非线性规划中的自适应步长梯度投影法进阶题：处理非光滑、非凸约束优化问题
字数 4694 2025-12-16 21:28:06

非线性规划中的自适应步长梯度投影法进阶题：处理非光滑、非凸约束优化问题

1. 题目描述

考虑以下非线性约束优化问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \]

\[ \text{s.t.} \quad c_i(x) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \]

其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是非凸且非光滑的（例如，是Lipschitz连续但梯度不一定处处存在的函数，如带有 \(L_1\) 范数惩罚项）。约束函数 \(c_i(x)\) 是连续可微的，但其可行域 \(\mathcal{X} = \{x \mid c_i(x) \leq 0\}\) 可能是非凸的。我们要求解此问题，但常规的梯度法（需要梯度存在）和投影法（需要投影计算容易）都面临挑战。本题要求设计一个自适应步长的梯度投影法的变体，使其能处理目标函数非光滑、可行域非凸的情况，并分析其关键步骤与收敛行为。

2. 解题过程

步骤1：问题分析与挑战识别

  1. 目标函数非光滑：例如，\(f(x) = g(x) + \lambda \|x\|_1\)，其中 \(g\) 光滑，\(\|x\|_1 = \sum |x_j|\) 非光滑。梯度投影法需要计算梯度 \(\nabla f\)，但 \(\|x\|_1\) 在 \(x_j=0\) 处不可导。
  2. 可行域非凸：约束 \(c_i(x) \leq 0\) 非凸，意味着从当前点 \(x^k\) 出发，沿负梯度方向移动后，投影到可行域 \(\mathcal{X}\) 上的操作（即 \(P_\mathcal{X}(x)\)）可能不是单值映射，或者计算极其困难（因为需要求解一个子优化问题）。
  3. 步长选择：梯度投影法通常需要步长满足某些条件（如 Lipschitz 常数）以保证收敛，但在非光滑情形下，Lipschitz 常数可能未知或不存在，需要自适应调整。

步骤2：算法框架构建——近似梯度与代理投影

我们无法直接使用标准梯度投影迭代 \(x^{k+1} = P_\mathcal{X}(x^k - \alpha_k \nabla f(x^k))\)，因为 \(\nabla f\) 可能不存在，且 \(P_\mathcal{X}\) 难算。需要引入两个关键改进：

  1. 用次梯度代替梯度：对于非光滑凸函数，我们可以使用次梯度 \(\partial f(x)\)（满足 \(f(y) \geq f(x) + g^T(y-x), \forall y, g \in \partial f(x)\)）。对于非凸非光滑函数，我们可以使用Clarke次梯度（广义梯度）\(\partial_C f(x)\)，它是普通梯度的推广。在实际计算中，我们可以用一个“近似梯度” \(g^k\)，它是通过当前点附近函数值估计得到的一个下降方向，比如通过光滑化技术或有限差分得到一个梯度估计。
  2. 用线性化约束的投影代替精确投影：由于可行域 \(\mathcal{X}\) 非凸，精确投影 \(P_\mathcal{X}\) 难求。我们采用序列线性化的思想：在当前点 \(x^k\)，将约束线性化：

\[ c_i(x) \approx c_i(x^k) + \nabla c_i(x^k)^T (x - x^k) \leq 0 \]

于是，在 $x^k$ 附近，我们用一个**多面体集合**（线性不等式约束）来近似可行域：

\[ \tilde{\mathcal{X}}_k = \{ x \mid c_i(x^k) + \nabla c_i(x^k)^T (x - x^k) \leq 0, i=1,\dots,m \} \]

投影到这个多面体上是一个**二次规划（QP）**问题，可以高效求解。

步骤3：自适应步长策略

在非光滑情况下，我们不知道 Lipschitz 常数。可以采用回溯线搜索（backtracking line search） 来自适应确定步长 \(\alpha_k\)。但这里，由于是投影法，我们通常结合谱梯度步长（Barzilai-Borwein, BB步长） 和充分下降条件。

  • BB步长：即使对于非光滑问题，BB步长也能提供较好的尺度信息。有两种形式：

\[ \alpha_k^{BB1} = \frac{s_{k-1}^T s_{k-1}}{s_{k-1}^T y_{k-1}}, \quad \alpha_k^{BB2} = \frac{s_{k-1}^T y_{k-1}}{y_{k-1}^T y_{k-1}} \]

其中 \(s_{k-1} = x^k - x^{k-1}\), \(y_{k-1} = g^k - g^{k-1}\)，\(g^k\) 是当前点的（近似）次梯度。通常我们取 \(\alpha_k = \min(\alpha_{\max}, \max(\alpha_{\min}, \alpha_k^{BB1}))\) 来保证步长在一定范围内。

  • 充分下降条件：在确定了试探步长后，我们需要验证移动后是否充分下降。一个常用的条件是 Armijo型条件 的变体：令 \(d^k = P_{\tilde{\mathcal{X}}_k}(x^k - \alpha_k g^k) - x^k\) 为搜索方向，然后检查：

\[ f(x^k + \beta^m d^k) \leq f(x^k) + \sigma \beta^m (g^k)^T d^k \]

其中 \(\beta \in (0,1)\), \(\sigma \in (0,1)\)，\(m\) 是使不等式成立的最小非负整数。然后取步长 \(\alpha_k' = \beta^m \alpha_k\)。这确保了每次迭代有充分的函数值下降。

步骤4：完整算法步骤

  1. 初始化：选取初始点 \(x^0 \in \mathcal{X}\)（可行），初始步长 \(\alpha_0 > 0\)，参数 \(\eta \in (0,1)\), \(\sigma \in (0,1)\), \(\alpha_{\min}, \alpha_{\max} > 0\)，容忍度 \(\epsilon > 0\)，置 \(k=0\)。
  2. 计算近似梯度：在当前点 \(x^k\)，计算目标函数的一个（Clarke）次梯度或近似梯度 \(g^k \in \partial_C f(x^k)\)。对于 \(f(x) = g(x) + \lambda \|x\|_1\)，可以取 \(g^k = \nabla g(x^k) + \lambda \xi^k\)，其中 \(\xi^k \in \partial \|x^k\|_1\)（即 \(\xi^k_j = \mathrm{sign}(x^k_j)\) 若 \(x^k_j \neq 0\)，否则 \(\xi^k_j \in [-1,1]\)）。
  3. 构造线性化可行集：构建多面体近似：

\[ \tilde{\mathcal{X}}_k = \{ x \mid c_i(x^k) + \nabla c_i(x^k)^T (x - x^k) \leq 0, i=1,\dots,m \} \]

  1. 计算搜索方向：求解投影子问题（一个QP）：

\[ z^k = \arg\min_{z \in \tilde{\mathcal{X}}_k} \frac{1}{2} \|z - (x^k - \alpha_k g^k)\|^2 \]

令搜索方向 \(d^k = z^k - x^k\)。
5. 自适应步长调整：通过回溯线搜索找到步长缩放因子。令 \(m=0\)。

  • 当 \(f(x^k + \beta^m d^k) > f(x^k) + \sigma \beta^m (g^k)^T d^k\) 且 \(x^k + \beta^m d^k \in \mathcal{X}\)（或至少满足线性化约束）时，令 \(m = m+1\)。
  • 令 \(\alpha_k' = \beta^m \alpha_k\), \(x^{k+1} = x^k + \alpha_k' d^k\)。
  1. 更新步长：计算 \(s_k = x^{k+1} - x^k\), \(y_k = g^{k+1} - g^k\)。然后计算BB步长候选：

\[ \alpha_{k+1}^{\mathrm{BB}} = \frac{s_k^T s_k}{s_k^T y_k} \quad \text{或} \quad \frac{s_k^T y_k}{y_k^T y_k} \]

限制 \(\alpha_{k+1} = \min(\alpha_{\max}, \max(\alpha_{\min}, \alpha_{k+1}^{\mathrm{BB}}))\)。
7. 检查终止：如果 \(\|d^k\| < \epsilon\) 或 \(|f(x^{k+1}) - f(x^k)| < \epsilon (1+|f(x^k)|)\)，则停止并输出 \(x^{k+1}\)。否则，令 \(k = k+1\)，返回步骤2。

步骤5：关键点与收敛性说明

  • 可行性保持：由于我们投影到线性化约束集 \(\tilde{\mathcal{X}}_k\)，而 \(x^k\) 本身满足线性化约束（因为 \(c_i(x^k)+0 \leq 0\)），所以投影点 \(z^k \in \tilde{\mathcal{X}}_k\)。但线性化约束只是原约束的近似，所以 \(z^k\) 不一定满足原约束 \(c_i(z^k) \leq 0\)。不过，由于我们采用回溯线搜索，并且通常要求试验点 \(x^k + \beta^m d^k\) 满足原约束（或通过添加松弛暂时允许轻微不可行），最终迭代点会逐渐回到可行域或在其边界附近。这就是“近似投影”的思想。
  • 处理非光滑：通过使用次梯度（或近似梯度）\(g^k\) 代替梯度，算法能处理目标函数的非光滑性。但注意，非光滑点的次梯度选择不唯一，可能影响收敛路径。
  • 自适应步长：BB步长提供了曲率信息，能加速收敛；回溯线搜索确保了充分下降，这对非光滑问题的收敛至关重要。
  • 收敛性：在目标函数 \(f\) 是局部Lipschitz且下半连续，可行域 \(\mathcal{X}\) 是闭集的较温和条件下，可以证明算法产生的序列的任何极限点都是Clarke静止点（即 \(0 \in \partial_C f(x^*) + N_\mathcal{X}(x^*)\)，其中 \(N_\mathcal{X}\) 是可行域的常规法锥）。但全局收敛到全局最优解不能保证，因为问题是非凸的。

总结：本题的算法是梯度投影法的一个进阶变体，通过结合次梯度处理非光滑，序列线性化处理非凸约束，以及BB步长+回溯搜索实现自适应步长，从而能够处理一类较复杂的非光滑非凸约束优化问题。其核心思想是将复杂问题在每一步简化成一个易处理的子问题（QP），并保证迭代的可行性与下降性。

非线性规划中的自适应步长梯度投影法进阶题：处理非光滑、非凸约束优化问题 1. 题目描述 考虑以下非线性约束优化问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] \[ \text{s.t.} \quad c_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \] 其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是 非凸 且 非光滑 的（例如，是Lipschitz连续但梯度不一定处处存在的函数，如带有 \(L_ 1\) 范数惩罚项）。约束函数 \(c_ i(x)\) 是连续可微的，但其可行域 \(\mathcal{X} = \{x \mid c_ i(x) \leq 0\}\) 可能是非凸的。我们要求解此问题，但常规的梯度法（需要梯度存在）和投影法（需要投影计算容易）都面临挑战。本题要求 设计一个自适应步长的梯度投影法的变体 ，使其能处理目标函数非光滑、可行域非凸的情况，并分析其关键步骤与收敛行为。 2. 解题过程 步骤1：问题分析与挑战识别 目标函数非光滑 ：例如，\(f(x) = g(x) + \lambda \|x\|_ 1\)，其中 \(g\) 光滑，\(\|x\|_ 1 = \sum |x_ j|\) 非光滑。梯度投影法需要计算梯度 \(\nabla f\)，但 \(\|x\|_ 1\) 在 \(x_ j=0\) 处不可导。 可行域非凸 ：约束 \(c_ i(x) \leq 0\) 非凸，意味着从当前点 \(x^k\) 出发，沿负梯度方向移动后，投影到可行域 \(\mathcal{X}\) 上的操作（即 \(P_ \mathcal{X}(x)\)）可能 不是单值映射 ，或者计算极其困难（因为需要求解一个子优化问题）。 步长选择 ：梯度投影法通常需要步长满足某些条件（如 Lipschitz 常数）以保证收敛，但在非光滑情形下，Lipschitz 常数可能未知或不存在，需要自适应调整。 步骤2：算法框架构建——近似梯度与代理投影 我们无法直接使用标准梯度投影迭代 \(x^{k+1} = P_ \mathcal{X}(x^k - \alpha_ k \nabla f(x^k))\)，因为 \(\nabla f\) 可能不存在，且 \(P_ \mathcal{X}\) 难算。需要引入两个关键改进： 用次梯度代替梯度 ：对于非光滑凸函数，我们可以使用次梯度 \(\partial f(x)\)（满足 \(f(y) \geq f(x) + g^T(y-x), \forall y, g \in \partial f(x)\)）。对于非凸非光滑函数，我们可以使用 Clarke次梯度 （广义梯度）\(\partial_ C f(x)\)，它是普通梯度的推广。在实际计算中，我们可以用一个“近似梯度” \(g^k\)，它是通过当前点附近函数值估计得到的一个下降方向，比如通过 光滑化技术 或 有限差分 得到一个梯度估计。 用线性化约束的投影代替精确投影 ：由于可行域 \(\mathcal{X}\) 非凸，精确投影 \(P_ \mathcal{X}\) 难求。我们采用 序列线性化 的思想：在当前点 \(x^k\)，将约束线性化： \[ c_ i(x) \approx c_ i(x^k) + \nabla c_ i(x^k)^T (x - x^k) \leq 0 \] 于是，在 \(x^k\) 附近，我们用一个 多面体集合 （线性不等式约束）来近似可行域： \[ \tilde{\mathcal{X}}_ k = \{ x \mid c_ i(x^k) + \nabla c_ i(x^k)^T (x - x^k) \leq 0, i=1,\dots,m \} \] 投影到这个多面体上是一个 二次规划（QP） 问题，可以高效求解。 步骤3：自适应步长策略 在非光滑情况下，我们不知道 Lipschitz 常数。可以采用 回溯线搜索（backtracking line search） 来自适应确定步长 \(\alpha_ k\)。但这里，由于是投影法，我们通常结合 谱梯度步长（Barzilai-Borwein, BB步长） 和 充分下降条件 。 BB步长 ：即使对于非光滑问题，BB步长也能提供较好的尺度信息。有两种形式： \[ \alpha_ k^{BB1} = \frac{s_ {k-1}^T s_ {k-1}}{s_ {k-1}^T y_ {k-1}}, \quad \alpha_ k^{BB2} = \frac{s_ {k-1}^T y_ {k-1}}{y_ {k-1}^T y_ {k-1}} \] 其中 \(s_ {k-1} = x^k - x^{k-1}\), \(y_ {k-1} = g^k - g^{k-1}\)，\(g^k\) 是当前点的（近似）次梯度。通常我们取 \(\alpha_ k = \min(\alpha_ {\max}, \max(\alpha_ {\min}, \alpha_ k^{BB1}))\) 来保证步长在一定范围内。 充分下降条件 ：在确定了试探步长后，我们需要验证移动后是否充分下降。一个常用的条件是 Armijo型条件 的变体：令 \(d^k = P_ {\tilde{\mathcal{X}}_ k}(x^k - \alpha_ k g^k) - x^k\) 为搜索方向，然后检查： \[ f(x^k + \beta^m d^k) \leq f(x^k) + \sigma \beta^m (g^k)^T d^k \] 其中 \(\beta \in (0,1)\), \(\sigma \in (0,1)\)，\(m\) 是使不等式成立的最小非负整数。然后取步长 \(\alpha_ k' = \beta^m \alpha_ k\)。这确保了每次迭代有充分的函数值下降。 步骤4：完整算法步骤 初始化 ：选取初始点 \(x^0 \in \mathcal{X}\)（可行），初始步长 \(\alpha_ 0 > 0\)，参数 \(\eta \in (0,1)\), \(\sigma \in (0,1)\), \(\alpha_ {\min}, \alpha_ {\max} > 0\)，容忍度 \(\epsilon > 0\)，置 \(k=0\)。 计算近似梯度 ：在当前点 \(x^k\)，计算目标函数的一个（Clarke）次梯度或近似梯度 \(g^k \in \partial_ C f(x^k)\)。对于 \(f(x) = g(x) + \lambda \|x\|_ 1\)，可以取 \(g^k = \nabla g(x^k) + \lambda \xi^k\)，其中 \(\xi^k \in \partial \|x^k\|_ 1\)（即 \(\xi^k_ j = \mathrm{sign}(x^k_ j)\) 若 \(x^k_ j \neq 0\)，否则 \(\xi^k_ j \in [ -1,1 ]\)）。 构造线性化可行集 ：构建多面体近似： \[ \tilde{\mathcal{X}}_ k = \{ x \mid c_ i(x^k) + \nabla c_ i(x^k)^T (x - x^k) \leq 0, i=1,\dots,m \} \] 计算搜索方向 ：求解投影子问题（一个QP）： \[ z^k = \arg\min_ {z \in \tilde{\mathcal{X}}_ k} \frac{1}{2} \|z - (x^k - \alpha_ k g^k)\|^2 \] 令搜索方向 \(d^k = z^k - x^k\)。 自适应步长调整 ：通过回溯线搜索找到步长缩放因子。令 \(m=0\)。 当 \(f(x^k + \beta^m d^k) > f(x^k) + \sigma \beta^m (g^k)^T d^k\) 且 \(x^k + \beta^m d^k \in \mathcal{X}\)（或至少满足线性化约束）时，令 \(m = m+1\)。 令 \(\alpha_ k' = \beta^m \alpha_ k\), \(x^{k+1} = x^k + \alpha_ k' d^k\)。 更新步长 ：计算 \(s_ k = x^{k+1} - x^k\), \(y_ k = g^{k+1} - g^k\)。然后计算BB步长候选： \[ \alpha_ {k+1}^{\mathrm{BB}} = \frac{s_ k^T s_ k}{s_ k^T y_ k} \quad \text{或} \quad \frac{s_ k^T y_ k}{y_ k^T y_ k} \] 限制 \(\alpha_ {k+1} = \min(\alpha_ {\max}, \max(\alpha_ {\min}, \alpha_ {k+1}^{\mathrm{BB}}))\)。 检查终止 ：如果 \(\|d^k\| < \epsilon\) 或 \(|f(x^{k+1}) - f(x^k)| < \epsilon (1+|f(x^k)|)\)，则停止并输出 \(x^{k+1}\)。否则，令 \(k = k+1\)，返回步骤2。 步骤5：关键点与收敛性说明 可行性保持 ：由于我们投影到线性化约束集 \(\tilde{\mathcal{X}}_ k\)，而 \(x^k\) 本身满足线性化约束（因为 \(c_ i(x^k)+0 \leq 0\)），所以投影点 \(z^k \in \tilde{\mathcal{X}}_ k\)。但线性化约束只是原约束的近似，所以 \(z^k\) 不一定满足原约束 \(c_ i(z^k) \leq 0\)。不过，由于我们采用回溯线搜索，并且通常要求试验点 \(x^k + \beta^m d^k\) 满足原约束（或通过添加松弛暂时允许轻微不可行），最终迭代点会逐渐回到可行域或在其边界附近。这就是“近似投影”的思想。 处理非光滑 ：通过使用次梯度（或近似梯度）\(g^k\) 代替梯度，算法能处理目标函数的非光滑性。但注意，非光滑点的次梯度选择不唯一，可能影响收敛路径。 自适应步长 ：BB步长提供了曲率信息，能加速收敛；回溯线搜索确保了充分下降，这对非光滑问题的收敛至关重要。 收敛性 ：在目标函数 \(f\) 是 局部Lipschitz 且 下半连续 ，可行域 \(\mathcal{X}\) 是 闭集 的较温和条件下，可以证明算法产生的序列的任何极限点都是 Clarke静止点 （即 \(0 \in \partial_ C f(x^ ) + N_ \mathcal{X}(x^ )\)，其中 \(N_ \mathcal{X}\) 是可行域的常规法锥）。但全局收敛到全局最优解不能保证，因为问题是非凸的。 总结 ：本题的算法是梯度投影法的一个进阶变体，通过结合 次梯度 处理非光滑， 序列线性化 处理非凸约束，以及 BB步长+回溯搜索 实现自适应步长，从而能够处理一类较复杂的非光滑非凸约束优化问题。其核心思想是将复杂问题在每一步简化成一个易处理的子问题（QP），并保证迭代的可行性与下降性。