最小生成树的唯一性判定（Uniqueness of Minimum Spanning Tree）
字数 5034 2025-12-16 17:13:15

最小生成树的唯一性判定（Uniqueness of Minimum Spanning Tree）

题目描述

给定一个带权连通无向图 \(G = (V, E, w)\)，其中 \(V\) 是顶点集，\(E\) 是边集，\(w: E \rightarrow \mathbb{R}\) 是边权函数。假设已经用 Kruskal 或 Prim 算法求出了图 \(G\) 的一棵最小生成树（MST）\(T\)。请设计一个算法，判断 \(T\) 是否是图 \(G\) 的唯一最小生成树。换句话说，是否存在另一棵不同的生成树 \(T' \neq T\)，其总权值与 \(T\) 相同。

解题过程

步骤 1：理解唯一性的关键

最小生成树的唯一性可能被破坏，当且仅当存在以下情况之一：

  1. 可替换边：在构建 MST 的过程中，当考虑某条边时，存在另一条与它权值相同且连接相同连通分量的边，可以选择其中任意一条而不会改变总权值。
  2. 等权环：图中存在一个环，环上所有边的权值都相等，且这个权值是该环上所有边中的最大权值（根据 MST 的环性质，MST 不会包含环上权值最大的边，但如果环上所有边权相等，则删除其中任意一条都会得到另一棵总权值相同的生成树）。

更形式化地说，MST 的唯一性等价于：对于图中的每一棵最小生成树，其包含的边集是相同的。这可以通过检查每条不在 MST 中的边是否能在 MST 中找到一个“对应”的等权边来判定。

步骤 2：基于 MST 切割性质和环性质的判定准则

设 \(T\) 是已知的一棵 MST。考虑以下准则：

  • 切割性质：对于图的任意一个切割（将顶点集 \(V\) 分成两个非空子集 \(S\) 和 \(V \setminus S\)），跨越这个切割的所有边中，权值最小的边（称为轻边）一定属于每一棵 MST。如果某个切割中有多条跨越边具有相同的最小权值，则这些边中的任意一条都可能被某棵 MST 包含，从而 MST 不唯一。
  • 环性质：对于图中的任意一个环，环上权值最大的边（称为重边）一定不属于任何一棵 MST。如果某个环上有多条边具有相同的最大权值，则删除其中任意一条都能得到一棵生成树，且总权值相同，因此 MST 不唯一。

因此，判定 MST 是否唯一，可以转化为检查是否存在一个切割（或等价地，一个环），使得该切割（或环）上有多条边具有相同的最小（或最大）权值，并且这些边在“属于/不属于 MST”的选择上存在歧义。

步骤 3：一个简单而高效的判定算法

这里介绍一个基于 Kruskal 算法框架的 \(O(m \log m)\) 判定算法，其中 \(m = |E|\)。这个算法不要求先求出 MST，而是可以在求 MST 的过程中同时完成唯一性判定。

算法思路：

  1. 将边按权值非递减排序。
  2. 使用 Kruskal 算法的不相交集（并查集）结构逐步处理相同权值的边。
  3. 对于每一组权值相同的边，检查这些边在当前图（考虑已加入的边构成的连通分量）中，是否存在多条边可以连接相同的两个连通分量。如果是，则 MST 不唯一。

具体步骤：

  1. 排序：将所有边按边权从小到大排序。设排序后的边列表为 \(e_1, e_2, ..., e_m\)。
  2. 初始化：初始化一个并查集（Union-Find），每个顶点自成一个集合。初始化一个布尔变量 isUnique = true，表示目前认为 MST 是唯一的。
  3. 处理每组等权边：由于边已排序，我们可以按权值分组处理。对于每一组权值相同的边 \(E_{\text{same}} = \{ e_i, e_{i+1}, ..., e_j \}\)：
    a. 首次扫描：遍历 \(E_{\text{same}}\) 中的每条边 \((u, v)\)。检查 \(u\) 和 \(v\) 在并查集中是否属于不同的集合。如果属于相同集合，说明这条边会形成环，根据 MST 性质，它一定不会被加入 MST（在 Kruskal 算法中会被跳过）。我们暂时将这些边标记为“无效”。
    b. 检查歧义：对于 \(E_{\text{same}}\) 中那些连接了两个不同集合的边（即“有效”边），我们需要检查它们连接的连通分量对是否存在重复。具体来说，我们可以为每条有效边，获取其两端点所在的集合编号（通过并查集的 Find 操作，得到代表元）。我们将这些“集合对”记录下来。关键点：如果存在两个不同的有效边，它们连接了相同的两个集合（即两个集合编号的无序对相同），那么在构建 MST 时，我们就可以从这两条（或多条）边中任选一条加入，而总权值不变。这就意味着 MST 不唯一。如果发现这种情况，将 isUnique 设为 false。
    c. 合并连通分量：在检查完歧义后，我们再将所有有效边（即连接不同集合的边）通过并查集的 Union 操作合并起来，将它们加入正在构建的 MST 中。注意，这里我们实际加入的边是我们在实现中决定选择的任意一条有效边（通常就按顺序选择第一条），但我们已经记录了是否存在选择歧义。
  4. 输出结果：处理完所有边后，如果 isUnique 为 true，则 MST 唯一；否则不唯一。

算法复杂度：排序需要 \(O(m \log m)\)，并查集操作近似为常数时间，总复杂度为 \(O(m \log m)\)。

步骤 4：算法正确性简述

该算法本质上是将 MST 的切割性质应用于 Kruskal 算法的每一步。在 Kruskal 算法处理某一固定权值的边时，当前的并查集结构定义了多个连通分量（即一个切割的集合）。权值为 \(w\) 的有效边，就是那些跨越某个切割、且权值恰好为 \(w\) 的边。根据切割性质，跨越同一个切割的所有边中，权值最小的那些（即权值为 \(w\) 的）至少需要有一条被加入 MST。如果这样的边有两条或以上，那么我们就有不止一种选择来连接这两个连通分量，从而导致 MST 不唯一。我们的算法正是检测了这种情况。

步骤 5：举例说明

考虑一个简单的图：一个三角形，三条边权值分别为 1, 1, 2。

  • 排序后边为 (权1, 边a), (权1, 边b), (权2, 边c)。
  • 处理权值为1的边组：
    • 边a连接两个独立顶点，是有效的。记录其连接集合对 (1,2)。
    • 边b连接的两个顶点，在边a加入后，可能已经属于同一个集合（如果边a恰好连接了它们），也可能边b连接了另一个不同的对。在三角形中，假设顶点为1,2,3，边a连接(1,2)，边b连接(2,3)。初始时每个顶点独立。处理边a，集合{1}和{2}不同，记录对(1,2)，并合并。现在并查集状态为{1,2}, {3}。接着处理边b，它连接顶点2（属于集合{1,2}）和3（属于集合{3}），这是不同的集合，记录对({1,2}, 3)的代表元对(1,3)。没有重复集合对，所以目前未发现歧义。然后合并边b，MST包含边a和边b。总权值为2。
  • 处理权值为2的边c：它连接顶点1和3，此时它们已在同一集合中（通过边a和b连通），所以它是无效边，跳过。
  • 最终 isUnique = true。确实，这棵 MST (由两条权1的边构成) 是唯一的。另一棵生成树（比如用边a和边c）权值为3，更大。

考虑另一个图：一个四边形（正方形），四条边权值均为 1。

  • 四条边权值相同，作为一组处理。
  • 初始四个顶点各自独立。
  • 第一条有效边（比如连接顶点1-2）被记录并合并。
  • 第二条有效边（比如连接顶点2-3）被记录并合并。注意此时它连接的集合代表元是2和3，与之前的(1,2)不同。
  • 第三条有效边（连接顶点3-4）被记录并合并。
  • 现在处理第四条边（连接顶点1-4）。此时顶点1和4属于不同的集合（分别是代表元1和4）。所以它也是有效的。关键步骤：当我们去记录这条边连接的集合对时，我们得到(1,4)。这个对之前没有出现过，所以算法会认为没有歧义，并将其合并，得到一棵生成树。
  • 但是，在这个例子中，MST 真的唯一吗？不。这个图有很多棵总权值为3的生成树（因为需要3条边连接4个顶点，且所有边权为1）。问题出在哪里？

实际上，这个例子揭示了算法描述中的一个细微之处。我们需要检查的不仅仅是“当前有效边连接的集合对是否重复”，还要考虑，当处理一组等权边时，我们是在所有有效边被加入之前检查歧义，还是之后？在上述四边形例子中，如果我们先加入边1-2, 2-3, 3-4，那么边1-4是有效的，并且它连接的集合对(1,4)是新的，所以算法会认为无歧义。但这里存在一个更隐蔽的歧义：考虑两条不同的生成树，一棵包含边{1-2, 2-3, 3-4}，另一棵包含边{1-2, 2-3, 1-4}。它们都权值相同。在构建第二棵时，当处理边1-4时，边3-4还没有被加入（因为我们是按顺序处理边的，可能先处理了1-4，后处理3-4）。所以我们需要修正算法：

修正的算法步骤：
在步骤3中，处理一组等权边 \(E_{\text{same}}\) 时：
a. 遍历所有边，找出所有连接不同连通分量的边（即有效边），将它们放入一个临时列表 candidate_edges。
b. 检查在 candidate_edges 中，是否存在两条边连接了完全相同的两个连通分量（即相同的无序集合对）。如果存在，则 MST 不唯一，设置 isUnique = false。这是因为，对于这组等权边，在连接某两个特定的连通分量时，我们有多种边可以选择。
c. 将 candidate_edges 中的所有边执行并查集的 Union 操作，将它们加入 MST（实际上，只需要加入其中任意 k 条边就能将这 k+1 个连通分量连接起来，但为了判定，我们可以全部执行Union）。

在四边形例子中，四条边都是有效的，且它们连接的初始连通分量对分别是(1,2), (2,3), (3,4), (1,4)。这里没有重复的对，所以修正后的算法也会判定为唯一？等等，依然不对。因为实际上，存在多棵 MST。我们需要考虑动态变化的连通分量。

最终的经典判定算法：
更严谨的方法是：对于每组等权边，我们考虑在加入这组边之前的图连通状态（由之前的边构成的森林）。在这组等权边中，我们只关注那些两个端点当前位于不同连通分量的边。将这些边视为一个新图的边，其顶点是当前的连通分量（即并查集的代表元）。如果在这个新图中，加入某条边会导致环（即边的两个端点已经在新图中连通），那么这条边就是“可替换”的。因为在新图（代表元图）中形成环，意味着存在多条等权边连接了相同的两个连通分量（通过不同的路径）。这可以通过在处理每组等权边时，用一个临时的小规模并查集来判断。

最终算法的简洁实现思路：

  1. 对边按权值排序。
  2. 遍历排序后的边，用指针划分出每一组等权边。
  3. 对于每组等权边：
    • 遍历组内每条边 (u, v)。用主并查集（代表整个图的 MST 构建过程）判断 u 和 v 是否已连通。如果不连通，则记录这条边是“候选边”，并获取 u 和 v 在主并查集中的代表元 fu 和 fv。
    • 初始化一个临时的、小规模的第二并查集（或者用哈希表映射代表元到新ID），其顶点是上一步中出现的所有代表元。
    • 遍历所有候选边，对于每条边获取其 fu 和 fv。在第二并查集中检查 fu 和 fv 是否已连通。如果已连通，说明在代表元构成的图中加入这条边会形成环，意味着存在歧义（因为已经有另一条等权边连接了 fu 和 fv 所在的新图连通分量），于是 MST 不唯一。如果未连通，则在第二并查集中合并 fu 和 fv。
  4. 处理完该组等权边的唯一性检查后，再将所有候选边在主并查集中执行合并操作（即将它们加入 MST）。
  5. 最终根据检查结果输出。

这个算法正确且高效，复杂度仍然是 \(O(m \log m)\)。它清晰地捕捉了“在同一权值下，连接相同两个连通分量的等权边多于一条”这一导致不唯一的本质。

最小生成树的唯一性判定（Uniqueness of Minimum Spanning Tree） 题目描述 给定一个带权连通无向图 \( G = (V, E, w) \)，其中 \( V \) 是顶点集，\( E \) 是边集，\( w: E \rightarrow \mathbb{R} \) 是边权函数。假设已经用 Kruskal 或 Prim 算法求出了图 \( G \) 的一棵最小生成树（MST）\( T \)。请设计一个算法，判断 \( T \) 是否是图 \( G \) 的唯一最小生成树。换句话说，是否存在另一棵不同的生成树 \( T' \neq T \)，其总权值与 \( T \) 相同。 解题过程 步骤 1：理解唯一性的关键 最小生成树的唯一性可能被破坏，当且仅当存在以下情况之一： 可替换边 ：在构建 MST 的过程中，当考虑某条边时，存在另一条与它权值相同且连接相同连通分量的边，可以选择其中任意一条而不会改变总权值。 等权环 ：图中存在一个环，环上所有边的权值都相等，且这个权值是该环上所有边中的最大权值（根据 MST 的环性质，MST 不会包含环上权值最大的边，但如果环上所有边权相等，则删除其中任意一条都会得到另一棵总权值相同的生成树）。 更形式化地说，MST 的唯一性等价于：对于图中的每一棵最小生成树，其包含的边集是相同的。这可以通过检查 每条不在 MST 中的边 是否能在 MST 中找到一个“对应”的等权边来判定。 步骤 2：基于 MST 切割性质和环性质的判定准则 设 \( T \) 是已知的一棵 MST。考虑以下准则： 切割性质 ：对于图的任意一个切割（将顶点集 \( V \) 分成两个非空子集 \( S \) 和 \( V \setminus S \)），跨越这个切割的所有边中，权值最小的边（称为 轻边 ）一定属于每一棵 MST。如果某个切割中有 多条 跨越边具有相同的最小权值，则这些边中的任意一条都可能被某棵 MST 包含，从而 MST 不唯一。 环性质 ：对于图中的任意一个环，环上权值最大的边（称为 重边 ）一定不属于任何一棵 MST。如果某个环上有 多条 边具有相同的最大权值，则删除其中任意一条都能得到一棵生成树，且总权值相同，因此 MST 不唯一。 因此，判定 MST 是否唯一，可以转化为检查是否存在一个切割（或等价地，一个环），使得该切割（或环）上有多条边具有相同的最小（或最大）权值，并且这些边在“属于/不属于 MST”的选择上存在歧义。 步骤 3：一个简单而高效的判定算法 这里介绍一个基于 Kruskal 算法框架的 \( O(m \log m) \) 判定算法，其中 \( m = |E| \)。这个算法不要求先求出 MST，而是可以在求 MST 的过程中同时完成唯一性判定。 算法思路 ： 将边按权值非递减排序。 使用 Kruskal 算法的不相交集（并查集）结构逐步处理相同权值的边。 对于每一组权值相同的边，检查这些边在当前图（考虑已加入的边构成的连通分量）中，是否存在多条边可以连接相同的两个连通分量。如果是，则 MST 不唯一。 具体步骤 ： 排序 ：将所有边按边权从小到大排序。设排序后的边列表为 \( e_ 1, e_ 2, ..., e_ m \)。 初始化 ：初始化一个并查集（Union-Find），每个顶点自成一个集合。初始化一个布尔变量 isUnique = true ，表示目前认为 MST 是唯一的。 处理每组等权边 ：由于边已排序，我们可以按权值分组处理。对于每一组权值相同的边 \( E_ {\text{same}} = \{ e_ i, e_ {i+1}, ..., e_ j \} \)： a. 首次扫描 ：遍历 \( E_ {\text{same}} \) 中的每条边 \( (u, v) \)。检查 \( u \) 和 \( v \) 在并查集中是否属于不同的集合。如果属于相同集合，说明这条边会形成环，根据 MST 性质，它一定不会被加入 MST（在 Kruskal 算法中会被跳过）。我们暂时将这些边标记为“无效”。 b. 检查歧义 ：对于 \( E_ {\text{same}} \) 中那些连接了两个不同集合的边（即“有效”边），我们需要检查它们连接的连通分量对是否存在重复。具体来说，我们可以为每条有效边，获取其两端点所在的集合编号（通过并查集的 Find 操作，得到代表元）。我们将这些“集合对”记录下来。 关键点 ：如果存在两个不同的有效边，它们连接了相同的两个集合（即两个集合编号的无序对相同），那么在构建 MST 时，我们就可以从这两条（或多条）边中任选一条加入，而总权值不变。这就意味着 MST 不唯一。如果发现这种情况，将 isUnique 设为 false 。 c. 合并连通分量 ：在检查完歧义后，我们再将所有有效边（即连接不同集合的边）通过并查集的 Union 操作合并起来，将它们加入正在构建的 MST 中。注意，这里我们实际加入的边是我们在实现中决定选择的任意一条有效边（通常就按顺序选择第一条），但我们已经记录了是否存在选择歧义。 输出结果 ：处理完所有边后，如果 isUnique 为 true ，则 MST 唯一；否则不唯一。 算法复杂度 ：排序需要 \( O(m \log m) \)，并查集操作近似为常数时间，总复杂度为 \( O(m \log m) \)。 步骤 4：算法正确性简述 该算法本质上是将 MST 的切割性质应用于 Kruskal 算法的每一步。在 Kruskal 算法处理某一固定权值的边时，当前的并查集结构定义了多个连通分量（即一个切割的集合）。权值为 \( w \) 的有效边，就是那些跨越某个切割、且权值恰好为 \( w \) 的边。根据切割性质，跨越同一个切割的所有边中，权值最小的那些（即权值为 \( w \) 的）至少需要有一条被加入 MST。如果这样的边有两条或以上，那么我们就有不止一种选择来连接这两个连通分量，从而导致 MST 不唯一。我们的算法正是检测了这种情况。 步骤 5：举例说明 考虑一个简单的图：一个三角形，三条边权值分别为 1, 1, 2。 排序后边为 (权1, 边a), (权1, 边b), (权2, 边c)。 处理权值为1的边组： 边a连接两个独立顶点，是有效的。记录其连接集合对 (1,2)。 边b连接的两个顶点，在边a加入后，可能已经属于同一个集合（如果边a恰好连接了它们），也可能边b连接了另一个不同的对。在三角形中，假设顶点为1,2,3，边a连接(1,2)，边b连接(2,3)。初始时每个顶点独立。处理边a，集合{1}和{2}不同，记录对(1,2)，并合并。现在并查集状态为{1,2}, {3}。接着处理边b，它连接顶点2（属于集合{1,2}）和3（属于集合{3}），这是不同的集合，记录对({1,2}, 3)的代表元对(1,3)。没有重复集合对，所以目前未发现歧义。然后合并边b，MST包含边a和边b。总权值为2。 处理权值为2的边c：它连接顶点1和3，此时它们已在同一集合中（通过边a和b连通），所以它是无效边，跳过。 最终 isUnique = true 。确实，这棵 MST (由两条权1的边构成) 是唯一的。另一棵生成树（比如用边a和边c）权值为3，更大。 考虑另一个图：一个四边形（正方形），四条边权值均为 1。 四条边权值相同，作为一组处理。 初始四个顶点各自独立。 第一条有效边（比如连接顶点1-2）被记录并合并。 第二条有效边（比如连接顶点2-3）被记录并合并。注意此时它连接的集合代表元是2和3，与之前的(1,2)不同。 第三条有效边（连接顶点3-4）被记录并合并。 现在处理第四条边（连接顶点1-4）。此时顶点1和4属于不同的集合（分别是代表元1和4）。所以它也是有效的。 关键步骤 ：当我们去记录这条边连接的集合对时，我们得到(1,4)。这个对之前没有出现过，所以算法会认为没有歧义，并将其合并，得到一棵生成树。 但是，在这个例子中，MST 真的唯一吗？不。这个图有很多棵总权值为3的生成树（因为需要3条边连接4个顶点，且所有边权为1）。问题出在哪里？ 实际上，这个例子揭示了算法描述中的一个细微之处。我们需要检查的不仅仅是“当前有效边连接的集合对是否重复”，还要考虑，当处理一组等权边时，我们是在 所有有效边被加入之前 检查歧义，还是 之后 ？在上述四边形例子中，如果我们先加入边1-2, 2-3, 3-4，那么边1-4是有效的，并且它连接的集合对(1,4)是新的，所以算法会认为无歧义。但这里存在一个更隐蔽的歧义：考虑两条不同的生成树，一棵包含边{1-2, 2-3, 3-4}，另一棵包含边{1-2, 2-3, 1-4}。它们都权值相同。在构建第二棵时，当处理边1-4时，边3-4还没有被加入（因为我们是按顺序处理边的，可能先处理了1-4，后处理3-4）。所以我们需要修正算法： 修正的算法步骤 ： 在步骤3中，处理一组等权边 \( E_ {\text{same}} \) 时： a. 遍历所有边，找出所有连接不同连通分量的边（即有效边），将它们放入一个临时列表 candidate_edges 。 b. 检查在 candidate_edges 中，是否存在两条边连接了完全相同的两个连通分量（即相同的无序集合对）。如果存在，则 MST 不唯一，设置 isUnique = false 。 这是因为，对于这组等权边，在连接某两个特定的连通分量时，我们有多种边可以选择。 c. 将 candidate_edges 中的所有边执行并查集的 Union 操作，将它们加入 MST（实际上，只需要加入其中任意 k 条边就能将这 k+1 个连通分量连接起来，但为了判定，我们可以全部执行Union）。 在四边形例子中，四条边都是有效的，且它们连接的初始连通分量对分别是(1,2), (2,3), (3,4), (1,4)。这里没有重复的对，所以修正后的算法也会判定为唯一？等等，依然不对。因为实际上，存在多棵 MST。我们需要考虑 动态变化 的连通分量。 最终的经典判定算法 ： 更严谨的方法是：对于每组等权边，我们考虑在加入这组边 之前 的图连通状态（由之前的边构成的森林）。在这组等权边中，我们只关注那些两个端点当前位于 不同连通分量 的边。将这些边视为一个 新图 的边，其顶点是当前的连通分量（即并查集的代表元）。如果在这个新图中，加入某条边会导致环（即边的两个端点已经在新图中连通），那么这条边就是“可替换”的。因为在新图（代表元图）中形成环，意味着存在多条等权边连接了相同的两个连通分量（通过不同的路径）。这可以通过在处理每组等权边时，用一个临时的小规模并查集来判断。 最终算法的简洁实现思路 ： 对边按权值排序。 遍历排序后的边，用指针划分出每一组等权边。 对于每组等权边： 遍历组内每条边 (u, v) 。用 主并查集 （代表整个图的 MST 构建过程）判断 u 和 v 是否已连通。如果不连通，则记录这条边是“候选边”，并获取 u 和 v 在 主并查集 中的代表元 fu 和 fv 。 初始化一个临时的、小规模的 第二并查集 （或者用哈希表映射代表元到新ID），其顶点是上一步中出现的所有 代表元 。 遍历所有候选边，对于每条边获取其 fu 和 fv 。在 第二并查集 中检查 fu 和 fv 是否已连通。如果已连通，说明在代表元构成的图中加入这条边会形成环，意味着存在歧义（因为已经有另一条等权边连接了 fu 和 fv 所在的新图连通分量），于是 MST 不唯一。如果未连通，则在第二并查集中合并 fu 和 fv 。 处理完该组等权边的唯一性检查后，再将所有候选边在 主并查集 中执行合并操作（即将它们加入 MST）。 最终根据检查结果输出。 这个算法正确且高效，复杂度仍然是 \( O(m \log m) \)。它清晰地捕捉了“在同一权值下，连接相同两个连通分量的等权边多于一条”这一导致不唯一的本质。