基于滚动哈希的高效字符串压缩算法（支持重复模式检测与编码）
字数 2208 2025-12-16 09:27:28

基于滚动哈希的高效字符串压缩算法（支持重复模式检测与编码）

题目描述
设计一种基于滚动哈希的字符串压缩算法，能够检测字符串中的重复模式（例如连续重复子串、间隔重复模式等），并将重复部分编码为更短的表示形式（例如[起始位置,长度]或[模式,重复次数]）。算法需支持快速扫描和匹配，适用于长字符串的压缩场景。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：理解核心需求

  1. 压缩目标：将原始字符串转换为更短的格式，通过识别重复出现的子串并用指针（位置+长度）或计数标记代替。
  2. 关键挑战：如何在O(n)或接近O(n)时间内找出所有重复子串？如果暴力比较所有子串，复杂度为O(n²)，不可接受。
  3. 滚动哈希的作用：将任意长度子串映射为固定长度的哈希值，使得比较子串内容时只需比较哈希值，从而加速重复检测。

步骤2：滚动哈希的设计

滚动哈希（Rabin-Karp哈希）常用于在O(1)时间内计算相邻子串的哈希值，特别适用于滑动窗口场景。

  • 哈希函数选择：常用多项式哈希，例如对字符串s，其子串s[i:j]的哈希为：
    \(hash = (s[i] \cdot p^{j-i-1} + s[i+1] \cdot p^{j-i-2} + ... + s[j-1]) \mod M\)
    其中p为质数基数（如31、131），M为较大质数（如1e9+7）。
  • 滚动计算：已知s[i:j]的哈希，则s[i+1:j+1]的哈希可通过减去s[i]的贡献、加上s[j]的贡献，并乘以p的幂来快速更新。
  • 预计算幂：提前计算p⁰, p¹, …, pⁿ mod M，避免重复计算。

步骤3：重复模式检测策略

检测分为两类：

  1. 相邻重复：如"abcabcabc"中"abc"连续重复3次。
    • 方法：固定窗口长度L，计算每个起始位置i的哈希，比较连续窗口的哈希值，若相同则计数重复次数。
  2. 非相邻重复：如"xyz123...xyz"，相同子串出现在不同位置。
    • 方法：对每个可能长度L，计算所有起始位置i的哈希，用哈希表记录{哈希值: [起始位置列表]}。若同一哈希对应多个位置，则这些位置开始的长度为L的子串可能相同（需进一步验证防止哈希冲突）。

步骤4：避免哈希冲突

滚动哈希可能产生不同字符串映射到相同哈希值的情况（冲突）。需在哈希匹配后进行逐字符验证，确保子串真正相同。但冲突概率较低，验证操作仅在哈希匹配时进行，不影响整体效率。

步骤5：压缩编码方案

检测到重复子串后，选择一种编码格式：

  • 指针表示：(偏移, 长度)，例如重复子串用[位置, 长度]表示，位置是相对于已编码文本的偏移。
  • 计数表示：若为连续重复（如"aaabbb"），可编码为[字符, 重复次数]，但本题目更关注通用重复模式，因此常用指针表示。
  • 编码示例：字符串"ababcdcdababcdcd"中"abcd"重复出现，可表示为原始字符+指针"ab[2,4]cd[0,4]"（需设计具体编码格式）。

步骤6：算法步骤分解

假设实现压缩函数compress(s)：

  1. 初始化：结果数组result存储压缩后的片段（字符或指针），encoded字符串存储已编码的原始文本用于偏移计算。
  2. 遍历所有可能长度L（从1到n/2）：
    • 计算每个起始位置i、长度为L的子串的滚动哈希。
    • 使用哈希表map记录每个哈希值的最新出现位置（或所有位置列表）。
    • 当发现当前哈希值在map中存在，且当前起始位置i与之前位置prev的差值≥L（确保不重叠或根据策略允许重叠），则找到重复。
  3. 选择最优重复：对每个位置i，检查从i开始的最长重复（通过扩展L或比较哈希序列）。
  4. 编码重复段：若从i开始存在长度为L的重复，且重复次数≥2，则将重复段编码为指针[prev, L]，并将i向后移动L×重复次数。
  5. 非重复字符：若当前位置无重复，则直接输出字符，并移动一位。
  6. 生成最终压缩结果：将全部片段拼接为字符串或字节序列。

步骤7：举例说明

以字符串"abcababc"为例：

  • 扫描到L=3时，发现子串"abc"的哈希在位置0和3相同，进一步验证内容确实相同，且不重叠。
  • 从位置0开始的"abc"与位置3的"abc"重复，但中间有"ab"，因此可编码为：原始"abcab"+指针[0,3]? 这并不最优，因为第二个"abc"与第一个完全匹配。
  • 更优方式：将整个串视为"abc"重复两次，但中间有"ab"打断，所以需分段："abcab"作为文字，后面"abc"用指针[0,3]表示，最终为"abcab[0,3]"。

步骤8：时间复杂度优化

  • 滚动哈希计算所有子串需O(n²)？可通过限制最大重复长度（如256）将复杂度降为O(n×maxL)。
  • 使用后缀数组或后缀自动机可在O(n)内找到所有重复子串，但实现复杂。滚动哈希在平均情况下接近O(n)（尤其限制L时）。

步骤9：解压缩

解压缩时，读取压缩数据，遇到原始字符直接输出，遇到指针[偏移,长度]则从已解压部分拷贝指定长度的子串。

总结
本题结合滚动哈希快速匹配、哈希表记录子串出现位置、贪心选择最长重复，实现基于字典的压缩算法（类似LZ77）。关键点在于滚动哈希的O(1)更新、冲突验证和指针编码设计。

基于滚动哈希的高效字符串压缩算法（支持重复模式检测与编码） 题目描述 设计一种基于滚动哈希的字符串压缩算法，能够检测字符串中的重复模式（例如连续重复子串、间隔重复模式等），并将重复部分编码为更短的表示形式（例如 [起始位置,长度] 或 [模式,重复次数] ）。算法需支持快速扫描和匹配，适用于长字符串的压缩场景。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：理解核心需求 压缩目标 ：将原始字符串转换为更短的格式，通过识别重复出现的子串并用指针（位置+长度）或计数标记代替。 关键挑战 ：如何在O(n)或接近O(n)时间内找出所有重复子串？如果暴力比较所有子串，复杂度为O(n²)，不可接受。 滚动哈希的作用 ：将任意长度子串映射为固定长度的哈希值，使得比较子串内容时只需比较哈希值，从而加速重复检测。 步骤2：滚动哈希的设计 滚动哈希（Rabin-Karp哈希）常用于在O(1)时间内计算相邻子串的哈希值，特别适用于滑动窗口场景。 哈希函数选择 ：常用多项式哈希，例如对字符串s，其子串s[ i:j ]的哈希为： \( hash = (s[ i] \cdot p^{j-i-1} + s[ i+1] \cdot p^{j-i-2} + ... + s[ j-1 ]) \mod M \) 其中p为质数基数（如31、131），M为较大质数（如1e9+7）。 滚动计算 ：已知s[ i:j]的哈希，则s[ i+1:j+1]的哈希可通过减去s[ i]的贡献、加上s[ j ]的贡献，并乘以p的幂来快速更新。 预计算幂 ：提前计算p⁰, p¹, …, pⁿ mod M，避免重复计算。 步骤3：重复模式检测策略 检测分为两类： 相邻重复 ：如 "abcabcabc" 中 "abc" 连续重复3次。 方法：固定窗口长度L，计算每个起始位置i的哈希，比较连续窗口的哈希值，若相同则计数重复次数。 非相邻重复 ：如 "xyz123...xyz" ，相同子串出现在不同位置。 方法：对每个可能长度L，计算所有起始位置i的哈希，用哈希表记录 {哈希值: [起始位置列表]} 。若同一哈希对应多个位置，则这些位置开始的长度为L的子串可能相同（需进一步验证防止哈希冲突）。 步骤4：避免哈希冲突 滚动哈希可能产生不同字符串映射到相同哈希值的情况（冲突）。需在哈希匹配后进行逐字符验证，确保子串真正相同。但冲突概率较低，验证操作仅在哈希匹配时进行，不影响整体效率。 步骤5：压缩编码方案 检测到重复子串后，选择一种编码格式： 指针表示 ： (偏移, 长度) ，例如重复子串用 [位置, 长度] 表示，位置是相对于已编码文本的偏移。 计数表示 ：若为连续重复（如 "aaabbb" ），可编码为 [字符, 重复次数] ，但本题目更关注通用重复模式，因此常用指针表示。 编码示例 ：字符串 "ababcdcdababcdcd" 中 "abcd" 重复出现，可表示为原始字符+指针 "ab[2,4]cd[0,4]" （需设计具体编码格式）。 步骤6：算法步骤分解 假设实现压缩函数 compress(s) ： 初始化 ：结果数组 result 存储压缩后的片段（字符或指针）， encoded 字符串存储已编码的原始文本用于偏移计算。 遍历所有可能长度L （从1到n/2）： 计算每个起始位置i、长度为L的子串的滚动哈希。 使用哈希表 map 记录每个哈希值的最新出现位置（或所有位置列表）。 当发现当前哈希值在 map 中存在，且当前起始位置i与之前位置 prev 的差值≥L（确保不重叠或根据策略允许重叠），则找到重复。 选择最优重复 ：对每个位置i，检查从i开始的最长重复（通过扩展L或比较哈希序列）。 编码重复段 ：若从i开始存在长度为L的重复，且重复次数≥2，则将重复段编码为指针 [prev, L] ，并将i向后移动L×重复次数。 非重复字符 ：若当前位置无重复，则直接输出字符，并移动一位。 生成最终压缩结果 ：将全部片段拼接为字符串或字节序列。 步骤7：举例说明 以字符串 "abcababc" 为例： 扫描到L=3时，发现子串 "abc" 的哈希在位置0和3相同，进一步验证内容确实相同，且不重叠。 从位置0开始的 "abc" 与位置3的 "abc" 重复，但中间有 "ab" ，因此可编码为：原始 "abcab" +指针 [0,3] ? 这并不最优，因为第二个 "abc" 与第一个完全匹配。 更优方式：将整个串视为 "abc" 重复两次，但中间有 "ab" 打断，所以需分段： "abcab" 作为文字，后面 "abc" 用指针 [0,3] 表示，最终为 "abcab[0,3]" 。 步骤8：时间复杂度优化 滚动哈希计算所有子串需O(n²)？可通过限制最大重复长度（如256）将复杂度降为O(n×maxL)。 使用后缀数组或后缀自动机可在O(n)内找到所有重复子串，但实现复杂。滚动哈希在平均情况下接近O(n)（尤其限制L时）。 步骤9：解压缩 解压缩时，读取压缩数据，遇到原始字符直接输出，遇到指针 [偏移,长度] 则从已解压部分拷贝指定长度的子串。 总结 本题结合滚动哈希快速匹配、哈希表记录子串出现位置、贪心选择最长重复，实现基于字典的压缩算法（类似LZ77）。关键点在于滚动哈希的O(1)更新、冲突验证和指针编码设计。