基于线性规划的图最小k-边连通子图问题的整数规划建模与分支切割法求解示例
字数 4881 2025-12-16 18:31:49

基于线性规划的图最小k-边连通子图问题的整数规划建模与分支切割法求解示例

1. 问题描述

我们考虑一个经典的网络增强/设计问题：给定一个无向图 \(G = (V, E)\)，每条边 \(e \in E\) 有一个非负的建设成本 \(c(e)\)。目标是选择一个边子集 \(F \subseteq E\)，使得加入这些边后，图 \(G' = (V, E \cup F)\) 是 k-边连通的（即移除任意 \(k-1\) 条边后，图仍然连通），并且所选边的总成本 \(\sum_{e \in F} c(e)\) 最小。

应用场景：

  • 通信网络设计：确保网络在若干条线路（边）故障时仍然连通。
  • 交通网络规划：保证关键道路在部分路段损坏时，所有区域仍可到达。
  • 电力网络：提高电网的鲁棒性，防止局部故障导致大面积停电。

问题挑战：
这是一个NP-hard的组合优化问题。我们需要将其建模为一个整数线性规划（ILP），并利用线性规划松弛和分支切割法来求解。

2. 图论预备知识

  • 边连通度：一个图是 k-边连通的，当且仅当任意两个顶点之间至少有 k 条边不交的路径（由Menger定理等价于：移除任意少于 k 条边，图仍然连通）。
  • 割（Cut）：对于顶点集的非空真子集 \(S \subset V\)，割 \((S, V\setminus S)\) 是连接 S 和其补集的所有边的集合。割的大小 \(|δ(S)|\) 是该割包含的边数。
  • k-边连通条件：一个无向图是 k-边连通的 当且仅当 对每个非空真子集 \(S \subset V\)，割的大小至少为 k，即 \(|δ(S)| \ge k\)。

3. 整数线性规划（ILP）建模

我们为原图的每条边 e 引入一个二元决策变量 \(x_e\)：

\[x_e = \begin{cases} 1, & \text{如果边 } e \text{ 被选入增强集合 } F \\ 0, & \text{否则} \end{cases} \]

注意：原图的边是存在的，但可能不满足 k-边连通。我们是在现有边的基础上，再选择一些额外的边加入。为了建模方便，我们可以将原图视为所有边都存在，但有些边的“状态”可以改变。更准确地说，我们可以将所有边 E 视为候选，但有些边（如已存在的）成本为0，而有些边（如不存在的）成本为正，但我们可以允许选择不存在的边（对应建设新边）。然而，在标准模型中，我们只考虑增强已有的边集，即只能选择 E 中的边（可能已存在或可新建），但这里为简化，假设 E 包含所有可能建设的边，已存在的边成本为0，可新建的边成本为正。

目标：最小化总成本

\[\min \sum_{e \in E} c(e) x_e \]

约束条件：
对于每个非空真子集 \(S \subset V\)，在增强后的图中，割 \((S, V\setminus S)\) 中的边数（包括原有的和新增的）必须至少为 k。设 \(A(S)\) 表示在原图中，割 \((S, V\setminus S)\) 中已经存在的边的集合。我们需要保证最终这个割中的总边数 ≥ k。但注意，已存在的边是自动包含的，而新增的边由 \(x_e\) 决定。因此，对于割 \((S, V\setminus S)\)，已有的边数为 \(|A(S)|\)，新增的边来自割中那些原本不在图里但我们可以建设的边（其 \(x_e=1\) 表示加入）。实际上，更清晰的建模是：设 \(y_e\) 表示边 e 在最终图中是否存在（1 存在，0 不存在），则原图已有边对应 \(y_e=1\) 固定。但这样不如直接对可建设的边建模。

标准建模（增量增强）：
设 \(E_0 \subset E\) 是原图已存在的边（成本为0），\(E^+ = E \setminus E_0\) 是可新建的边（成本 \(c(e) > 0\)）。令 \(x_e \in \{0,1\}\) 表示是否建设边 \(e \in E^+\)（对于 \(e \in E_0\)，自动存在，不需决策）。则最终图中，边 e 的存在状态为：

\[z_e = \begin{cases} 1, & e \in E_0 \\ x_e, & e \in E^+ \end{cases} \]

则 k-边连通条件为：对每个非空真子集 \(S \subset V\)，

\[\sum_{e \in δ(S) \cap E_0} 1 + \sum_{e \in δ(S) \cap E^+} x_e \ge k \]

其中 \(δ(S)\) 是割边集。等价地：

\[\sum_{e \in δ(S) \cap E^+} x_e \ge k - |δ(S) \cap E_0|, \quad \forall S \subset V, S \neq \emptyset, V \]

记 \(b(S) = k - |δ(S) \cap E_0|\)，它可能为负数（若原割已至少有 k 条边，则不需增强），此时约束自动满足。我们只需考虑 \(b(S) > 0\) 的那些 S。

于是得到 ILP 模型：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in E^+} c(e) x_e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in δ(S) \cap E^+} x_e \ge b(S), \quad \forall S \subset V, 0<|S|<|V|, b(S) > 0 \\ & x_e \in \{0,1\}, \quad \forall e \in E^+ \end{aligned} \]

4. 求解挑战与分支切割法框架

模型中有指数级数量的割集约束（共 \(2^{|V|}-2\) 个），无法直接列出。我们需要采用分支切割法（Branch-and-Cut）：

  1. 初始线性规划松弛：从少数约束（或没有）开始，求解线性规划松弛（允许 \(0 \le x_e \le 1\)）。
  2. 割平面（Cutting Planes）：在松弛解不满足整数性时，检查它是否违反了某些未加入的割集约束。如果违反，则添加相应的约束（割平面）到 LP 中，重新求解。重复直到没有可添加的割平面（或到达一定次数）。
  3. 分支定界（Branch-and-Bound）：如果解仍有分数变量，则选择一个分数变量进行分支（分为 \(x_e=0\) 和 \(x_e=1\) 两个子问题），在每个子节点上继续割平面过程，直到找到整数最优解。

5. 割平面生成：最小割分离问题

关键步骤：给定一个分数解 \(x^*\)，我们需要判断是否存在一个集合 \(S\) 使得

\[\sum_{e \in δ(S) \cap E^+} x_e^* < b(S) \]

即

\[\sum_{e \in δ(S) \cap E^+} x_e^* + |δ(S) \cap E_0| < k \]

记 \(w_e = x_e^*\) 对 \(e \in E^+\)，对 \(e \in E_0\) 令 \(w_e = 1\)（因为已存在边总是贡献1）。则条件变为：

\[\sum_{e \in δ(S)} w_e < k \]

这里 \(w_e \in [0,1]\) 是已知值。问题转化为：是否存在一个割 \(δ(S)\) 使得其总权重小于 k？

这是一个经典的最小割问题：我们可以在一个无向图上，边权为 \(w_e\)，寻找最小权割。如果最小割的值 \(< k\)，则对应的集合 S 就给出了一个 violated constraint（违反约束）。最小割可以用 Stoer-Wagner 算法（全局最小割）在多项式时间求解。

步骤：

  1. 用当前 LP 松弛解 \(x^*\) 构造边权：对 \(e \in E^+\)，权为 \(x_e^*\)；对 \(e \in E_0\)，权为1。
  2. 计算全局最小割的值 \(λ\) 和对应的割 \((S, V\setminus S)\)。
  3. 如果 \(λ < k\)，则添加约束 \(\sum_{e \in δ(S) \cap E^+} x_e \ge k - |δ(S) \cap E_0|\) 到 LP 中。
  4. 重复直到最小割值 \(λ \ge k\)（即没有违反约束）。

6. 分支切割法完整流程

  1. 初始化：构建初始 LP 松弛，只包含变量界 \(0 \le x_e \le 1\)，也可以加入一些明显的约束（如对单点集 S={v} 的约束，即该点度数至少为 k）。
  2. 循环（每个节点）：
    a. 求解当前 LP 松弛，得到最优解 \(x^*\)。
    b. 如果 \(x^*\) 是整数，则更新当前最优整数解（如果更优），回溯。
    c. 否则，运行最小割分离程序，寻找 violated 割集约束。若找到，添加到 LP，返回步骤 a。
    d. 若没有 violated 约束，但解仍有分数，则进行分支：选择一个分数变量 \(x_e\)，创建两个子节点，分别固定 \(x_e=0\) 和 \(x_e=1\)。
  3. 回溯搜索：用分支定界框架探索所有节点，剪枝下界超过当前最优整数解的节点。

7. 示例

考虑一个简单图：V={1,2,3,4}，E0 为初始边：{(1,2), (2,3), (3,4), (4,1)}（一个4环）。可新建边 E^+：{(1,3), (2,4)}，成本均为1。要求 k=3（即3-边连通）。

初始图最小割为2（每条割最多2条边）。我们需要增加边使每个割至少3条边。

初始 LP：只包含变量界 0≤x13≤1, 0≤x24≤1。
目标：min x13 + x24。

第一次分离：当前解（如初始无约束）可能为 (0,0)，对应边权：原边权=1，新边权=0。计算最小割：任意割，例如 S={1}，割边为 (1,2),(1,4)，总权=1+1=2<k=3。添加约束：对 S={1}，b(S)=3-2=1，约束为 \(x13 + x24 ≥ 1\)（因为边(1,3)和(2,4)都与 S={1} 相邻？注意：δ({1}) ∩ E^+ 是 {(1,3)}，不是 {(1,3),(2,4)}。所以是 \(x13 ≥ 1\)。但等等，需要仔细计算：

对 S={1}，δ(S) 包含边 (1,2)∈E0, (1,4)∈E0, (1,3)∈E^+。所以 |δ(S)∩E0|=2，b(S)=3-2=1。约束为：x13 ≥ 1。同理对每个单点。

添加四个单点约束后，LP 解为 x13=1, x24=0 或对称，目标值=1。

第二次分离：解 x13=1, x24=0，边权：原边=1，新边(1,3)=1，(2,4)=0。计算最小割：考虑 S={1,2}，割边为 (1,4), (2,3), (1,3)，总权=1+1+1=3，满足。但检查 S={1,3}？割边为 (1,2),(1,4),(2,3),(3,4)，权=4。最小割值=3，等于k，无违反。

整数解：得到整数解 x13=1, x24=0（或对称），目标值=1。可以验证这是最优的：增强一条边(1,3)后，图变成完全图去掉(2,4)，每个割至少3条边。

8. 算法总结

  • 该问题通过整数规划建模，利用割集约束保证连通度。
  • 由于约束指数多，采用分支切割法，在松弛解中通过求解最小割问题来动态添加必要的约束。
  • 该方法可求得精确最优解，但计算时间随图规模增长，实际中可结合启发式获得近似解。

这个例子展示了如何将图论中的边连通度增强问题转化为整数规划，并利用组合优化中的经典技巧（最小割分离）进行精确求解。

基于线性规划的图最小k-边连通子图问题的整数规划建模与分支切割法求解示例 1. 问题描述 我们考虑一个经典的 网络增强/设计问题 ：给定一个无向图 \(G = (V, E)\)，每条边 \(e \in E\) 有一个非负的建设成本 \(c(e)\)。目标是选择一个边子集 \(F \subseteq E\)，使得加入这些边后，图 \(G' = (V, E \cup F)\) 是 k-边连通的 （即移除任意 \(k-1\) 条边后，图仍然连通），并且所选边的总成本 \(\sum_ {e \in F} c(e)\) 最小。 应用场景 ： 通信网络设计：确保网络在若干条线路（边）故障时仍然连通。 交通网络规划：保证关键道路在部分路段损坏时，所有区域仍可到达。 电力网络：提高电网的鲁棒性，防止局部故障导致大面积停电。 问题挑战 ： 这是一个NP-hard的组合优化问题。我们需要将其建模为一个整数线性规划（ILP），并利用线性规划松弛和分支切割法来求解。 2. 图论预备知识 边连通度 ：一个图是 k-边连通的 ，当且仅当任意两个顶点之间至少有 k 条边不交的路径（由Menger定理等价于：移除任意少于 k 条边，图仍然连通）。 割（Cut） ：对于顶点集的非空真子集 \(S \subset V\)，割 \((S, V\setminus S)\) 是连接 S 和其补集的所有边的集合。割的大小 \(|δ(S)|\) 是该割包含的边数。 k-边连通条件 ：一个无向图是 k-边连通的 当且仅当 对每个非空真子集 \(S \subset V\)，割的大小至少为 k，即 \(|δ(S)| \ge k\)。 3. 整数线性规划（ILP）建模 我们为原图的每条边 e 引入一个 二元决策变量 \(x_ e\)： \[ x_ e = \begin{cases} 1, & \text{如果边 } e \text{ 被选入增强集合 } F \\ 0, & \text{否则} \end{cases} \] 注意：原图的边是存在的，但可能不满足 k-边连通。我们是在 现有边的基础上，再选择一些额外的边 加入。为了建模方便，我们可以 将原图视为所有边都存在，但有些边的“状态”可以改变 。更准确地说，我们可以将所有边 E 视为候选，但有些边（如已存在的）成本为0，而有些边（如不存在的）成本为正，但我们可以允许选择不存在的边（对应建设新边）。然而，在标准模型中，我们 只考虑增强已有的边集 ，即只能选择 E 中的边（可能已存在或可新建），但这里为简化，假设 E 包含所有可能建设的边，已存在的边成本为0，可新建的边成本为正。 目标 ：最小化总成本 \[ \min \sum_ {e \in E} c(e) x_ e \] 约束条件 ： 对于每个非空真子集 \(S \subset V\)，在增强后的图中，割 \((S, V\setminus S)\) 中的边数（包括原有的和新增的）必须至少为 k。设 \(A(S)\) 表示在 原图 中，割 \((S, V\setminus S)\) 中 已经存在的边 的集合。我们需要保证最终这个割中的总边数 ≥ k。但注意， 已存在的边是自动包含的 ，而新增的边由 \(x_ e\) 决定。因此，对于割 \((S, V\setminus S)\)， 已有的边数 为 \(|A(S)|\)， 新增的边 来自割中那些原本不在图里但我们可以建设的边（其 \(x_ e=1\) 表示加入）。实际上，更清晰的建模是：设 \(y_ e\) 表示边 e 在最终图中是否存在（1 存在，0 不存在），则原图已有边对应 \(y_ e=1\) 固定。但这样不如直接对可建设的边建模。 标准建模（增量增强） ： 设 \(E_ 0 \subset E\) 是原图已存在的边（成本为0），\(E^+ = E \setminus E_ 0\) 是可新建的边（成本 \(c(e) > 0\)）。令 \(x_ e \in \{0,1\}\) 表示是否建设边 \(e \in E^+\)（对于 \(e \in E_ 0\)，自动存在，不需决策）。则最终图中，边 e 的存在状态为： \[ z_ e = \begin{cases} 1, & e \in E_ 0 \\ x_ e, & e \in E^+ \end{cases} \] 则 k-边连通条件为：对每个非空真子集 \(S \subset V\)， \[ \sum_ {e \in δ(S) \cap E_ 0} 1 + \sum_ {e \in δ(S) \cap E^+} x_ e \ge k \] 其中 \(δ(S)\) 是割边集。等价地： \[ \sum_ {e \in δ(S) \cap E^+} x_ e \ge k - |δ(S) \cap E_ 0|, \quad \forall S \subset V, S \neq \emptyset, V \] 记 \(b(S) = k - |δ(S) \cap E_ 0|\)，它可能为负数（若原割已至少有 k 条边，则不需增强），此时约束自动满足。我们只需考虑 \(b(S) > 0\) 的那些 S。 于是得到 ILP 模型 ： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {e \in E^+} c(e) x_ e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {e \in δ(S) \cap E^+} x_ e \ge b(S), \quad \forall S \subset V, 0<|S| <|V|, b(S) > 0 \\ & x_ e \in \{0,1\}, \quad \forall e \in E^+ \end{aligned} \] 4. 求解挑战与分支切割法框架 模型中有指数级数量的割集约束（共 \(2^{|V|}-2\) 个），无法直接列出。我们需要采用 分支切割法 （Branch-and-Cut）： 初始线性规划松弛 ：从少数约束（或没有）开始，求解线性规划松弛（允许 \(0 \le x_ e \le 1\)）。 割平面（Cutting Planes） ：在松弛解不满足整数性时，检查它是否违反了某些未加入的割集约束。如果违反，则添加相应的约束（割平面）到 LP 中，重新求解。重复直到没有可添加的割平面（或到达一定次数）。 分支定界（Branch-and-Bound） ：如果解仍有分数变量，则选择一个分数变量进行分支（分为 \(x_ e=0\) 和 \(x_ e=1\) 两个子问题），在每个子节点上继续割平面过程，直到找到整数最优解。 5. 割平面生成：最小割分离问题 关键步骤：给定一个分数解 \(x^ \)，我们需要判断是否存在一个集合 \(S\) 使得 \[ \sum_ {e \in δ(S) \cap E^+} x_ e^ < b(S) \] 即 \[ \sum_ {e \in δ(S) \cap E^+} x_ e^* + |δ(S) \cap E_ 0| < k \] 记 \(w_ e = x_ e^* \) 对 \(e \in E^+\)，对 \(e \in E_ 0\) 令 \(w_ e = 1\)（因为已存在边总是贡献1）。则条件变为： \[ \sum_ {e \in δ(S)} w_ e < k \] 这里 \(w_ e \in [ 0,1 ]\) 是已知值。问题转化为：是否存在一个割 \(δ(S)\) 使得其总权重小于 k？ 这是一个经典的 最小割问题 ：我们可以在一个无向图上，边权为 \(w_ e\)，寻找最小权割。如果最小割的值 \( < k\)，则对应的集合 S 就给出了一个 violated constraint（违反约束）。最小割可以用 Stoer-Wagner 算法（全局最小割）在多项式时间求解。 步骤 ： 用当前 LP 松弛解 \(x^ \) 构造边权：对 \(e \in E^+\)，权为 \(x_ e^ \)；对 \(e \in E_ 0\)，权为1。 计算全局最小割的值 \(λ\) 和对应的割 \((S, V\setminus S)\)。 如果 \(λ < k\)，则添加约束 \(\sum_ {e \in δ(S) \cap E^+} x_ e \ge k - |δ(S) \cap E_ 0|\) 到 LP 中。 重复直到最小割值 \(λ \ge k\)（即没有违反约束）。 6. 分支切割法完整流程 初始化 ：构建初始 LP 松弛，只包含变量界 \(0 \le x_ e \le 1\)，也可以加入一些明显的约束（如对单点集 S={v} 的约束，即该点度数至少为 k）。 循环（每个节点） ： a. 求解当前 LP 松弛，得到最优解 \(x^ \)。 b. 如果 \(x^ \) 是整数，则更新当前最优整数解（如果更优），回溯。 c. 否则，运行最小割分离程序，寻找 violated 割集约束。若找到，添加到 LP，返回步骤 a。 d. 若没有 violated 约束，但解仍有分数，则进行分支：选择一个分数变量 \(x_ e\)，创建两个子节点，分别固定 \(x_ e=0\) 和 \(x_ e=1\)。 回溯搜索 ：用分支定界框架探索所有节点，剪枝下界超过当前最优整数解的节点。 7. 示例 考虑一个简单图：V={1,2,3,4}，E0 为初始边：{(1,2), (2,3), (3,4), (4,1)}（一个4环）。可新建边 E^+：{(1,3), (2,4)}，成本均为1。要求 k=3（即3-边连通）。 初始图最小割为2（每条割最多2条边）。我们需要增加边使每个割至少3条边。 初始 LP ：只包含变量界 0≤x13≤1, 0≤x24≤1。 目标：min x13 + x24。 第一次分离 ：当前解（如初始无约束）可能为 (0,0)，对应边权：原边权=1，新边权=0。计算最小割：任意割，例如 S={1}，割边为 (1,2),(1,4)，总权=1+1=2 <k=3。添加约束：对 S={1}，b(S)=3-2=1，约束为 \(x13 + x24 ≥ 1\)（因为边(1,3)和(2,4)都与 S={1} 相邻？注意：δ({1}) ∩ E^+ 是 {(1,3)}，不是 {(1,3),(2,4)}。所以是 \(x13 ≥ 1\)。但等等，需要仔细计算： 对 S={1}，δ(S) 包含边 (1,2)∈E0, (1,4)∈E0, (1,3)∈E^+。所以 |δ(S)∩E0|=2，b(S)=3-2=1。约束为：x13 ≥ 1。同理对每个单点。 添加四个单点约束后，LP 解为 x13=1, x24=0 或对称，目标值=1。 第二次分离 ：解 x13=1, x24=0，边权：原边=1，新边(1,3)=1，(2,4)=0。计算最小割：考虑 S={1,2}，割边为 (1,4), (2,3), (1,3)，总权=1+1+1=3，满足。但检查 S={1,3}？割边为 (1,2),(1,4),(2,3),(3,4)，权=4。最小割值=3，等于k，无违反。 整数解 ：得到整数解 x13=1, x24=0（或对称），目标值=1。可以验证这是最优的：增强一条边(1,3)后，图变成完全图去掉(2,4)，每个割至少3条边。 8. 算法总结 该问题通过整数规划建模，利用割集约束保证连通度。 由于约束指数多，采用分支切割法，在松弛解中通过求解最小割问题来动态添加必要的约束。 该方法可求得精确最优解，但计算时间随图规模增长，实际中可结合启发式获得近似解。 这个例子展示了如何将图论中的边连通度增强问题转化为整数规划，并利用组合优化中的经典技巧（最小割分离）进行精确求解。