非线性规划中的内点反射梯度-投影梯度混合算法基础题
字数 3005 2025-12-16 10:39:30

非线性规划中的内点反射梯度-投影梯度混合算法基础题

题目描述

考虑以下带不等式约束的非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) \le 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \end{aligned} \]

其中，\(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是连续可微的目标函数，\(g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是连续可微的约束函数。假设可行域 \(\mathcal{X} = \{ x \mid g_i(x) \le 0, i=1,\dots,m \}\) 非空，且为闭集，目标函数 \(f\) 在可行域内下方有界。

任务：设计一个结合“内点反射梯度法”和“投影梯度法”思想的混合算法，用于求解此类问题。算法需保证迭代点始终位于可行域内部，并利用梯度投影步骤处理靠近边界时的可行性。给出算法的详细迭代格式、关键参数更新规则，并分析其基本收敛性质。

解题过程

步骤1：算法思想与动机

  • 内点法思想：通过构建障碍函数，将约束问题转化为一系列无约束子问题，使得迭代点始终严格满足约束（即保持在可行域内部）。
  • 梯度投影法思想：当迭代点靠近边界时，通过投影到可行集上，保证严格可行性，并利用梯度信息进行下降。
  • 混合动机：单纯内点法在靠近边界时步长会急剧缩小，效率降低；单纯投影梯度法需在每一步都做投影，可能计算量大。混合算法旨在初始阶段使用内点法快速趋近最优解附近，在靠近边界时切换为投影梯度步骤，以平衡效率与可行性。

步骤2：障碍函数与子问题构造

引入对数障碍函数，将原问题转化为如下障碍问题（其中 \(\mu > 0\) 是障碍参数）：

\[\min_{x} \quad B(x; \mu) = f(x) - \mu \sum_{i=1}^m \ln(-g_i(x)) \]

  • 对数项要求 \(g_i(x) < 0\)（严格可行点）。
  • 当 \(\mu \to 0\) 时，障碍问题的解趋近于原问题的最优解。

子问题：对固定的 \(\mu\)，求解无约束问题 \(\min_x B(x; \mu)\)。

步骤3：内点反射梯度步骤

  1. 梯度计算：在当前迭代点 \(x^k\)（严格可行，即 \(g_i(x^k) < 0\)），计算障碍函数梯度：

\[\nabla B(x^k; \mu) = \nabla f(x^k) + \mu \sum_{i=1}^m \frac{-\nabla g_i(x^k)}{g_i(x^k)} \]

  1. 反射操作：为防止步长过大导致越界，在梯度方向 \(d_{\text{int}}^k = -\nabla B(x^k; \mu)\) 上，先计算试探点 \(\tilde{x}^{k+1} = x^k + \alpha^k d_{\text{int}}^k\)，其中 \(\alpha^k > 0\) 为步长。
    • 如果 \(\tilde{x}^{k+1}\) 严格可行（即 \(g_i(\tilde{x}^{k+1}) < 0\)），则接受 \(x^{k+1} = \tilde{x}^{k+1}\)。
    • 如果 \(\tilde{x}^{k+1}\) 违反某个约束（即 \(g_i(\tilde{x}^{k+1}) \ge 0\)），则进行“反射”：沿梯度方向回退，并沿边界切线方向调整，具体为计算边界处的投影梯度方向（见下一步的投影梯度步骤），切换为投影步骤。

步骤4：投影梯度步骤

当当前点靠近边界（例如，存在某个 \(g_i(x^k) \ge -\epsilon\)，\(\epsilon > 0\) 为小阈值）或反射后仍不严格可行时，执行投影梯度步。

  1. 积极集识别：确定当前积极约束集合 \(\mathcal{A}(x^k) = \{ i \mid g_i(x^k) \ge -\epsilon \}\)。
  2. 投影梯度方向计算：
    • 令 \(N\) 为积极约束梯度矩阵，其列为 \(\{ \nabla g_i(x^k) \}_{i \in \mathcal{A}}\)。
    • 计算投影算子 \(P = I - N (N^\top N)^{\dagger} N^\top\)（若 \(N\) 列满秩；否则用广义逆）。
    • 投影梯度方向为 \(d_{\text{proj}}^k = -P \, \nabla f(x^k)\)。
  3. 更新：\(x^{k+1} = x^k + \beta^k d_{\text{proj}}^k\)，其中 \(\beta^k\) 为步长，需保证新点可行（可通过回溯线搜索满足 \(g_i(x^{k+1}) \le 0\)）。

步骤5：混合算法迭代框架

给定初始严格可行点 \(x^0\)，初始障碍参数 \(\mu_0 > 0\)，衰减因子 \(\tau \in (0,1)\)，边界阈值 \(\epsilon > 0\)，步长参数 \(\alpha_{\text{max}}, \beta_{\text{max}}\)。

对 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 执行：

  1. 如果 \(\min_i (-g_i(x^k)) > \epsilon\) 且 \(\mu_k > \mu_{\min}\)：
    • 执行内点反射梯度步（步骤3）。
    • 如果反射后严格可行，更新 \(x^{k+1}\) 并进入下一步；否则转到第2步。
  2. 否则（靠近边界或内点步失败）：
    • 执行投影梯度步（步骤4）。
  3. 更新障碍参数：\(\mu_{k+1} = \tau \mu_k\)（每若干步或当障碍函数值下降充分时）。
  4. 检查终止条件：如 \(\| \nabla_x B(x^{k+1}; \mu_{k+1}) \| \le \delta\) 且 \(\mu_{k+1} \approx 0\)，或迭代次数达上限。

步骤6：关键参数与收敛性

  • 步长选择：采用Armijo线搜索保证下降，例如在内点步中要求 \(B(x^k + \alpha d_{\text{int}}^k; \mu) \le B(x^k; \mu) + c \alpha \nabla B^\top d_{\text{int}}^k\)，\(c \in (0,1)\)。
  • 收敛性：在目标和约束函数光滑、MFCQ（约束规格）成立的条件下，混合算法产生的序列至少有一个聚点是原问题的KKT点。内点步保证在内部区域的收敛速度，投影步保证边界附近的可行性，整体具有全局收敛性。

小结

本算法将内点法的“内部路径跟踪”与投影梯度法的“边界处理”结合，在保持严格可行性的同时，改善了纯内点法边界附近效率低的问题。通过反射机制自适应切换，适用于中等规模、约束为光滑不等式的问题。实际实现时需注意积极集识别、投影算子的稳定计算以及步长的自适应调整。

非线性规划中的内点反射梯度-投影梯度混合算法基础题 题目描述 考虑以下带不等式约束的非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x) \le 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \end{aligned} \] 其中，\( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是连续可微的目标函数，\( g_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是连续可微的约束函数。假设可行域 \( \mathcal{X} = \{ x \mid g_ i(x) \le 0, i=1,\dots,m \} \) 非空，且为闭集，目标函数 \( f \) 在可行域内下方有界。 任务 ：设计一个结合“内点反射梯度法”和“投影梯度法”思想的混合算法，用于求解此类问题。算法需保证迭代点始终位于可行域内部，并利用梯度投影步骤处理靠近边界时的可行性。给出算法的详细迭代格式、关键参数更新规则，并分析其基本收敛性质。 解题过程 步骤1：算法思想与动机 内点法思想 ：通过构建障碍函数，将约束问题转化为一系列无约束子问题，使得迭代点始终严格满足约束（即保持在可行域内部）。 梯度投影法思想 ：当迭代点靠近边界时，通过投影到可行集上，保证严格可行性，并利用梯度信息进行下降。 混合动机 ：单纯内点法在靠近边界时步长会急剧缩小，效率降低；单纯投影梯度法需在每一步都做投影，可能计算量大。混合算法旨在初始阶段使用内点法快速趋近最优解附近，在靠近边界时切换为投影梯度步骤，以平衡效率与可行性。 步骤2：障碍函数与子问题构造 引入对数障碍函数，将原问题转化为如下障碍问题（其中 \( \mu > 0 \) 是障碍参数）： \[ \min_ {x} \quad B(x; \mu) = f(x) - \mu \sum_ {i=1}^m \ln(-g_ i(x)) \] 对数项要求 \( g_ i(x) < 0 \)（严格可行点）。 当 \( \mu \to 0 \) 时，障碍问题的解趋近于原问题的最优解。 子问题 ：对固定的 \( \mu \)，求解无约束问题 \( \min_ x B(x; \mu) \)。 步骤3：内点反射梯度步骤 梯度计算 ：在当前迭代点 \( x^k \)（严格可行，即 \( g_ i(x^k) < 0 \)），计算障碍函数梯度： \[ \nabla B(x^k; \mu) = \nabla f(x^k) + \mu \sum_ {i=1}^m \frac{-\nabla g_ i(x^k)}{g_ i(x^k)} \] 反射操作 ：为防止步长过大导致越界，在梯度方向 \( d_ {\text{int}}^k = -\nabla B(x^k; \mu) \) 上，先计算试探点 \( \tilde{x}^{k+1} = x^k + \alpha^k d_ {\text{int}}^k \)，其中 \( \alpha^k > 0 \) 为步长。 如果 \( \tilde{x}^{k+1} \) 严格可行（即 \( g_ i(\tilde{x}^{k+1}) < 0 \)），则接受 \( x^{k+1} = \tilde{x}^{k+1} \)。 如果 \( \tilde{x}^{k+1} \) 违反某个约束（即 \( g_ i(\tilde{x}^{k+1}) \ge 0 \)），则进行“反射”：沿梯度方向回退，并沿边界切线方向调整，具体为计算边界处的投影梯度方向（见下一步的投影梯度步骤），切换为投影步骤。 步骤4：投影梯度步骤 当当前点靠近边界（例如，存在某个 \( g_ i(x^k) \ge -\epsilon \)，\( \epsilon > 0 \) 为小阈值）或反射后仍不严格可行时，执行投影梯度步。 积极集识别 ：确定当前积极约束集合 \( \mathcal{A}(x^k) = \{ i \mid g_ i(x^k) \ge -\epsilon \} \)。 投影梯度方向计算 ： 令 \( N \) 为积极约束梯度矩阵，其列为 \( \{ \nabla g_ i(x^k) \}_ {i \in \mathcal{A}} \)。 计算投影算子 \( P = I - N (N^\top N)^{\dagger} N^\top \)（若 \( N \) 列满秩；否则用广义逆）。 投影梯度方向为 \( d_ {\text{proj}}^k = -P \, \nabla f(x^k) \)。 更新 ：\( x^{k+1} = x^k + \beta^k d_ {\text{proj}}^k \)，其中 \( \beta^k \) 为步长，需保证新点可行（可通过回溯线搜索满足 \( g_ i(x^{k+1}) \le 0 \)）。 步骤5：混合算法迭代框架 给定初始严格可行点 \( x^0 \)，初始障碍参数 \( \mu_ 0 > 0 \)，衰减因子 \( \tau \in (0,1) \)，边界阈值 \( \epsilon > 0 \)，步长参数 \( \alpha_ {\text{max}}, \beta_ {\text{max}} \)。 对 \( k = 0, 1, 2, \dots \) 执行： 如果 \( \min_ i (-g_ i(x^k)) > \epsilon \) 且 \( \mu_ k > \mu_ {\min} \)： 执行内点反射梯度步（步骤3）。 如果反射后严格可行，更新 \( x^{k+1} \) 并进入下一步；否则转到第2步。 否则（靠近边界或内点步失败）： 执行投影梯度步（步骤4）。 更新障碍参数：\( \mu_ {k+1} = \tau \mu_ k \)（每若干步或当障碍函数值下降充分时）。 检查终止条件：如 \( \| \nabla_ x B(x^{k+1}; \mu_ {k+1}) \| \le \delta \) 且 \( \mu_ {k+1} \approx 0 \)，或迭代次数达上限。 步骤6：关键参数与收敛性 步长选择 ：采用Armijo线搜索保证下降，例如在内点步中要求 \( B(x^k + \alpha d_ {\text{int}}^k; \mu) \le B(x^k; \mu) + c \alpha \nabla B^\top d_ {\text{int}}^k \)，\( c \in (0,1) \)。 收敛性 ：在目标和约束函数光滑、MFCQ（约束规格）成立的条件下，混合算法产生的序列至少有一个聚点是原问题的KKT点。内点步保证在内部区域的收敛速度，投影步保证边界附近的可行性，整体具有全局收敛性。 小结 本算法将内点法的“内部路径跟踪”与投影梯度法的“边界处理”结合，在保持严格可行性的同时，改善了纯内点法边界附近效率低的问题。通过反射机制自适应切换，适用于中等规模、约束为光滑不等式的问题。实际实现时需注意积极集识别、投影算子的稳定计算以及步长的自适应调整。