非线性规划中的内点反射梯度-序列凸近似-自适应屏障混合算法基础题

字数 4257 2025-12-17 01:42:11

非线性规划中的内点反射梯度-序列凸近似-自适应屏障混合算法基础题

题目描述：
考虑非线性规划问题：

\[\min f(x) = (x_1 - 2)^4 + (x_2 - 3)^4 \]

\[\text{s.t. } g_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 5 \le 0 \]

\[g_2(x) = -x_1 - x_2 + 1 \le 0 \]

\[x \in \mathbb{R}^2 \]

这是一个带有非线性不等式约束的非凸优化问题。我们将使用一种混合算法，该算法结合了内点反射梯度法、序列凸近似和自适应屏障函数。内点反射梯度法用于在可行域内搜索，序列凸近似用于处理非凸约束，自适应屏障函数用于控制迭代点远离约束边界。初始点取 \(x^{(0)} = (1.5, 1.5)\)，该点满足 \(g_1(x^{(0)}) = 4.5 - 5 = -0.5 < 0\)，\(g_2(x^{(0)}) = -3 + 1 = -2 < 0\)，为严格内点。目标是最小化目标函数 \(f(x)\)。

解题过程：

问题分析与算法框架概览
目标函数 \(f(x)\) 是关于 \(x_1, x_2\) 的四次多项式，非凸但光滑。约束 \(g_1(x)\) 是凸的（圆盘），\(g_2(x)\) 是线性的。整体问题是可微的非凸规划。混合算法的基本思想如下：
- 在每个迭代点 \(x^{(k)}\)，对非凸目标函数 \(f(x)\) 和约束 \(g_1(x)\) 在 \(x^{(k)}\) 处进行凸近似（例如一阶泰勒展开），得到一个凸子问题。
- 使用内点反射梯度法求解这个凸子问题，该方法在可行域内部进行梯度投影，确保迭代点始终严格可行。
- 采用自适应屏障函数（如对数屏障）将约束纳入目标，并通过自适应参数调整屏障权重，平衡最优性和可行性。
- 重复直到收敛。
构建序列凸近似子问题
在第 \(k\) 次迭代，当前点为 \(x^{(k)}\)。对 \(f(x)\) 和 \(g_1(x)\) 在 \(x^{(k)}\) 处作一阶泰勒展开（线性化）：

\[ \tilde{f}^{(k)}(x) = f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) \]

\[ \tilde{g}_1^{(k)}(x) = g_1(x^{(k)}) + \nabla g_1(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) \]

其中梯度计算为：

\[ \nabla f(x) = \begin{bmatrix} 4(x_1 - 2)^3 \\ 4(x_2 - 3)^3 \end{bmatrix}, \quad \nabla g_1(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 \\ 2x_2 \end{bmatrix} \]

由于 \(g_2(x)\) 已经是线性的，无需近似。于是得到凸子问题（线性目标，线性约束）：

\[ \min_x \tilde{f}^{(k)}(x) \]

\[ \text{s.t. } \tilde{g}_1^{(k)}(x) \le 0, \quad g_2(x) \le 0 \]

注意：子问题是凸的（线性规划），可行域是凸多面体。

内点反射梯度法求解子问题
内点反射梯度法旨在在严格可行内点迭代求解子问题。我们引入自适应对数屏障函数将约束整合到目标中。对于子问题，定义屏障函数：

\[ B^{(k)}(x; \mu) = \tilde{f}^{(k)}(x) - \mu \left[ \ln(-\tilde{g}_1^{(k)}(x)) + \ln(-g_2(x)) \right] \]

其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数。初始屏障参数 \(\mu^{(0)} = 1\)，初始点 \(x^{(0)}\) 是严格内点，满足 \(\tilde{g}_1^{(k)}(x^{(0)}) < 0\) 和 \(g_2(x^{(0)}) < 0\)。
接下来执行内点反射梯度步骤：
a. 计算屏障函数的梯度：

\[ \nabla B^{(k)}(x; \mu) = \nabla \tilde{f}^{(k)}(x) - \mu \left[ \frac{1}{\tilde{g}_1^{(k)}(x)} \nabla \tilde{g}_1^{(k)}(x) + \frac{1}{g_2(x)} \nabla g_2(x) \right] \]

其中 \(\nabla \tilde{f}^{(k)}(x) = \nabla f(x^{(k)})\)（常数向量），\(\nabla \tilde{g}_1^{(k)}(x) = \nabla g_1(x^{(k)})\)（常数向量），\(\nabla g_2(x) = (-1, -1)^T\)。
b. 进行梯度下降步：\(x_{\text{new}} = x - \alpha \nabla B^{(k)}(x; \mu)\)，其中步长 \(\alpha > 0\) 通过线搜索（如Armijo规则）确定，确保新点仍严格可行。
c. 如果新点靠近边界（例如某个约束值大于 \(-\epsilon\)），则进行反射操作：将点沿约束边界的法向反射回可行域内部。具体来说，如果 \(\tilde{g}_1^{(k)}(x_{\text{new}}) \ge -\delta\)（\(\delta\) 是小正数），则计算反射步 \(x_{\text{new}} = x_{\text{new}} - 2 \tilde{g}_1^{(k)}(x_{\text{new}}) \frac{\nabla \tilde{g}_1^{(k)}(x_{\text{new}})}{\|\nabla \tilde{g}_1^{(k)}(x_{\text{new}})\|^2}\)，类似处理 \(g_2\)。
d. 重复 b 和 c 直到子问题收敛（梯度足够小或迭代次数达到上限）。

自适应屏障参数更新
在每次外层迭代（序列凸近似）结束后，更新屏障参数 \(\mu\) 以逐步收紧屏障，使解趋近原问题的最优解。常用更新规则：\(\mu^{(k+1)} = \gamma \mu^{(k)}\)，其中 \(\gamma \in (0,1)\)，例如 \(\gamma = 0.5\)。随着 \(\mu\) 减小，屏障函数越来越接近原始目标，但保持内点性质。
序列凸近似外层迭代
用内点反射梯度法求解当前凸子问题后，得到新迭代点 \(x^{(k+1)}\)。然后基于 \(x^{(k+1)}\) 重新线性化目标函数和约束，构建新的凸子问题，重复步骤2-4。收敛条件可以是连续两次迭代点变化很小，例如 \(\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < 10^{-6}\)，或者目标函数值变化很小。
示例计算（第一次迭代）
初始点 \(x^{(0)} = (1.5, 1.5)\)。
- 计算梯度：

\[ \nabla f(x^{(0)}) = [4(1.5-2)^3, 4(1.5-3)^3] = [4 \times (-0.125), 4 \times (-3.375)] = [-0.5, -13.5] \]

\[ \nabla g_1(x^{(0)}) = [3, 3] \]

当前约束值：\(g_1(x^{(0)}) = 4.5 - 5 = -0.5\)，\(g_2(x^{(0)}) = -3 + 1 = -2\)。

构建凸子问题：

\[ \min_x \tilde{f}^{(0)}(x) = f(x^{(0)}) + [-0.5, -13.5]^T (x - x^{(0)}) \]

\[ \text{s.t. } \tilde{g}_1^{(0)}(x) = -0.5 + [3, 3]^T (x - x^{(0)}) \le 0, \quad g_2(x) = -x_1 - x_2 + 1 \le 0 \]

为简化，由于 \(f(x^{(0)})\) 是常数，可忽略，子问题等价于最小化线性目标 \([-0.5, -13.5]^T x\)。

设置初始屏障参数 \(\mu = 1\)，执行内点反射梯度法。首先计算屏障函数梯度在 \(x^{(0)}\) 处的值：

\[ \nabla B^{(0)}(x^{(0)}; 1) = [-0.5, -13.5] - 1 \left[ \frac{1}{-0.5} [3, 3] + \frac{1}{-2} [-1, -1] \right] = [-0.5, -13.5] - [-6 - 0.5, -6 - 0.5] = [5, -7] \]

这里计算了每一项：\(\frac{1}{\tilde{g}_1^{(0)}} = 1/(-0.5) = -2\)，乘以 \(\nabla \tilde{g}_1^{(0)} = [3,3]\) 得 \([-6, -6]\)；\(\frac{1}{g_2} = 1/(-2) = -0.5\)，乘以 \(\nabla g_2 = [-1, -1]\) 得 \([0.5, 0.5]\)；求和为 \([-5.5, -5.5]\)，减去后得梯度 \([5, -7]\)。

沿负梯度方向搜索，步长 \(\alpha\) 需通过线搜索确保新点满足约束严格小于0。经过几步内点迭代后，假设收敛到子问题的最优内点解，例如 \(x^{(1)} = (1.8, 1.8)\)（此值为示例，实际需严格求解）。
更新屏障参数：\(\mu^{(1)} = 0.5 \times 1 = 0.5\)。
然后以 \(x^{(1)}\) 为新点，重新线性化，继续下一次序列凸近似迭代。

收敛性与总结
该混合算法结合了序列凸近似（处理非凸）、内点法（保持可行性）和反射梯度（处理边界接近）。在适当条件下，序列凸近似生成的序列会收敛到原问题的一个稳定点（满足 KKT 条件）。内点反射确保了迭代点始终严格可行，自适应屏障参数控制逼近精度。最终，算法能有效求解该非凸约束问题。

非线性规划中的内点反射梯度-序列凸近似-自适应屏障混合算法基础题题目描述：考虑非线性规划问题： \[\min f(x) = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 2 - 3)^4\] \[\text{s.t. } g_ 1(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 5 \le 0\] \[g_ 2(x) = -x_ 1 - x_ 2 + 1 \le 0\] \[x \in \mathbb{R}^2\] 这是一个带有非线性不等式约束的非凸优化问题。我们将使用一种混合算法，该算法结合了内点反射梯度法、序列凸近似和自适应屏障函数。内点反射梯度法用于在可行域内搜索，序列凸近似用于处理非凸约束，自适应屏障函数用于控制迭代点远离约束边界。初始点取 \(x^{(0)} = (1.5, 1.5)\)，该点满足 \(g_ 1(x^{(0)}) = 4.5 - 5 = -0.5 < 0\)，\(g_ 2(x^{(0)}) = -3 + 1 = -2 < 0\)，为严格内点。目标是最小化目标函数 \(f(x)\)。解题过程：问题分析与算法框架概览目标函数 \(f(x)\) 是关于 \(x_ 1, x_ 2\) 的四次多项式，非凸但光滑。约束 \(g_ 1(x)\) 是凸的（圆盘），\(g_ 2(x)\) 是线性的。整体问题是可微的非凸规划。混合算法的基本思想如下：在每个迭代点 \(x^{(k)}\)，对非凸目标函数 \(f(x)\) 和约束 \(g_ 1(x)\) 在 \(x^{(k)}\) 处进行凸近似（例如一阶泰勒展开），得到一个凸子问题。使用内点反射梯度法求解这个凸子问题，该方法在可行域内部进行梯度投影，确保迭代点始终严格可行。采用自适应屏障函数（如对数屏障）将约束纳入目标，并通过自适应参数调整屏障权重，平衡最优性和可行性。重复直到收敛。构建序列凸近似子问题在第 \(k\) 次迭代，当前点为 \(x^{(k)}\)。对 \(f(x)\) 和 \(g_ 1(x)\) 在 \(x^{(k)}\) 处作一阶泰勒展开（线性化）： \[ \tilde{f}^{(k)}(x) = f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) \] \[ \tilde{g}_ 1^{(k)}(x) = g_ 1(x^{(k)}) + \nabla g_ 1(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) \] 其中梯度计算为： \[ \nabla f(x) = \begin{bmatrix} 4(x_ 1 - 2)^3 \\ 4(x_ 2 - 3)^3 \end{bmatrix}, \quad \nabla g_ 1(x) = \begin{bmatrix} 2x_ 1 \\ 2x_ 2 \end{bmatrix} \] 由于 \(g_ 2(x)\) 已经是线性的，无需近似。于是得到凸子问题（线性目标，线性约束）： \[ \min_ x \tilde{f}^{(k)}(x) \] \[ \text{s.t. } \tilde{g}_ 1^{(k)}(x) \le 0, \quad g_ 2(x) \le 0 \] 注意：子问题是凸的（线性规划），可行域是凸多面体。内点反射梯度法求解子问题内点反射梯度法旨在在严格可行内点迭代求解子问题。我们引入自适应对数屏障函数将约束整合到目标中。对于子问题，定义屏障函数： \[ B^{(k)}(x; \mu) = \tilde{f}^{(k)}(x) - \mu \left[ \ln(-\tilde{g}_ 1^{(k)}(x)) + \ln(-g_ 2(x)) \right ] \] 其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数。初始屏障参数 \(\mu^{(0)} = 1\)，初始点 \(x^{(0)}\) 是严格内点，满足 \(\tilde{g}_ 1^{(k)}(x^{(0)}) < 0\) 和 \(g_ 2(x^{(0)}) < 0\)。接下来执行内点反射梯度步骤： a. 计算屏障函数的梯度： \[ \nabla B^{(k)}(x; \mu) = \nabla \tilde{f}^{(k)}(x) - \mu \left[ \frac{1}{\tilde{g} 1^{(k)}(x)} \nabla \tilde{g} 1^{(k)}(x) + \frac{1}{g_ 2(x)} \nabla g_ 2(x) \right ] \] 其中 \(\nabla \tilde{f}^{(k)}(x) = \nabla f(x^{(k)})\)（常数向量），\(\nabla \tilde{g} 1^{(k)}(x) = \nabla g_ 1(x^{(k)})\)（常数向量），\(\nabla g_ 2(x) = (-1, -1)^T\)。 b. 进行梯度下降步：\(x {\text{new}} = x - \alpha \nabla B^{(k)}(x; \mu)\)，其中步长 \(\alpha > 0\) 通过线搜索（如Armijo规则）确定，确保新点仍严格可行。 c. 如果新点靠近边界（例如某个约束值大于 \(-\epsilon\)），则进行反射操作：将点沿约束边界的法向反射回可行域内部。具体来说，如果 \(\tilde{g} 1^{(k)}(x {\text{new}}) \ge -\delta\)（\(\delta\) 是小正数），则计算反射步 \(x {\text{new}} = x {\text{new}} - 2 \tilde{g} 1^{(k)}(x {\text{new}}) \frac{\nabla \tilde{g} 1^{(k)}(x {\text{new}})}{\|\nabla \tilde{g} 1^{(k)}(x {\text{new}})\|^2}\)，类似处理 \(g_ 2\)。 d. 重复 b 和 c 直到子问题收敛（梯度足够小或迭代次数达到上限）。自适应屏障参数更新在每次外层迭代（序列凸近似）结束后，更新屏障参数 \(\mu\) 以逐步收紧屏障，使解趋近原问题的最优解。常用更新规则：\(\mu^{(k+1)} = \gamma \mu^{(k)}\)，其中 \(\gamma \in (0,1)\)，例如 \(\gamma = 0.5\)。随着 \(\mu\) 减小，屏障函数越来越接近原始目标，但保持内点性质。序列凸近似外层迭代用内点反射梯度法求解当前凸子问题后，得到新迭代点 \(x^{(k+1)}\)。然后基于 \(x^{(k+1)}\) 重新线性化目标函数和约束，构建新的凸子问题，重复步骤2-4。收敛条件可以是连续两次迭代点变化很小，例如 \(\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < 10^{-6}\)，或者目标函数值变化很小。示例计算（第一次迭代）初始点 \(x^{(0)} = (1.5, 1.5)\)。计算梯度： \[ \nabla f(x^{(0)}) = [ 4(1.5-2)^3, 4(1.5-3)^3] = [ 4 \times (-0.125), 4 \times (-3.375)] = [ -0.5, -13.5 ] \] \[ \nabla g_ 1(x^{(0)}) = [ 3, 3 ] \] 当前约束值：\(g_ 1(x^{(0)}) = 4.5 - 5 = -0.5\)，\(g_ 2(x^{(0)}) = -3 + 1 = -2\)。构建凸子问题： \[ \min_ x \tilde{f}^{(0)}(x) = f(x^{(0)}) + [ -0.5, -13.5 ]^T (x - x^{(0)}) \] \[ \text{s.t. } \tilde{g}_ 1^{(0)}(x) = -0.5 + [ 3, 3]^T (x - x^{(0)}) \le 0, \quad g_ 2(x) = -x_ 1 - x_ 2 + 1 \le 0 \] 为简化，由于 \(f(x^{(0)})\) 是常数，可忽略，子问题等价于最小化线性目标 \([ -0.5, -13.5 ]^T x\)。设置初始屏障参数 \(\mu = 1\)，执行内点反射梯度法。首先计算屏障函数梯度在 \(x^{(0)}\) 处的值： \[ \nabla B^{(0)}(x^{(0)}; 1) = [ -0.5, -13.5] - 1 \left[ \frac{1}{-0.5} [ 3, 3] + \frac{1}{-2} [ -1, -1] \right] = [ -0.5, -13.5] - [ -6 - 0.5, -6 - 0.5] = [ 5, -7 ] \] 这里计算了每一项：\(\frac{1}{\tilde{g}_ 1^{(0)}} = 1/(-0.5) = -2\)，乘以 \(\nabla \tilde{g}_ 1^{(0)} = [ 3,3]\) 得 \([ -6, -6]\)；\(\frac{1}{g_ 2} = 1/(-2) = -0.5\)，乘以 \(\nabla g_ 2 = [ -1, -1]\) 得 \([ 0.5, 0.5]\)；求和为 \([ -5.5, -5.5]\)，减去后得梯度 \([ 5, -7 ]\)。沿负梯度方向搜索，步长 \(\alpha\) 需通过线搜索确保新点满足约束严格小于0。经过几步内点迭代后，假设收敛到子问题的最优内点解，例如 \(x^{(1)} = (1.8, 1.8)\)（此值为示例，实际需严格求解）。更新屏障参数：\(\mu^{(1)} = 0.5 \times 1 = 0.5\)。然后以 \(x^{(1)}\) 为新点，重新线性化，继续下一次序列凸近似迭代。收敛性与总结该混合算法结合了序列凸近似（处理非凸）、内点法（保持可行性）和反射梯度（处理边界接近）。在适当条件下，序列凸近似生成的序列会收敛到原问题的一个稳定点（满足 KKT 条件）。内点反射确保了迭代点始终严格可行，自适应屏障参数控制逼近精度。最终，算法能有效求解该非凸约束问题。