epsilon\) 很小时）。
在本问题中，由于非凸非光滑，建议采用捆绑法作为无约束求解器，因为它能处理一般非光滑函数且具有一定全局探索能力。
步骤3：针对非凸约束的罚函数构造调整
标准罚函数使用平方惩罚项，这可能导致惩罚函数 \(P(x; \mu)\) 在非凸约束下出现更多局部极小点，使优化更困难。可以考虑以下调整：
- 自适应惩罚权重：对不同约束使用不同的惩罚参数 \(\mu_i\) 和 \(\nu_j\)，并根据约束违反程度动态调整。例如，对违反严重的约束加大惩罚，避免某些约束被忽略。
- 精确罚函数：使用 \(L_1\) 罚函数 \(\mu \sum |h_j(x)| + \mu \sum \max(0, g_i(x))\)，它在有限惩罚参数下能给出精确解，但非光滑性更强。结合捆绑法可以处理。
这里我们采用自适应 \(L_1\) 罚函数：
\[P(x; \mu) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \mu_i \max(0, g_i(x)) + \sum_{j=1}^{p} \nu_j |h_j(x)| \]
其中，\(\mu_i, \nu_j\) 随迭代增加，并可根据违反程度调整。
步骤4：算法框架设计
结合以上策略，算法步骤如下：
- 初始化：选择初始点 \(x^0\)（可在可行域外），初始惩罚参数 \(\mu_i^0 = \nu_j^0 = 1\)，放大因子 \(\beta > 1\)（如 \(\beta = 10\)），收敛容忍度 \(\epsilon > 0\)，设置迭代计数器 \(k = 0\)。
- 无约束子问题求解：以当前点 \(x^k\) 为起点，使用捆绑法（或其它非光滑优化器）求解：
\[ \min_{x} P(x; \mu^k, \nu^k) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \mu_i^k \max(0, g_i(x)) + \sum_{j=1}^{p} \nu_j^k |h_j(x)| \]
得到解 \(x^{k+1}\)。
3. 约束违反度检查：计算最大约束违反度：
\[ V^{k+1} = \max\left\{ \max_i \max(0, g_i(x^{k+1})), \max_j |h_j(x^{k+1})| \right\} \]
如果 \(V^{k+1} < \epsilon\)，则停止，输出 \(x^{k+1}\) 作为近似解。
4. 惩罚参数更新：对每个约束，根据其违反程度调整惩罚参数：
\[ \mu_i^{k+1} = \begin{cases} \beta \mu_i^k & \text{如果 } g_i(x^{k+1}) > \delta \\ \mu_i^k & \text{否则} \end{cases} \]
\[ \nu_j^{k+1} = \begin{cases} \beta \nu_j^k & \text{如果 } |h_j(x^{k+1})| > \delta \\ \nu_j^k & \text{否则} \end{cases} \]
其中 \(\delta\) 是一个小正数（如 \(0.1\epsilon\)），用于判断是否显著违反。这使惩罚更具针对性。
5. 更新迭代点：令 \(k = k+1\)，返回步骤2。
步骤5：捆绑法在非光滑无约束优化中的应用简述
由于罚函数 \(P(x; \mu, \nu)\) 是非光滑的，捆绑法求解子问题的过程如下：
- 在每次迭代 \(t\) 中，维护一个“捆绑”信息集 \(\{ (x_l, s_l) \}\)，其中 \(s_l\) 是 \(P\) 在 \(x_l\) 的一个次梯度。
- 构建割平面模型：\(\hat{P}(x) = \max_l \{ P(x_l) + s_l^T (x - x_l) \}\)。
- 求解 \(\min_x \hat{P}(x) + \frac{\rho}{2} \|x - \hat{x}\|^2\)（其中 \(\hat{x}\) 是当前最佳点，\(\rho\) 是正则化参数）得到试探点。
- 计算新点的函数值和次梯度，更新捆绑信息，判断收敛。
步骤6：收敛性考虑
- 在非凸情形下，算法通常收敛到罚函数的稳定点（即0属于次微分），但不一定是全局甚至局部最优解。然而，通过逐渐增大惩罚参数，稳定点将趋向于满足约束。
- 为确保可行性，惩罚参数需增至无穷，但实践中在约束违反足够小时即可停止。
- 由于使用 \(L_1\) 罚函数，在有限惩罚参数下可能得到精确解，但非凸时仍需小心。
总结
本题中，我们针对非凸非光滑约束问题，对外点罚函数法进行了三方面改进：
- 选用 \(L_1\) 罚函数增强精确性。
- 采用自适应惩罚参数更新，聚焦于违反的约束。
- 利用捆绑法求解非光滑无约束子问题。
这些策略结合，使算法能有效处理目标及约束的非凸非光滑性，逐步导向一个可行的局部最优解。实际应用中，参数（如初始惩罚、放大因子）需根据问题调整以平衡收敛速度和稳定性。