自适应多起点混合优化算法（Adaptive Multi-Start Hybrid Optimization Algorithm, AMS-HOA）基础题

题目描述

考虑一个非线性规划问题，其目标函数可能具有多个局部最优解（即多模态函数），同时带有非线性等式与不等式约束。传统的局部优化算法（如序列二次规划、内点法等）往往依赖于初始点，容易陷入离初始点最近的局部最优，而无法找到全局最优。为提升全局探索能力，本题要求你理解并实现一种自适应多起点混合优化算法。该算法通过智能地生成和筛选多个初始点，并结合局部优化器的快速收敛性，以较高的概率逼近全局最优解。问题的核心在于如何平衡全局探索（多起点抽样）与局部开发（局部搜索）的计算资源分配，并自适应地调整策略。

数学模型（示例）

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ & h_j(x) = 0, \quad j = 1, \ldots, p \\ & x_L \leq x \leq x_U \end{aligned} \]

其中 \(f, g_i, h_j\) 为连续可微函数，但 \(f\) 可能非凸。

解题思路

AMS-HOA 的核心思想是：

1. 多起点生成：利用空间填充设计（如拉丁超立方抽样）或聚类方法，在可行域内生成一组分散的初始点。
2. 局部搜索：从每个初始点出发，运行一个局部优化算法（如序列二次规划SQP或内点法）进行深度开发，得到候选局部最优解。
3. 自适应筛选与资源分配：根据局部搜索结果，动态评估各区域的潜力（例如，目标函数值、约束违反程度、局部搜索历史），调整后续计算资源——例如，对潜力大的区域增加新起点或进行更精细的局部搜索。
4. 收敛判定：当连续多次迭代未发现更优解，或计算资源耗尽时，选取所有候选解中最优者作为全局近似解。

详细步骤与讲解

步骤1：多起点初始生成

为了有效探索整个可行域，我们需要生成一组在空间上“均匀散布”的初始点。完全随机抽样（如均匀分布）可能导致点聚集，效率低下。因此常采用拉丁超立方抽样（LHS）。

拉丁超立方抽样步骤：

1. 将每个变量的取值范围 \([x_L^{(k)}, x_U^{(k)}]\) 划分为 \(N\) 个等宽的区间（\(N\) 为初始点数量）。
2. 在每个变量的 \(N\) 个区间中随机选择一个值，确保每个区间恰好被选中一次。
3. 将不同变量的选择随机配对，形成 \(N\) 个样本点。

举例：假设有2个变量，范围均为 [0,1]，生成 \(N=3\) 个点。

• 变量1的区间：[0,1/3), [1/3,2/3), [2/3,1]。随机选择每个区间中的一个值，如 0.2, 0.6, 0.9。
• 变量2同样操作，如 0.1, 0.7, 0.5。
• 随机配对：可能得到 (0.2, 0.7), (0.6, 0.1), (0.9, 0.5)。

这样确保了每个变量的所有区间都被覆盖，提高了空间填充性。

步骤2：局部搜索（从每个起点出发）

对每个初始点 \(x^{(0)}\)，调用一个局部优化器求解原问题。常用的局部算法有：

• 序列二次规划（SQP）：适用于光滑非线性约束问题。
• 内点法：适合大规模不等式约束。
• 梯度投影法：若约束较简单。

以SQP为例的简要过程：

1. 在当前迭代点 \(x_k\)，构造拉格朗日函数 \(L(x, \lambda) = f(x) + \sum \lambda_i g_i(x) + \sum \mu_j h_j(x)\)。
2. 求解二次规划子问题（近似Hessian用BFGS更新）得到搜索方向 \(d_k\)。
3. 沿 \(d_k\) 进行线搜索确定步长，更新 \(x_{k+1} = x_k + \alpha d_k\)。
4. 重复直到满足局部收敛条件（如KKT条件残差足够小）。

从每个起点出发，我们得到一个局部最优解 \(x^*_i\) 及其目标值 \(f_i^*\)。

步骤3：自适应筛选与资源分配

这是AMS-HOA的“自适应”核心。我们不是简单地对所有起点平等对待，而是根据已有结果动态调整。

评估潜力指标：

• 目标函数值：\(f_i^*\) 越小，该区域潜力越大。
• 约束违反度：若局部解违反约束，可给予惩罚。
• 局部搜索历史：如果从多个邻近起点都收敛到同一个局部解，说明该区域吸引力强，但可能已充分探索。
• 区域分散度：避免资源过度集中在已探索区域。

自适应策略：

1. 聚类分析：对所有得到的局部最优解 \(x^*_i\) 进行聚类（如k-means）。若某个聚类包含多个解，说明该区域已被多次探索，可减少对该类中新起点的分配。
2. 效益评估：对每个起点 \(i\)，定义“效益” \(B_i = -\log(f_i^* + \text{penalty})\)（值越大越好）。根据效益按比例分配额外计算资源（如增加该区域附近的新起点数量）。
3. 全局探索加强：若连续多次迭代未发现新局部最优，则扩大抽样范围或增加随机扰动，跳出当前聚集区域。

步骤4：收敛判定与输出

设定终止条件：

• 最大迭代次数：多起点循环的总次数。
• 改进停滞：连续 \(K\) 轮未找到比当前全局最优解 \(f_{\text{best}}\) 更优的解。
• 计算预算耗尽：如总函数评价次数达到上限。

最终输出所有局部最优解中目标值最小的一个 \(x_{\text{global}}^*\)，作为全局近似最优解。

算法伪代码

输入：目标函数 f，约束 g,h，变量边界 xL,xU，初始点数量 N，局部优化器 LocalOpt，最大循环次数 MaxCycles。
输出：全局近似最优解 x_best。

1. 使用拉丁超立方抽样生成 N 个初始点集合 S0。
2. 初始化全局最优解 x_best = None, f_best = +∞。
3. 初始化历史局部解集合 H = []。
4. For cycle = 1 to MaxCycles:
    a. 对当前起点集合 S 中的每个点 x0：
        - 调用 LocalOpt 从 x0 出发，得到局部最优解 x* 和 f*。
        - 记录 (x*, f*) 到 H。
        - 若 f* < f_best，更新 f_best = f*, x_best = x*。
    b. 对 H 中的局部解进行聚类，识别密集区域和稀疏区域。
    c. 根据潜力指标（目标值、约束违反、区域密度）计算每个区域的“资源权重”。
    d. 生成新一代起点集合 S_new：
        - 从潜力高的区域周围增加抽样点（如高斯扰动现有好解）。
        - 在稀疏区域补充随机点（保持探索）。
        - 移除潜力极低的区域对应起点。
    e. 若连续多次循环 f_best 未改进，则增加全局随机点比例（例如50%新点为纯随机）。
    f. 若满足收敛条件（如改进停滞且资源权重均衡），跳出循环。
5. 返回 x_best。

关键点总结

1. 全局探索：通过空间填充设计初始点，避免过早陷入局部最优。
2. 局部开发：利用成熟局部优化器快速收敛到局部最优。
3. 自适应机制：基于历史搜索结果动态调整起点分布，平衡探索与开发。
4. 计算效率：通过聚类和潜力评估，避免对无希望区域过度计算。

这种方法特别适用于低到中维（例如 \(n \leq 50\)）的非凸约束优化问题，其中函数评估成本可接受，且需要较高概率找到全局最优。