基于核方法的局部线性嵌入（Kernel Locally Linear Embedding, KLLE）的原理与实现过程
字数 5389 2025-12-16 19:45:35

基于核方法的局部线性嵌入（Kernel Locally Linear Embedding, KLLE）的原理与实现过程

1. 题目描述

局部线性嵌入（LLE）是一种经典的非线性降维方法，其核心思想是假设数据在高维空间中局部呈线性，并试图在低维嵌入中保持这种局部线性重构关系。然而，标准LLE依赖于欧氏距离的线性重构，在处理某些复杂非线性结构时可能受限。基于核方法的局部线性嵌入（KLLE） 通过引入核技巧，将原始数据隐式映射到一个高维（甚至无限维）的特征空间，并在该特征空间中执行LLE算法，从而增强了模型对更复杂非线性流形的表达能力。本题将详细讲解KLLE算法的动机、核技巧的引入、目标函数的构建，以及求解低维嵌入的完整计算过程。

2. 背景与动机：标准LLE的局限性

首先，快速回顾标准LLE的三个核心步骤：

  1. 寻找近邻：为每个高维数据点 \(\mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^D\) 找到其 \(k\) 个最近邻（通常基于欧氏距离）。
  2. 计算局部重构权重：为每个点 \(\mathbf{x}_i\) 计算一组权重 \(W_{ij}\)，使得其能用其 \(k\) 个近邻的线性组合来最佳重构，即最小化重构误差：

\[ \min_{\mathbf{W}} \sum_{i=1}^{N} \|\mathbf{x}_i - \sum_{j \in \mathcal{N}(i)} W_{ij} \mathbf{x}_j \|^2, \quad \text{s.t.} \sum_{j} W_{ij} = 1 \]

  1. 计算低维嵌入：在低维空间（\(\mathbb{R}^d, d \ll D\)）中寻找点 \(\mathbf{y}_i\)，使其保持相同的局部重构权重，即最小化：

\[ \min_{\mathbf{Y}} \sum_{i=1}^{N} \|\mathbf{y}_i - \sum_{j \in \mathcal{N}(i)} W_{ij} \mathbf{y}_j \|^2 \]

局限性：标准LLE的“局部线性”假设依赖于原始空间中的欧氏距离。当数据的非线性结构非常复杂（例如，存在高度扭曲或交叉的流形）时，原始空间中的欧氏距离可能无法准确反映流形上的测地线距离（即沿着流形表面的最短路径）。这可能导致近邻选择不准确，从而破坏局部线性假设。

KLLE的动机：通过一个非线性映射 \(\phi: \mathbb{R}^D \to \mathcal{H}\) 将数据映射到一个高维（可能是无限维）的再生核希尔伯特空间（RKHS）\(\mathcal{H}\)。在 \(\mathcal{H}\) 中，数据点之间的内积可以通过一个核函数 \(k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \langle \phi(\mathbf{x}_i), \phi(\mathbf{x}_j) \rangle_{\mathcal{H}}\) 计算。在这个高维特征空间中，数据可能呈现出更清晰的线性结构，使得在 \(\mathcal{H}\) 中执行LLE能更好地捕捉原始空间中复杂的非线性关系。

3. KLLE算法的核心步骤

KLLE的主要思想是：在特征空间 \(\mathcal{H}\) 中执行LLE。我们无需显式知道映射 \(\phi\)，只需通过核函数 \(k(\cdot, \cdot)\) 计算内积。

假设我们有 \(N\) 个数据点 \(\{\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_N\}\)，核函数 \(k\)，对应的核矩阵为 \(K\)，其中 \(K_{ij} = k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)\)。

步骤1：在特征空间中寻找近邻

  • 在特征空间 \(\mathcal{H}\) 中，两点 \(\phi(\mathbf{x}_i)\) 和 \(\phi(\mathbf{x}_j)\) 之间的距离为：

\[ d_{\mathcal{H}}(i,j)^2 = \|\phi(\mathbf{x}_i) - \phi(\mathbf{x}_j)\|_{\mathcal{H}}^2 = k_{ii} + k_{jj} - 2k_{ij} \]

  • 利用此距离公式，为每个点 \(\phi(\mathbf{x}_i)\) 计算其与所有其他点的距离，并选择距离最小的 \(k\) 个点作为其近邻 \(\mathcal{N}(i)\)。这通常能比原始空间中的欧氏距离更好地反映流形上的几何关系。

步骤2：在特征空间中计算局部重构权重

目标：在特征空间 \(\mathcal{H}\) 中，用近邻线性重构 \(\phi(\mathbf{x}_i)\)。

  • 对于点 \(\phi(\mathbf{x}_i)\)，其重构误差为：

\[ \epsilon_i = \left\| \phi(\mathbf{x}_i) - \sum_{j \in \mathcal{N}(i)} W_{ij} \phi(\mathbf{x}_j) \right\|_{\mathcal{H}}^2 \]

  • 展开此范数的平方：

\[ \epsilon_i = k_{ii} - 2 \sum_{j \in \mathcal{N}(i)} W_{ij} k_{ij} + \sum_{j,l \in \mathcal{N}(i)} W_{ij} W_{il} k_{jl} \]

  • 在约束条件 \(\sum_{j \in \mathcal{N}(i)} W_{ij} = 1\) 下最小化 \(\epsilon_i\)。引入拉格朗日乘子法，求解得到权重 \(W_{ij}\) 的封闭解。构造拉格朗日函数：

\[ \mathcal{L} = \epsilon_i + \lambda ( \sum_{j} W_{ij} - 1 ) \]

  • 对 \(W_{ij}\) 求导并令导数为零，结合约束条件，可以得到线性方程组。令 \(\mathbf{w}_i\) 为点 \(i\) 的权重向量（仅包含其近邻对应的权重），\(\mathbf{k}_i\) 为向量，其元素为 \(k_{ij}\)（\(j \in \mathcal{N}(i)\)），\(C_i\) 为局部核矩阵，其元素为 \(C_{jl}^{(i)} = k_{jl}\)（\(j,l \in \mathcal{N}(i)\)）。则最优权重由下式给出：

\[ \mathbf{w}_i = \frac{C_i^{-1} \mathbf{1}}{\mathbf{1}^T C_i^{-1} \mathbf{1}} \]

其中 \(\mathbf{1}\) 是全1向量。这里要求 \(C_i\) 可逆（通常需加入一个小的正则项 \(\eta I\) 保证数值稳定）。

关键：我们只使用了核矩阵 \(K\) 中的元素来计算权重 \(W\)，无需知道 \(\phi\) 的具体形式。

步骤3：在特征空间中计算低维嵌入

目标：在低维空间 \(\mathbb{R}^d\) 中寻找点 \(\mathbf{y}_i\)，使得它们之间的几何关系能保持特征空间 \(\mathcal{H}\) 中由权重 \(W\) 确定的局部线性结构。

  • 最小化嵌入代价函数：

\[ \Phi(\mathbf{Y}) = \sum_{i=1}^{N} \left\| \mathbf{y}_i - \sum_{j \in \mathcal{N}(i)} W_{ij} \mathbf{y}_j \right\|^2 \]

注意，这里的权重 \(W_{ij}\) 是在步骤2中从特征空间计算得到的。

  • 可以证明，这个优化问题的解对应于一个稀疏矩阵的特征向量问题。定义重构权重矩阵 \(\mathbf{W}\)（\(N \times N\)），其元素 \(W_{ij}\) 在 \(j\) 是 \(i\) 的近邻时非零，否则为0。定义矩阵 \(\mathbf{M} = (\mathbf{I} - \mathbf{W})^T (\mathbf{I} - \mathbf{W})\)。
  • 嵌入代价可重写为：

\[ \Phi(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}(\mathbf{Y}^T \mathbf{M} \mathbf{Y}) \]

其中 \(\mathbf{Y} = [\mathbf{y}_1, \dots, \mathbf{y}_N]^T \in \mathbb{R}^{N \times d}\) 是低维嵌入坐标矩阵。

  • 为了得到唯一解并避免退化（如所有点缩到原点），我们施加约束：\(\mathbf{Y}^T \mathbf{Y} = \mathbf{I}_d\)（中心化和归一化，即嵌入坐标的协方差矩阵为单位阵）。
  • 在此约束下，最小化 \(\operatorname{tr}(\mathbf{Y}^T \mathbf{M} \mathbf{Y})\) 等价于求解矩阵 \(\mathbf{M}\) 的 d+1 个最小特征值对应的特征向量，并丢弃最小的那个特征值（通常接近0，对应于平移自由度，即全1向量）。取第2到第d+1小的特征值对应的特征向量，按行排列即得到低维嵌入 \(\mathbf{Y}\)。

4. 算法总结与实现要点

  1. 输入：高维数据点 \(\{\mathbf{x}_i\}_{i=1}^N\)，近邻数 \(k\)，目标维度 \(d\)，核函数 \(k(\cdot, \cdot)\)（如高斯核 \(k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp(-\gamma \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2)\)）。
  2. 计算核矩阵：\(K \in \mathbb{R}^{N \times N}\)，其中 \(K_{ij} = k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)\)。
  3. 特征空间近邻选择：对每个点 \(i\)，计算 \(d_{\mathcal{H}}(i,j)^2 = K_{ii} + K_{jj} - 2K_{ij}\)，找出最小的 \(k\) 个 \(j\) 作为近邻集 \(\mathcal{N}(i)\)。
  4. 计算重构权重：
    • 对每个点 \(i\)，构建其局部核矩阵 \(C_i\)（\(k \times k\)），其中 \(C_{jl}^{(i)} = K_{n_j, n_l}\)，\(n_j, n_l \in \mathcal{N}(i)\)。
    • 求解 \(C_i \mathbf{w}_i = \mathbf{1}\)（或使用正则化解 \((C_i + \eta I) \mathbf{w}_i = \mathbf{1}\)），然后归一化使 \(\mathbf{1}^T \mathbf{w}_i = 1\)。
    • 将权重填入全局稀疏矩阵 \(\mathbf{W}\)。
  5. 计算低维嵌入：
    • 构造矩阵 \(\mathbf{M} = (\mathbf{I} - \mathbf{W})^T (\mathbf{I} - \mathbf{W})\)。
    • 计算 \(\mathbf{M}\) 的 d+1 个最小特征值对应的特征向量。
    • 丢弃最小的特征值对应的特征向量（通常是全1向量），取第2到第d+1小的特征值对应的特征向量，构成 \(\mathbf{Y} \in \mathbb{R}^{N \times d}\)。每一行即为一个数据点的低维坐标。

5. 与标准LLE的对比与优势

  • 核心差异：标准LLE在原始空间中使用欧氏距离选择近邻和计算线性权重；KLLE在通过核函数隐式定义的高维特征空间中进行这些操作。
  • 优势：
    • 更强的非线性表示能力：通过选择合适的核函数（如高斯核），KLLE可以处理原始空间中高度非线性的流形结构，因为特征空间可能使数据更线性可分。
    • 灵活性：核方法允许通过选择不同的核函数来适应不同类型的数据结构。
  • 代价：计算核矩阵需要 \(O(N^2)\) 的存储和计算，且特征空间中距离计算依赖于整个核矩阵，计算量通常大于标准LLE。近邻选择在特征空间中进行也需要计算所有成对距离。

总结：KLLE通过核技巧将LLE扩展到更复杂的非线性场景，它在特征空间中保持局部线性重构关系，从而可能获得比原始空间更准确的流形结构表示，是处理复杂非线性降维问题的一种有效扩展。

基于核方法的局部线性嵌入（Kernel Locally Linear Embedding, KLLE）的原理与实现过程 1. 题目描述 局部线性嵌入（LLE）是一种经典的非线性降维方法，其核心思想是假设数据在高维空间中局部呈线性，并试图在低维嵌入中保持这种局部线性重构关系。然而，标准LLE依赖于欧氏距离的线性重构，在处理某些复杂非线性结构时可能受限。 基于核方法的局部线性嵌入（KLLE） 通过引入核技巧，将原始数据隐式映射到一个高维（甚至无限维）的特征空间，并在该特征空间中执行LLE算法，从而增强了模型对更复杂非线性流形的表达能力。本题将详细讲解KLLE算法的动机、核技巧的引入、目标函数的构建，以及求解低维嵌入的完整计算过程。 2. 背景与动机：标准LLE的局限性 首先，快速回顾标准LLE的三个核心步骤： 寻找近邻 ：为每个高维数据点 \( \mathbf{x}_ i \in \mathbb{R}^D \) 找到其 \( k \) 个最近邻（通常基于欧氏距离）。 计算局部重构权重 ：为每个点 \( \mathbf{x} i \) 计算一组权重 \( W {ij} \)，使得其能用其 \( k \) 个近邻的线性组合来最佳重构，即最小化重构误差： \[ \min_ {\mathbf{W}} \sum_ {i=1}^{N} \|\mathbf{x} i - \sum {j \in \mathcal{N}(i)} W_ {ij} \mathbf{x} j \|^2, \quad \text{s.t.} \sum {j} W_ {ij} = 1 \] 计算低维嵌入 ：在低维空间（\( \mathbb{R}^d, d \ll D \)）中寻找点 \( \mathbf{y} i \)，使其保持相同的局部重构权重，即最小化： \[ \min {\mathbf{Y}} \sum_ {i=1}^{N} \|\mathbf{y} i - \sum {j \in \mathcal{N}(i)} W_ {ij} \mathbf{y}_ j \|^2 \] 局限性 ：标准LLE的“局部线性”假设依赖于原始空间中的欧氏距离。当数据的非线性结构非常复杂（例如，存在高度扭曲或交叉的流形）时，原始空间中的欧氏距离可能无法准确反映流形上的 测地线距离 （即沿着流形表面的最短路径）。这可能导致近邻选择不准确，从而破坏局部线性假设。 KLLE的动机 ：通过一个非线性映射 \( \phi: \mathbb{R}^D \to \mathcal{H} \) 将数据映射到一个高维（可能是无限维）的再生核希尔伯特空间（RKHS）\( \mathcal{H} \)。在 \( \mathcal{H} \) 中，数据点之间的内积可以通过一个核函数 \( k(\mathbf{x}_ i, \mathbf{x}_ j) = \langle \phi(\mathbf{x}_ i), \phi(\mathbf{x} j) \rangle {\mathcal{H}} \) 计算。在这个高维特征空间中，数据可能呈现出更清晰的线性结构，使得在 \( \mathcal{H} \) 中执行LLE能更好地捕捉原始空间中复杂的非线性关系。 3. KLLE算法的核心步骤 KLLE的主要思想是：在特征空间 \( \mathcal{H} \) 中执行LLE。我们 无需显式知道映射 \( \phi \) ，只需通过核函数 \( k(\cdot, \cdot) \) 计算内积。 假设我们有 \( N \) 个数据点 \( \{\mathbf{x}_ 1, \dots, \mathbf{x} N\} \)，核函数 \( k \)，对应的核矩阵为 \( K \)，其中 \( K {ij} = k(\mathbf{x}_ i, \mathbf{x}_ j) \)。 步骤1：在特征空间中寻找近邻 在特征空间 \( \mathcal{H} \) 中，两点 \( \phi(\mathbf{x} i) \) 和 \( \phi(\mathbf{x} j) \) 之间的距离为： \[ d {\mathcal{H}}(i,j)^2 = \|\phi(\mathbf{x} i) - \phi(\mathbf{x} j)\| {\mathcal{H}}^2 = k {ii} + k {jj} - 2k_ {ij} \] 利用此距离公式，为每个点 \( \phi(\mathbf{x}_ i) \) 计算其与所有其他点的距离，并选择距离最小的 \( k \) 个点作为其近邻 \( \mathcal{N}(i) \)。这通常能比原始空间中的欧氏距离更好地反映流形上的几何关系。 步骤2：在特征空间中计算局部重构权重 目标：在特征空间 \( \mathcal{H} \) 中，用近邻线性重构 \( \phi(\mathbf{x}_ i) \)。 对于点 \( \phi(\mathbf{x} i) \)，其重构误差为： \[ \epsilon_ i = \left\| \phi(\mathbf{x} i) - \sum {j \in \mathcal{N}(i)} W {ij} \phi(\mathbf{x} j) \right\| {\mathcal{H}}^2 \] 展开此范数的平方： \[ \epsilon_ i = k_ {ii} - 2 \sum_ {j \in \mathcal{N}(i)} W_ {ij} k_ {ij} + \sum_ {j,l \in \mathcal{N}(i)} W_ {ij} W_ {il} k_ {jl} \] 在约束条件 \( \sum_ {j \in \mathcal{N}(i)} W_ {ij} = 1 \) 下最小化 \( \epsilon_ i \)。引入拉格朗日乘子法，求解得到权重 \( W_ {ij} \) 的封闭解。构造拉格朗日函数： \[ \mathcal{L} = \epsilon_ i + \lambda ( \sum_ {j} W_ {ij} - 1 ) \] 对 \( W_ {ij} \) 求导并令导数为零，结合约束条件，可以得到线性方程组。令 \( \mathbf{w} i \) 为点 \( i \) 的权重向量（仅包含其近邻对应的权重），\( \mathbf{k} i \) 为向量，其元素为 \( k {ij} \)（\( j \in \mathcal{N}(i) \)），\( C_ i \) 为局部核矩阵，其元素为 \( C {jl}^{(i)} = k_ {jl} \)（\( j,l \in \mathcal{N}(i) \)）。则最优权重由下式给出： \[ \mathbf{w}_ i = \frac{C_ i^{-1} \mathbf{1}}{\mathbf{1}^T C_ i^{-1} \mathbf{1}} \] 其中 \( \mathbf{1} \) 是全1向量。这里要求 \( C_ i \) 可逆（通常需加入一个小的正则项 \( \eta I \) 保证数值稳定）。 关键 ：我们只使用了核矩阵 \( K \) 中的元素来计算权重 \( W \)， 无需知道 \( \phi \) 的具体形式 。 步骤3：在特征空间中计算低维嵌入 目标：在低维空间 \( \mathbb{R}^d \) 中寻找点 \( \mathbf{y}_ i \)，使得它们之间的几何关系能保持特征空间 \( \mathcal{H} \) 中由权重 \( W \) 确定的局部线性结构。 最小化嵌入代价函数： \[ \Phi(\mathbf{Y}) = \sum_ {i=1}^{N} \left\| \mathbf{y} i - \sum {j \in \mathcal{N}(i)} W_ {ij} \mathbf{y} j \right\|^2 \] 注意，这里的权重 \( W {ij} \) 是在步骤2中从特征空间计算得到的。 可以证明，这个优化问题的解对应于一个稀疏矩阵的特征向量问题。定义重构权重矩阵 \( \mathbf{W} \)（\( N \times N \)），其元素 \( W_ {ij} \) 在 \( j \) 是 \( i \) 的近邻时非零，否则为0。定义矩阵 \( \mathbf{M} = (\mathbf{I} - \mathbf{W})^T (\mathbf{I} - \mathbf{W}) \)。 嵌入代价可重写为： \[ \Phi(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}(\mathbf{Y}^T \mathbf{M} \mathbf{Y}) \] 其中 \( \mathbf{Y} = [ \mathbf{y}_ 1, \dots, \mathbf{y}_ N ]^T \in \mathbb{R}^{N \times d} \) 是低维嵌入坐标矩阵。 为了得到唯一解并避免退化（如所有点缩到原点），我们施加约束：\( \mathbf{Y}^T \mathbf{Y} = \mathbf{I}_ d \)（中心化和归一化，即嵌入坐标的协方差矩阵为单位阵）。 在此约束下，最小化 \( \operatorname{tr}(\mathbf{Y}^T \mathbf{M} \mathbf{Y}) \) 等价于求解矩阵 \( \mathbf{M} \) 的 d+1 个最小特征值对应的特征向量 ，并丢弃最小的那个特征值（通常接近0，对应于平移自由度，即全1向量）。取第2到第d+1小的特征值对应的特征向量，按行排列即得到低维嵌入 \( \mathbf{Y} \)。 4. 算法总结与实现要点 输入 ：高维数据点 \( \{\mathbf{x} i\} {i=1}^N \)，近邻数 \( k \)，目标维度 \( d \)，核函数 \( k(\cdot, \cdot) \)（如高斯核 \( k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp(-\gamma \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2) \)）。 计算核矩阵 ：\( K \in \mathbb{R}^{N \times N} \)，其中 \( K_ {ij} = k(\mathbf{x}_ i, \mathbf{x}_ j) \)。 特征空间近邻选择 ：对每个点 \( i \)，计算 \( d_ {\mathcal{H}}(i,j)^2 = K_ {ii} + K_ {jj} - 2K_ {ij} \)，找出最小的 \( k \) 个 \( j \) 作为近邻集 \( \mathcal{N}(i) \)。 计算重构权重 ： 对每个点 \( i \)，构建其局部核矩阵 \( C_ i \)（\( k \times k \)），其中 \( C_ {jl}^{(i)} = K_ {n_ j, n_ l} \)，\( n_ j, n_ l \in \mathcal{N}(i) \)。 求解 \( C_ i \mathbf{w}_ i = \mathbf{1} \)（或使用正则化解 \( (C_ i + \eta I) \mathbf{w}_ i = \mathbf{1} \)），然后归一化使 \( \mathbf{1}^T \mathbf{w}_ i = 1 \)。 将权重填入全局稀疏矩阵 \( \mathbf{W} \)。 计算低维嵌入 ： 构造矩阵 \( \mathbf{M} = (\mathbf{I} - \mathbf{W})^T (\mathbf{I} - \mathbf{W}) \)。 计算 \( \mathbf{M} \) 的 d+1 个最小特征值对应的特征向量 。 丢弃最小的特征值对应的特征向量（通常是全1向量），取第2到第d+1小的特征值对应的特征向量，构成 \( \mathbf{Y} \in \mathbb{R}^{N \times d} \)。每一行即为一个数据点的低维坐标。 5. 与标准LLE的对比与优势 核心差异 ：标准LLE在原始空间中使用欧氏距离选择近邻和计算线性权重；KLLE在通过核函数隐式定义的高维特征空间中进行这些操作。 优势 ： 更强的非线性表示能力 ：通过选择合适的核函数（如高斯核），KLLE可以处理原始空间中高度非线性的流形结构，因为特征空间可能使数据更线性可分。 灵活性 ：核方法允许通过选择不同的核函数来适应不同类型的数据结构。 代价 ：计算核矩阵需要 \( O(N^2) \) 的存储和计算，且特征空间中距离计算依赖于整个核矩阵，计算量通常大于标准LLE。近邻选择在特征空间中进行也需要计算所有成对距离。 总结 ：KLLE通过核技巧将LLE扩展到更复杂的非线性场景，它在特征空间中保持局部线性重构关系，从而可能获得比原始空间更准确的流形结构表示，是处理复杂非线性降维问题的一种有效扩展。