深度学习中的优化器之Adan算法原理与自适应学习率机制
字数 3704 2025-12-16 05:30:53

好的，我们开始一个新的题目。

深度学习中的优化器之Adan算法原理与自适应学习率机制

1. 题目描述

Adan（Adaptive Nesterov momentum）是一种在2022年提出的新型优化算法。它在深度学习训练中，尤其是在大规模模型（如大语言模型和视觉大模型）的训练中，表现出了优异的性能，经常能比AdamW等常用优化器更快地收敛到更好的解。

本题目的核心是理解Adan算法如何同时融合和改进了Nesterov动量（加速梯度）与自适应学习率（Adaptive Learning Rate）机制。具体来说，我们将剖析其独特的三步更新范式，深入探讨它如何高效地估计梯度、梯度的差分以及动量的差分，并分析其解耦权重衰减的设计。最终，我们将理解为什么Adan在理论上和实践中都能带来显著的加速效果。

2. 解题过程循序渐进讲解

为了让您清晰地理解Adan，我们将其拆解为几个关键步骤，并与我们熟悉的优化器（如SGD with Momentum和Adam）进行对比。

步骤一：回顾基础——传统优化器的局限
在深入Adan之前，我们先快速回顾两个经典优化器的核心思想：

  1. SGD with Nesterov Momentum： 它先根据当前的动量方向“向前看”一步，在那个“前瞻”位置计算梯度，然后用这个梯度来更新动量。这使得更新方向对未来的梯度变化有了一定的预见性，通常能减少振荡，加速收敛。公式简化表示为：先预估位置，再计算梯度更新动量。
  2. Adam： 它维护了两个状态——梯度的一阶矩（均值，类似动量）和二阶矩（未中心化的方差）。通过这两个矩的指数移动平均，它为每个参数自适应地调整学习率。优点是能处理稀疏梯度，学习率自适应。但Adam没有包含Nesterov的“前瞻”思想。

一个自然的想法是：能否将Adam的自适应学习率和Nesterov的加速思想结合起来？早期的尝试（如Nadam）虽然做了一些工作，但Adan的作者认为其结合方式并非最优，且理论收敛性分析复杂。

步骤二：Adan的核心洞察——估计“梯度”和“梯度的变化”
Adan的关键创新在于它不满足于只估计当前的梯度（如SGD Momentum）或梯度的历史平均（如Adam的一阶矩）。它认为，为了做出更精准的更新，算法还需要知道梯度是如何变化的，也就是梯度的差分（Difference）。

想象一下下山：只知道当前山坡的坡度（梯度）是不够的。如果你还能知道，再往前一步，坡度是会变陡还是变缓（梯度的变化），你就能更聪明地决定这一步跨多大。Nesterov Momentum通过“前瞻”间接地利用了未来梯度的信息，而Adan试图更直接地显式估计梯度的变化趋势。

步骤三：Adan算法的三步更新范式（详细推导）
Adan的更新过程分为三个清晰的步骤，我们逐一分解。设我们优化的目标函数为 \(f(\theta)\)，\(\theta\) 是模型参数，\(g_t = \nabla f_t(\theta_{t-1})\) 是在第 \(t\) 步、参数 \(\theta_{t-1}\) 处计算的随机梯度。

  1. 第一步：计算“外推”梯度
    这是Nesterov思想的体现。Adan先基于前两步的动量 \(m_{t-1}\) 和 \(m_{t-2}\)，对参数进行一个外推（Extrapolation），得到一个“前瞻点”。

\[ \theta_t^{ext} = \theta_{t-1} - \eta \cdot \beta_1 m_{t-1} - \eta \cdot \beta_2 m_{t-2} \]

这里 $\eta$ 是基础学习率，$\beta_1, \beta_2$ 是动量系数（通常 $\beta_2$ 较小）。然后，在这个外推点 $\theta_t^{ext}$ 计算梯度 $g_t^{ext} = \nabla f_t(\theta_t^{ext})$。这个 $g_t^{ext}$ 就融合了对未来梯度信息的预测。
  1. 第二步：更新三个核心状态变量
    Adan维护了三个状态变量，都是通过指数移动平均（EMA）更新的：
    • 动量 \(m_t\)： 这是对“外推梯度” \(g_t^{ext}\) 的估计。它直接指导参数更新的方向。

\[ m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t^{ext} \]

*   **梯度差分 $v_t$**： 这是Adan的独创。它估计的是**相邻两步梯度** $g_t^{ext}$ 和 $g_{t-1}^{ext}$ 的差分（变化趋势）。

\[ v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1 - \beta_2) (g_t^{ext} - g_{t-1}^{ext}) \]

    $v_t$ 捕捉了损失函数曲率（Hessian矩阵）的近似信息。如果梯度变化剧烈（曲率大），$v_t$ 的值会较大，提示算法需要更谨慎地更新。
*   **梯度平方和 $n_t$**： 这与Adam的二阶矩类似，是对外推梯度 $g_t^{ext}$ 的平方的估计，用于自适应缩放学习率。

\[ n_t = \beta_3 n_{t-1} + (1 - \beta_3) (g_t^{ext})^2 \]

    注意：这里使用的是 $g_t^{ext}$ 而不是普通的 $g_t$，这使其估计更具前瞻性。
  1. 第三步：执行参数更新
    最后，利用更新好的三个状态进行参数更新。

\[ \theta_t = \theta_{t-1} - \eta \cdot ( m_t + \beta_2 v_t ) \oslash (\sqrt{n_t} + \epsilon) \]

*   **更新方向**： 方向由 $ ( m_t + \beta_2 v_t ) $ 决定。这不仅仅是动量 $m_t$，还**额外加入了一个修正项 $\beta_2 v_t$**。这个修正项正是Adan的精华之一。如果梯度在快速变化（$v_t$ 大），它会调整更新方向，使其更贴合损失函数曲面的局部几何形状，从而可能绕过鞍点或窄谷。
*   **自适应学习率**： 每个参数的学习率被其对应的 $\sqrt{n_t}$ 缩放。这与Adam类似，使得对于频繁更新的参数（梯度历史平方和大），学习率较小；对于不频繁更新的参数，学习率较大。
*   **解耦权重衰减**： 在实际实现中，Adan通常采用AdamW风格的**解耦权重衰减**。这意味着权重衰减项不参与自适应学习率的计算，而是直接加在参数更新上，这被证明比传统的L2正则化（耦合权重衰减）更有效。

\[ \theta_t = (1 - \eta \lambda) \theta_{t-1} - \eta \cdot ( m_t + \beta_2 v_t ) \oslash (\sqrt{n_t} + \epsilon) \]

    其中 $\lambda$ 是权重衰减系数。

步骤四：总结Adan的优势

  1. 融合加速与自适应： 通过外推点计算梯度，继承了Nesterov动量的“前瞻性”加速优点。
  2. 显式曲率感知： 通过维护梯度差分 \(v_t\) 并将其用于更新方向，算法能够感知损失函数曲面的局部曲率变化，使其在病态条件（如峡谷形曲面、鞍点）下更鲁棒。
  3. 更稳定的自适应学习率： 基于外推梯度计算二阶矩 \(n_t\)，可能比Adam基于当前梯度计算的二阶矩更稳定、更具前瞻性。
  4. 理论保证： Adan在非凸优化问题下被证明具有良好的收敛速率。

步骤五：一个简单的比喻
把优化过程比作驾驶：

  • SGD Momentum： 司机只看着车头正前方（当前梯度），并保持一个惯性（动量）前进。
  • Adam： 司机不仅看前方，还会根据路况的波动（梯度大小）自动调节油门和刹车（自适应学习率），但不怎么“看远方”。
  • Adan： 这是一位更老练的司机。他会稍微探出头，看向车即将到达的前方一点（外推点计算梯度）。他不仅感受当前车速和路况，还会特意感受方向盘阻力或加速踏板阻力的变化趋势（梯度差分 \(v_t\)）。如果感觉到阻力在急剧增大（梯度变化快，可能前面是急弯或陡坡），他会提前、更柔和地调整方向盘（通过 \(\beta_2 v_t\) 修正方向），并结合自适应巡航（自适应学习率）来平稳、快速地通过复杂路段。

3. 总结

Adan算法通过其精心设计的三步更新范式——外推梯度计算、维护梯度差分状态、以及融合差分修正的更新方向——成功地将Nesterov的加速思想与强大的自适应学习率机制深度结合。它不仅仅是Adam和Nesterov的简单叠加，而是通过引入“梯度差分”这一新视角，提供了对优化路径更精细的控制，从而在实践中实现了更快的收敛速度和更好的最终性能。

好的，我们开始一个新的题目。 深度学习中的优化器之Adan算法原理与自适应学习率机制 1. 题目描述 Adan（Adaptive Nesterov momentum）是一种在2022年提出的新型优化算法。它在深度学习训练中，尤其是在大规模模型（如大语言模型和视觉大模型）的训练中，表现出了优异的性能，经常能比AdamW等常用优化器更快地收敛到更好的解。 本题目的核心是理解Adan算法如何 同时融合和改进了Nesterov动量（加速梯度）与自适应学习率（Adaptive Learning Rate）机制 。具体来说，我们将剖析其独特的 三步更新范式 ，深入探讨它如何 高效地估计梯度、梯度的差分以及动量的差分 ，并分析其 解耦权重衰减 的设计。最终，我们将理解为什么Adan在理论上和实践中都能带来显著的加速效果。 2. 解题过程循序渐进讲解 为了让您清晰地理解Adan，我们将其拆解为几个关键步骤，并与我们熟悉的优化器（如SGD with Momentum和Adam）进行对比。 步骤一：回顾基础——传统优化器的局限 在深入Adan之前，我们先快速回顾两个经典优化器的核心思想： SGD with Nesterov Momentum ： 它先根据当前的动量方向“向前看”一步，在那个“前瞻”位置计算梯度，然后用这个梯度来更新动量。这使得更新方向对未来的梯度变化有了一定的预见性，通常能减少振荡，加速收敛。公式简化表示为：先预估位置，再计算梯度更新动量。 Adam ： 它维护了两个状态——梯度的一阶矩（均值，类似动量）和二阶矩（未中心化的方差）。通过这两个矩的指数移动平均，它为每个参数自适应地调整学习率。优点是能处理稀疏梯度，学习率自适应。但Adam没有包含Nesterov的“前瞻”思想。 一个自然的想法是：能否将Adam的自适应学习率和Nesterov的加速思想结合起来？早期的尝试（如Nadam）虽然做了一些工作，但Adan的作者认为其结合方式并非最优，且理论收敛性分析复杂。 步骤二：Adan的核心洞察——估计“梯度”和“梯度的变化” Adan的关键创新在于它不满足于只估计当前的梯度（如SGD Momentum）或梯度的历史平均（如Adam的一阶矩）。它认为，为了做出更精准的更新，算法还需要知道 梯度是如何变化的 ，也就是梯度的差分（Difference）。 想象一下下山：只知道当前山坡的坡度（梯度）是不够的。如果你还能知道，再往前一步，坡度是会变陡还是变缓（梯度的变化），你就能更聪明地决定这一步跨多大。Nesterov Momentum通过“前瞻”间接地利用了未来梯度的信息，而Adan试图更直接地 显式估计梯度的变化趋势 。 步骤三：Adan算法的三步更新范式（详细推导） Adan的更新过程分为三个清晰的步骤，我们逐一分解。设我们优化的目标函数为 \( f(\theta) \)，\(\theta\) 是模型参数，\( g_ t = \nabla f_ t(\theta_ {t-1}) \) 是在第 \(t\) 步、参数 \(\theta_ {t-1}\) 处计算的随机梯度。 第一步：计算“外推”梯度 这是Nesterov思想的体现。Adan先基于前两步的动量 \(m_ {t-1}\) 和 \(m_ {t-2}\)，对参数进行一个 外推 （Extrapolation），得到一个“前瞻点”。 \[ \theta_ t^{ext} = \theta_ {t-1} - \eta \cdot \beta_ 1 m_ {t-1} - \eta \cdot \beta_ 2 m_ {t-2} \] 这里 \(\eta\) 是基础学习率，\(\beta_ 1, \beta_ 2\) 是动量系数（通常 \(\beta_ 2\) 较小）。然后，在这个外推点 \(\theta_ t^{ext}\) 计算梯度 \(g_ t^{ext} = \nabla f_ t(\theta_ t^{ext})\)。这个 \(g_ t^{ext}\) 就融合了对未来梯度信息的预测。 第二步：更新三个核心状态变量 Adan维护了三个状态变量，都是通过指数移动平均（EMA）更新的： 动量 \(m_ t\) ： 这是对“外推梯度” \(g_ t^{ext}\) 的估计。它直接指导参数更新的方向。 \[ m_ t = \beta_ 1 m_ {t-1} + (1 - \beta_ 1) g_ t^{ext} \] 梯度差分 \(v_ t\) ： 这是Adan的独创。它估计的是 相邻两步梯度 \(g_ t^{ext}\) 和 \(g_ {t-1}^{ext}\) 的差分（变化趋势）。 \[ v_ t = \beta_ 2 v_ {t-1} + (1 - \beta_ 2) (g_ t^{ext} - g_ {t-1}^{ext}) \] \(v_ t\) 捕捉了损失函数曲率（Hessian矩阵）的近似信息。如果梯度变化剧烈（曲率大），\(v_ t\) 的值会较大，提示算法需要更谨慎地更新。 梯度平方和 \(n_ t\) ： 这与Adam的二阶矩类似，是对外推梯度 \(g_ t^{ext}\) 的平方的估计，用于自适应缩放学习率。 \[ n_ t = \beta_ 3 n_ {t-1} + (1 - \beta_ 3) (g_ t^{ext})^2 \] 注意：这里使用的是 \(g_ t^{ext}\) 而不是普通的 \(g_ t\)，这使其估计更具前瞻性。 第三步：执行参数更新 最后，利用更新好的三个状态进行参数更新。 \[ \theta_ t = \theta_ {t-1} - \eta \cdot ( m_ t + \beta_ 2 v_ t ) \oslash (\sqrt{n_ t} + \epsilon) \] 更新方向 ： 方向由 \( ( m_ t + \beta_ 2 v_ t ) \) 决定。这不仅仅是动量 \(m_ t\)，还 额外加入了一个修正项 \(\beta_ 2 v_ t\) 。这个修正项正是Adan的精华之一。如果梯度在快速变化（\(v_ t\) 大），它会调整更新方向，使其更贴合损失函数曲面的局部几何形状，从而可能绕过鞍点或窄谷。 自适应学习率 ： 每个参数的学习率被其对应的 \(\sqrt{n_ t}\) 缩放。这与Adam类似，使得对于频繁更新的参数（梯度历史平方和大），学习率较小；对于不频繁更新的参数，学习率较大。 解耦权重衰减 ： 在实际实现中，Adan通常采用AdamW风格的 解耦权重衰减 。这意味着权重衰减项不参与自适应学习率的计算，而是直接加在参数更新上，这被证明比传统的L2正则化（耦合权重衰减）更有效。 \[ \theta_ t = (1 - \eta \lambda) \theta_ {t-1} - \eta \cdot ( m_ t + \beta_ 2 v_ t ) \oslash (\sqrt{n_ t} + \epsilon) \] 其中 \(\lambda\) 是权重衰减系数。 步骤四：总结Adan的优势 融合加速与自适应 ： 通过外推点计算梯度，继承了Nesterov动量的“前瞻性”加速优点。 显式曲率感知 ： 通过维护梯度差分 \(v_ t\) 并将其用于更新方向，算法能够感知损失函数曲面的局部曲率变化，使其在病态条件（如峡谷形曲面、鞍点）下更鲁棒。 更稳定的自适应学习率 ： 基于外推梯度计算二阶矩 \(n_ t\)，可能比Adam基于当前梯度计算的二阶矩更稳定、更具前瞻性。 理论保证 ： Adan在非凸优化问题下被证明具有良好的收敛速率。 步骤五：一个简单的比喻 把优化过程比作驾驶： SGD Momentum ： 司机只看着车头正前方（当前梯度），并保持一个惯性（动量）前进。 Adam ： 司机不仅看前方，还会根据路况的波动（梯度大小）自动调节油门和刹车（自适应学习率），但不怎么“看远方”。 Adan ： 这是一位更老练的司机。他会稍微探出头，看向车即将到达的前方一点（外推点计算梯度）。他不仅感受当前车速和路况，还会特意感受 方向盘阻力或加速踏板阻力的变化趋势 （梯度差分 \(v_ t\)）。如果感觉到阻力在急剧增大（梯度变化快，可能前面是急弯或陡坡），他会提前、更柔和地调整方向盘（通过 \( \beta_ 2 v_ t \) 修正方向），并结合自适应巡航（自适应学习率）来平稳、快速地通过复杂路段。 3. 总结 Adan算法通过其精心设计的三步更新范式—— 外推梯度计算、维护梯度差分状态、以及融合差分修正的更新方向 ——成功地将Nesterov的加速思想与强大的自适应学习率机制深度结合。它不仅仅是Adam和Nesterov的简单叠加，而是通过引入“梯度差分”这一新视角，提供了对优化路径更精细的控制，从而在实践中实现了更快的收敛速度和更好的最终性能。