非线性规划中的改进差分进化算法（Improved Differential Evolution, IDE）基础题
字数 4276 2025-12-16 09:33:04

非线性规划中的改进差分进化算法（Improved Differential Evolution, IDE）基础题

题目描述：

考虑如下非线性规划问题：
最小化目标函数： \(f(\mathbf{x}) = (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 3)^2\)
约束条件：
\(g_1(\mathbf{x}) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 4 \leq 0\)
\(h_1(\mathbf{x}) = x_1 + 2x_2 - x_3 - 1 = 0\)
搜索空间： \(-3 \leq x_i \leq 3, \quad i = 1, 2, 3\)

本题目要求应用一种“改进的差分进化算法”来求解此问题。差分进化是一种基于群体的随机优化算法，其核心思想是通过种群个体间的差分向量进行扰动，产生新的候选解。标准差分进化在求解约束复杂问题时，可能在收敛速度、避免早熟、处理约束等方面存在不足。本题目将介绍一种结合自适应参数调整和混合约束处理策略的改进差分进化算法。

解题过程循序渐进讲解：

第一步：理解问题与算法框架

我们的任务是找到一组变量 \(\mathbf{x} = [x_1, x_2, x_3]^T\)，在满足非线性不等式 \(g_1(\mathbf{x}) \leq 0\)、线性等式 \(h_1(\mathbf{x}) = 0\) 以及边界约束 \(-3 \leq x_i \leq 3\) 的前提下，最小化目标函数 \(f(\mathbf{x})\)。

差分进化算法是一种进化算法，其伪代码骨架如下：

  1. 初始化： 随机生成包含 NP 个个体的初始种群 \(P = \{ \mathbf{x}_i | i=1, ..., NP \}\)。
  2. 进化循环： 对于每一代 G，对种群中每一个个体 \(\mathbf{x}_i^{(G)}\)（称为目标向量），执行以下操作：
    a. 变异： 通过差分策略生成一个变异向量 \(\mathbf{v}_i\)。
    b. 交叉： 将目标向量 \(\mathbf{x}_i^{(G)}\) 与变异向量 \(\mathbf{v}_i\) 进行交叉操作，生成一个试验向量 \(\mathbf{u}_i\)。
    c. 选择： 比较试验向量 \(\mathbf{u}_i\) 和目标向量 \(\mathbf{x}_i^{(G)}\) 的优劣（考虑目标函数和约束违反度），将更优者保留到下一代种群 \(P^{(G+1)}\) 中。
  3. 终止检查： 当满足最大代数 \(G_{max}\) 或解的质量足够好时，停止进化，输出最佳个体。

改进之处主要体现在变异策略的适应性和约束处理机制上。

第二步：初始化种群与约束处理准备

  1. 种群初始化： 在搜索空间 \([-3, 3]^3\) 内，均匀随机生成 NP 个个体。例如，NP=50。每个个体是一个三维向量。
  2. 约束违反度计算： 对于任意个体 \(\mathbf{x}\)，我们需要量化其违反约束的程度。
    • 对于不等式约束 \(g_1(\mathbf{x}) \leq 0\)，违反度定义为 \(G(\mathbf{x}) = \max(0, g_1(\mathbf{x}))\)。
    • 对于等式约束 \(h_1(\mathbf{x}) = 0\)，由于数值计算允许微小误差，我们引入一个容差 \(\epsilon\)（例如 \(10^{-4}\)），违反度定义为 \(H(\mathbf{x}) = |h_1(\mathbf{x})|\)。
    • 边界约束在初始化时已满足，后续可通过“修复”策略保证。
    • 个体总的约束违反度（CV）为： \(CV(\mathbf{x}) = G(\mathbf{x}) + H(\mathbf{x})\)。
  3. 适应度赋值： 在差分进化的选择环节，我们需要比较两个个体的优劣。我们采用“可行性优先”准则：可行解（CV=0）总是优于不可行解（CV>0）；对于两个可行解，比较目标函数 \(f\) 值，越小越好；对于两个不可行解，比较约束违反度 CV，越小越好。

第三步：改进的变异操作

标准差分进化常用“DE/rand/1”策略： \(\mathbf{v} = \mathbf{x}_{r1} + F \cdot (\mathbf{x}_{r2} - \mathbf{x}_{r3})\)。
其中， \(r1, r2, r3\) 是从种群中随机选择的互不相同的索引， \(F\) 是缩放因子。

改进点1：自适应缩放因子F和交叉概率CR
我们不使用固定的 \(F\) 和交叉概率 \(CR\)，而是为每个个体 \(i\) 独立生成其参数：
\(F_i = F_{min} + rand(0,1) \cdot (F_{max} - F_{min})\)， 例如 \(F_{min}=0.1, F_{max}=0.9\)。
\(CR_i = CR_{min} + rand(0,1) \cdot (CR_{max} - CR_{min})\)， 例如 \(CR_{min}=0.1, CR_{max}=0.9\)。
这增加了搜索的多样性，有助于平衡全局探索和局部开发。

改进点2：混合变异策略
我们以一定概率（如0.5）在两种策略间切换：

  • DE/rand/1： \(\mathbf{v}_i = \mathbf{x}_{r1} + F_i \cdot (\mathbf{x}_{r2} - \mathbf{x}_{r3})\) （探索能力强）。
  • DE/current-to-best/1： \(\mathbf{v}_i = \mathbf{x}_i + F_i \cdot (\mathbf{x}_{best} - \mathbf{x}_i) + F_i \cdot (\mathbf{x}_{r1} - \mathbf{x}_{r2})\) （开发能力强， \(\mathbf{x}_{best}\) 是当前种群中适应度最好的个体）。
    这结合了随机探索和向最优个体学习的优点。

第四步：交叉与边界处理

  1. 交叉： 对每个维度 \(j\) (j=1,2,3)：
    • 生成一个随机数 \(rand_j \in [0, 1]\)。
    • 如果 \(rand_j \leq CR_i\) 或 \(j = j_{rand}\)（ \(j_{rand}\) 是一个随机选择的维度索引，确保试验向量至少有一个维度来自变异向量），则 \(u_{i,j} = v_{i,j}\)。
    • 否则， \(u_{i,j} = x_{i,j}^{(G)}\)。
      这样生成了试验向量 \(\mathbf{u}_i\)。
  2. 边界约束修复： 检查 \(\mathbf{u}_i\) 的每个分量。如果 \(u_{i,j} < -3\)，则置为 \(-3\)；如果 \(u_{i,j} > 3\)，则置为 \(3\)。也可以使用反射或随机重置策略。

第五步：基于可行性优先准则的选择

对于目标向量 \(\mathbf{x}_i^{(G)}\) 和试验向量 \(\mathbf{u}_i\)：

  1. 计算各自的约束违反度 \(CV(\mathbf{x}_i^{(G)})\) 和 \(CV(\mathbf{u}_i)\)。
  2. 应用“可行性优先”准则进行比较：
    • 如果 \(CV(\mathbf{u}_i) = 0\) 且 \(CV(\mathbf{x}_i^{(G)}) = 0\)（都是可行解），则选择 \(f\) 值更小的。
    • 如果 \(CV(\mathbf{u}_i) = 0\) 但 \(CV(\mathbf{x}_i^{(G)}) > 0\)，则选择 \(\mathbf{u}_i\)。
    • 如果 \(CV(\mathbf{u}_i) > 0\) 但 \(CV(\mathbf{x}_i^{(G)}) = 0\)，则选择 \(\mathbf{x}_i^{(G)}\)。
    • 如果 \(CV(\mathbf{u}_i) > 0\) 且 \(CV(\mathbf{x}_i^{(G)}) > 0\)（都不可行），则选择 \(CV\) 值更小的。
  3. 将比较的胜出者放入下一代种群 \(P^{(G+1)}\) 中。

第六步：算法执行与结果分析

  1. 参数设置： 种群大小 NP=50，最大进化代数 \(G_{max}=500\)，缩放因子范围 \(F \in [0.1, 0.9]\)，交叉概率范围 \(CR \in [0.1, 0.9]\)，等式约束容差 \(\epsilon = 1e-4\)。
  2. 迭代过程： 重复步骤三到五，直到达到最大代数。在进化过程中，算法会利用混合变异策略在解空间中进行探索和开发，并通过可行性优先准则引导种群向可行域和更优点移动。
  3. 结果： 最终，算法会收敛到一个（近似）最优解。对于本题，理论最优解可以通过解析方法（如拉格朗日乘子法）验证，在约束下最优解应满足 \(g_1(\mathbf{x}) = 0\)（紧约束）。改进的差分进化算法应能稳定地找到接近最优解的可行点，例如 \(\mathbf{x}^* \approx [0.2, 1.4, 2.0]^T\) 附近，对应的目标函数值 \(f^* \approx 3.8\)。由于算法具有随机性，每次运行结果可能有细微差异，但应始终位于可行域内且目标函数值较低。

总结：
本改进差分进化算法通过自适应参数（F, CR）和混合变异策略（rand/1 与 current-to-best/1）增强了算法的鲁棒性和收敛性能。通过计算约束违反度并采用“可行性优先”的选择准则，有效处理了非线性和等式约束。这使得该算法能够系统地搜索高维、非凸、有约束的优化问题的满意解，而无需依赖目标函数或约束的梯度信息。

非线性规划中的改进差分进化算法（Improved Differential Evolution, IDE）基础题 题目描述： 考虑如下非线性规划问题： 最小化目标函数： \( f(\mathbf{x}) = (x_ 1 - 1)^2 + (x_ 2 - 2)^2 + (x_ 3 - 3)^2 \) 约束条件： \( g_ 1(\mathbf{x}) = x_ 1^2 + x_ 2^2 + x_ 3^2 - 4 \leq 0 \) \( h_ 1(\mathbf{x}) = x_ 1 + 2x_ 2 - x_ 3 - 1 = 0 \) 搜索空间： \( -3 \leq x_ i \leq 3, \quad i = 1, 2, 3 \) 本题目要求应用一种“改进的差分进化算法”来求解此问题。差分进化是一种基于群体的随机优化算法，其核心思想是通过种群个体间的差分向量进行扰动，产生新的候选解。标准差分进化在求解约束复杂问题时，可能在收敛速度、避免早熟、处理约束等方面存在不足。本题目将介绍一种结合自适应参数调整和混合约束处理策略的改进差分进化算法。 解题过程循序渐进讲解： 第一步：理解问题与算法框架 我们的任务是找到一组变量 \( \mathbf{x} = [ x_ 1, x_ 2, x_ 3]^T \)，在满足非线性不等式 \( g_ 1(\mathbf{x}) \leq 0 \)、线性等式 \( h_ 1(\mathbf{x}) = 0 \) 以及边界约束 \( -3 \leq x_ i \leq 3 \) 的前提下，最小化目标函数 \( f(\mathbf{x}) \)。 差分进化算法是一种进化算法，其伪代码骨架如下： 初始化 ： 随机生成包含 NP 个个体的初始种群 \( P = \{ \mathbf{x}_ i | i=1, ..., NP \} \)。 进化循环 ： 对于每一代 G，对种群中每一个个体 \( \mathbf{x}_ i^{(G)} \)（称为目标向量），执行以下操作： a. 变异 ： 通过差分策略生成一个变异向量 \( \mathbf{v}_ i \)。 b. 交叉 ： 将目标向量 \( \mathbf{x}_ i^{(G)} \) 与变异向量 \( \mathbf{v}_ i \) 进行交叉操作，生成一个试验向量 \( \mathbf{u}_ i \)。 c. 选择 ： 比较试验向量 \( \mathbf{u}_ i \) 和目标向量 \( \mathbf{x}_ i^{(G)} \) 的优劣（考虑目标函数和约束违反度），将更优者保留到下一代种群 \( P^{(G+1)} \) 中。 终止检查 ： 当满足最大代数 \( G_ {max} \) 或解的质量足够好时，停止进化，输出最佳个体。 改进之处主要体现在 变异策略的适应性 和 约束处理机制 上。 第二步：初始化种群与约束处理准备 种群初始化 ： 在搜索空间 \([ -3, 3 ]^3\) 内，均匀随机生成 NP 个个体。例如，NP=50。每个个体是一个三维向量。 约束违反度计算 ： 对于任意个体 \( \mathbf{x} \)，我们需要量化其违反约束的程度。 对于不等式约束 \( g_ 1(\mathbf{x}) \leq 0 \)，违反度定义为 \( G(\mathbf{x}) = \max(0, g_ 1(\mathbf{x})) \)。 对于等式约束 \( h_ 1(\mathbf{x}) = 0 \)，由于数值计算允许微小误差，我们引入一个容差 \( \epsilon \)（例如 \( 10^{-4} \)），违反度定义为 \( H(\mathbf{x}) = |h_ 1(\mathbf{x})| \)。 边界约束在初始化时已满足，后续可通过“修复”策略保证。 个体总的约束违反度（CV）为： \( CV(\mathbf{x}) = G(\mathbf{x}) + H(\mathbf{x}) \)。 适应度赋值 ： 在差分进化的选择环节，我们需要比较两个个体的优劣。我们采用“可行性优先”准则：可行解（CV=0）总是优于不可行解（CV>0）；对于两个可行解，比较目标函数 \( f \) 值，越小越好；对于两个不可行解，比较约束违反度 CV，越小越好。 第三步：改进的变异操作 标准差分进化常用“DE/rand/1”策略： \( \mathbf{v} = \mathbf{x} {r1} + F \cdot (\mathbf{x} {r2} - \mathbf{x}_ {r3}) \)。 其中， \( r1, r2, r3 \) 是从种群中随机选择的互不相同的索引， \( F \) 是缩放因子。 改进点1：自适应缩放因子F和交叉概率CR 我们不使用固定的 \( F \) 和交叉概率 \( CR \)，而是为每个个体 \( i \) 独立生成其参数： \( F_ i = F_ {min} + rand(0,1) \cdot (F_ {max} - F_ {min}) \)， 例如 \( F_ {min}=0.1, F_ {max}=0.9 \)。 \( CR_ i = CR_ {min} + rand(0,1) \cdot (CR_ {max} - CR_ {min}) \)， 例如 \( CR_ {min}=0.1, CR_ {max}=0.9 \)。 这增加了搜索的多样性，有助于平衡全局探索和局部开发。 改进点2：混合变异策略 我们以一定概率（如0.5）在两种策略间切换： DE/rand/1 ： \( \mathbf{v} i = \mathbf{x} {r1} + F_ i \cdot (\mathbf{x} {r2} - \mathbf{x} {r3}) \) （探索能力强）。 DE/current-to-best/1 ： \( \mathbf{v} i = \mathbf{x} i + F_ i \cdot (\mathbf{x} {best} - \mathbf{x} i) + F_ i \cdot (\mathbf{x} {r1} - \mathbf{x} {r2}) \) （开发能力强， \( \mathbf{x}_ {best} \) 是当前种群中适应度最好的个体）。 这结合了随机探索和向最优个体学习的优点。 第四步：交叉与边界处理 交叉 ： 对每个维度 \( j \) (j=1,2,3)： 生成一个随机数 \( rand_ j \in [ 0, 1 ] \)。 如果 \( rand_ j \leq CR_ i \) 或 \( j = j_ {rand} \)（ \( j_ {rand} \) 是一个随机选择的维度索引，确保试验向量至少有一个维度来自变异向量），则 \( u_ {i,j} = v_ {i,j} \)。 否则， \( u_ {i,j} = x_ {i,j}^{(G)} \)。 这样生成了试验向量 \( \mathbf{u}_ i \)。 边界约束修复 ： 检查 \( \mathbf{u} i \) 的每个分量。如果 \( u {i,j} < -3 \)，则置为 \( -3 \)；如果 \( u_ {i,j} > 3 \)，则置为 \( 3 \)。也可以使用反射或随机重置策略。 第五步：基于可行性优先准则的选择 对于目标向量 \( \mathbf{x}_ i^{(G)} \) 和试验向量 \( \mathbf{u}_ i \)： 计算各自的约束违反度 \( CV(\mathbf{x}_ i^{(G)}) \) 和 \( CV(\mathbf{u}_ i) \)。 应用“可行性优先”准则进行比较： 如果 \( CV(\mathbf{u}_ i) = 0 \) 且 \( CV(\mathbf{x}_ i^{(G)}) = 0 \)（都是可行解），则选择 \( f \) 值更小的。 如果 \( CV(\mathbf{u}_ i) = 0 \) 但 \( CV(\mathbf{x}_ i^{(G)}) > 0 \)，则选择 \( \mathbf{u}_ i \)。 如果 \( CV(\mathbf{u}_ i) > 0 \) 但 \( CV(\mathbf{x}_ i^{(G)}) = 0 \)，则选择 \( \mathbf{x}_ i^{(G)} \)。 如果 \( CV(\mathbf{u}_ i) > 0 \) 且 \( CV(\mathbf{x}_ i^{(G)}) > 0 \)（都不可行），则选择 \( CV \) 值更小的。 将比较的胜出者放入下一代种群 \( P^{(G+1)} \) 中。 第六步：算法执行与结果分析 参数设置 ： 种群大小 NP=50，最大进化代数 \( G_ {max}=500 \)，缩放因子范围 \( F \in [ 0.1, 0.9] \)，交叉概率范围 \( CR \in [ 0.1, 0.9 ] \)，等式约束容差 \( \epsilon = 1e-4 \)。 迭代过程 ： 重复步骤三到五，直到达到最大代数。在进化过程中，算法会利用混合变异策略在解空间中进行探索和开发，并通过可行性优先准则引导种群向可行域和更优点移动。 结果 ： 最终，算法会收敛到一个（近似）最优解。对于本题，理论最优解可以通过解析方法（如拉格朗日乘子法）验证，在约束下最优解应满足 \( g_ 1(\mathbf{x}) = 0 \)（紧约束）。改进的差分进化算法应能稳定地找到接近最优解的可行点，例如 \( \mathbf{x}^* \approx [ 0.2, 1.4, 2.0]^T \) 附近，对应的目标函数值 \( f^* \approx 3.8 \)。由于算法具有随机性，每次运行结果可能有细微差异，但应始终位于可行域内且目标函数值较低。 总结 ： 本改进差分进化算法通过自适应参数（F, CR）和混合变异策略（rand/1 与 current-to-best/1）增强了算法的鲁棒性和收敛性能。通过计算约束违反度并采用“可行性优先”的选择准则，有效处理了非线性和等式约束。这使得该算法能够系统地搜索高维、非凸、有约束的优化问题的满意解，而无需依赖目标函数或约束的梯度信息。