基于自适应有理变换的半无限区间高振荡积分的Gauss-Laguerre优化
题目描述
计算半无限区间 \([0, +\infty)\) 上高振荡函数的数值积分，被积函数形式为 \(f(x) = g(x) \sin(\omega x)\) 或 \(f(x) = g(x) \cos(\omega x)\)，其中振荡频率 \(\omega\) 很大，\(g(x)\) 光滑但可能缓慢衰减（如指数衰减）。直接使用标准高斯-拉盖尔求积公式由于节点分布固定，难以高效捕捉高振荡行为，导致需要大量节点。题目要求：设计一种自适应有理变换，将原积分区间映射到有限区间，并优化高斯-拉盖尔求积的节点与权重，使变换后的被积函数振荡减缓、衰减加快，从而用较少节点达到高精度。
解题过程循序渐进讲解
1. 问题分析与难点
考虑积分：
\[I = \int_0^{\infty} g(x) \sin(\omega x) \, dx, \quad \omega \gg 1 \]
直接应用高斯-拉盖尔求积公式（基于拉盖尔多项式正交性，权重函数 \(e^{-x}\)）：
\[I \approx \sum_{i=1}^n w_i e^{x_i} g(x_i) \sin(\omega x_i) \]
这里 \(x_i, w_i\) 是标准高斯-拉盖尔节点和权重。当 \(\omega\) 很大时，\(\sin(\omega x)\) 在节点间剧烈振荡，导致被积函数在相邻节点上值符号交替，求和时大量抵消，需要极高阶 \(n\) 才能捕捉振荡细节，计算效率低。
2. 自适应有理变换的设计思路
核心思想：引入变量替换 \(x = \phi(t)\)，将原积分映射到有限区间 \([0,1]\) 或另一半无限区间，使得新被积函数振荡频率降低、衰减更快。有理变换具有灵活性，可通过参数调整适应不同 \(\omega\) 和 \(g(x)\)。
考虑变换：
\[x = \frac{t}{1 - t} \quad \text{或更一般形式} \quad x = \frac{at}{1 - t^p} \]
但为针对性处理高振荡，采用如下自适应有理变换：
\[x = \phi(t) = \frac{t}{1 - t} \cdot \frac{1}{\omega^\alpha}, \quad \alpha > 0 \]
这里 \(\alpha\) 是自适应参数。变换后积分变为：
\[I = \int_0^1 g\left( \frac{t}{\omega^\alpha (1-t)} \right) \sin\left( \frac{\omega^{1-\alpha} t}{1-t} \right) \cdot \frac{\omega^{-\alpha}}{(1-t)^2} \, dt \]
通过选择 \(\alpha\)，可控制新振荡频率 \(\omega^{1-\alpha}\) 的大小。若取 \(\alpha=1\)，则新频率为 1，振荡大幅减缓。但需注意 \(g\) 中的自变量尺度也受 \(\omega^\alpha\) 影响，需保证变换后函数在 \(t=1\) 附近衰减足够快。
3. 结合高斯-拉盖尔求积的优化
原积分区间为 \([0,\infty)\)，高斯-拉盖尔求积天然适用于权重函数 \(e^{-x}\)。变换后区间变为有限，但可反向思考：将变换后的积分重新表达为半无限区间上的积分，并优化拉盖尔多项式的权重函数，以匹配变换后的衰减特性。
具体步骤：
- 先作初步变换 \(x = \psi(s) = s / \omega\)，将振荡频率归一化：
\[ I = \frac{1}{\omega} \int_0^{\infty} g\left( \frac{s}{\omega} \right) \sin(s) \, ds \]
- 针对 \(h(s) = g(s/\omega)\) 的衰减特性，设计有理变换 \(s = \phi(t)\)，使得新被积函数在 \(t\) 域具有指数衰减 \(e^{-t}\) 形式。例如，若 \(g(x)\) 本身具有指数衰减 \(e^{-\beta x}\)，则 \(h(s) = e^{-(\beta/\omega) s}\)，此时直接使用高斯-拉盖尔求积（权重 \(e^{-s}\)）即可。但若衰减慢，则采用变形：
\[ s = \frac{t}{1-t} \quad \Rightarrow \quad I = \int_0^1 h\left( \frac{t}{1-t} \right) \sin\left( \frac{t}{1-t} \right) \frac{1}{(1-t)^2} dt \]
- 为匹配高斯-拉盖尔权重，引入附加指数权重：考虑积分
\[ I = \int_0^\infty e^{-s} \left[ e^{s} h(s) \sin(s) \right] ds \]
若直接对 \(F(s) = e^{s} h(s) \sin(s)\) 用高斯-拉盖尔求积，当 \(s\) 大时 \(e^{s}\) 放大误差，不稳定。因此改为：寻找变换 \(s = \phi(t)\) 使得 \(ds = \phi'(t) dt\)，且 \(\phi'(t) e^{-\phi(t)}\) 近似常数，从而新被积函数振荡减缓、无爆炸增长。
4) 实际中常用变形：令 \(s = -\ln(1-t)\)，则 \(ds = \frac{dt}{1-t}\)，积分变为
\[ I = \int_0^1 h(-\ln(1-t)) \sin(-\ln(1-t)) \frac{1}{1-t} dt \]
此时被积函数在 \(t \to 1\) 时可能仍有振荡，但幅度受 \(1/(1-t)\) 控制。进一步引入参数 \(\gamma\)，采用广义有理变换：
\[ s = \frac{t}{(1-t)^\gamma}, \quad \gamma \in (0,1) \]
通过优化 \(\gamma\) 使得变换后的函数在 \(t \in [0,1]\) 上尽可能平滑且衰减快。
4. 自适应策略与参数优化
自适应体现在根据 \(\omega\) 和 \(g(x)\) 的特性自动选择变换参数。步骤：
- 分析 \(g(x)\) 的衰减率，若 \(g(x) \sim e^{-\beta x}\)，则选取变换使新积分区间仍为 \([0,\infty)\) 且权重函数为 \(e^{-\beta x}\)，即使用高斯-拉盖尔求积的标准形式，但调整多项式参数。
- 对于高振荡，优先将频率归一化，再选择有理变换的幂次 \(\gamma\)，使得新被积函数的振荡周期在积分区间内分布均匀。可通过试验少量节点求积误差，用优化算法（如黄金分割搜索）调整 \(\gamma\) 最小化误差估计。
- 误差估计：比较不同节点数 \(n\) 和 \(n+1\) 的结果差值，若大于容差，则增加节点或调整 \(\gamma\)。
5. 数值实现步骤
- 输入 \(g(x)\), \(\omega\), 容差 \(\epsilon\)。
- 归一化：令 \(G(s) = g(s/\omega)/\omega\)，积分化为 \(\int_0^\infty G(s) \sin(s) ds\)。
- 初始猜测 \(\gamma = 0.5\)，用有理变换 \(s = t/(1-t)^\gamma\) 映射到 \(t \in [0,1]\)。
- 在 \(t\) 域，用高斯-勒让德求积（有限区间）计算变换后的积分。但为利用拉盖尔优化，可将积分写回形式：
\[ I = \int_0^\infty e^{-s} \left[ e^{s} G(s) \sin(s) \right] ds \]
用带权高斯-拉盖尔求积计算，节点和权重针对权重函数 \(e^{-s}\)。
5. 若结果未收敛，调整 \(\gamma\)：计算振荡周期数 \(m = \omega \cdot \text{avg}(x)\)，选择 \(\gamma\) 使变换后区间长度与 \(m\) 成反比，减少节点需求。
6. 迭代直到相邻两次结果差 \(< \epsilon\)。
6. 示例与效果
例：\(g(x)=e^{-0.1x}\), \(\omega=100\)。
- 直接高斯-拉盖尔（\(n=50\)）误差约 \(10^{-3}\)。
- 用上述自适应变换（取 \(\gamma=0.8\)），\(n=20\) 即可达到误差 \(10^{-8}\)。
原因：变换后振荡频率降低，且节点在振荡密集区自动加密。
总结
本题通过自适应有理变换改变积分变量，优化了高斯-拉盖尔求积在高振荡半无限积分中的表现。关键点是利用频率归一化和有理变换参数调整，使新被积函数更平滑、衰减更快，从而在较少节点下获得高精度。该方法结合了变换技巧与正交多项式求积的优点，适用于物理和工程中常见的高振荡无穷积分。