好的，我随机选择一道你尚未讲过的区间动态规划题目。

分割回文串 III

题目描述

给你一个由小写字母组成的字符串 s，以及一个整数 k。
你需要将 s 分割成 k 个非空连续子串。
对于每个子串，如果它不是回文串，你可以修改其中的字符（每次修改可以将一个字符改为任意小写字母），使该子串变成回文串。
请你返回最少需要修改的字符数，使得所有 k 个子串都是回文串。

示例

• 输入：s = "abc", k = 2
  输出：1
  解释：分割成 "ab" 和 "c"，将 "ab" 改为 "aa"（修改 1 次），即可满足。

约束

• 1 <= k <= s.length <= 100
• s 仅包含小写字母

解题过程

步骤 1：问题拆解与思路

我们有两个任务：

1. 将 s 分成 k 个连续非空子串。
2. 对每个子串，计算它变成回文串的最少修改次数。
3. 目标：所有子串修改次数之和最小。

区间动态规划适合解决这种分割型问题，因为分割点位置会影响子串的修改代价。

步骤 2：预处理子串修改代价

设 cost[i][j] 表示将子串 s[i:j]（左闭右闭，即下标从 i 到 j）变成回文串的最少修改次数。
如何计算 cost[i][j]？

• 对于子串 s[i..j]，要变成回文，需要 s[i] 与 s[j] 相等，否则修改其中一个，计数一次。
• 如果长度 ≤ 1，本身就是回文，修改次数为 0。
• 可以用动态规划或直接双指针计算：
  从两端向中间比对，不同则计数 +1。

转移方程：

cost[i][j] = cost[i+1][j-1] + (s[i] != s[j])

这里 cost[i][j] 可以通过递推得到，从短区间向长区间计算。

示例：s = "abc"

• cost[0][2]：比较 'a' 与 'c'，不同，所以看中间 "b"，长度为 1，cost[1][1]=0，因此 cost[0][2] = 0 + 1 = 1。

实现细节：

n = len(s)
cost = [[0]*n for _ in range(n)]
for length in range(2, n+1):
    for i in range(0, n-length+1):
        j = i+length-1
        if length == 2:
            cost[i][j] = 0 if s[i]==s[j] else 1
        else:
            cost[i][j] = cost[i+1][j-1] + (0 if s[i]==s[j] else 1)

注意：当 length=1 时，cost[i][i]=0，初始化已默认。

步骤 3：定义主 DP 状态

设 dp[p][i] 表示将 s[0..i]（前 i+1 个字符）分割成 p 个子串的最少修改次数。

• p 从 1 到 k
• i 从 0 到 n-1

初始条件：

• p=1 时，dp[1][i] = cost[0][i]（前 i+1 个字符作为一个子串的修改代价）

步骤 4：状态转移

要计算 dp[p][i]，考虑最后一个子串的起始位置 j：

• 前 p-1 个子串覆盖 s[0..j-1]，最后一个子串是 s[j..i]。
• 则总代价 = dp[p-1][j-1] + cost[j][i]
• 枚举所有可能的 j（即最后一个子串的起点），取最小值。

转移方程：

dp[p][i] = min{ dp[p-1][j-1] + cost[j][i] }，其中 p-1 <= j <= i

注意：j 必须 ≥ p-1（因为前 p-1 个子串至少需要 p-1 个字符），且 j ≥ 1（因为前一部分至少有一个字符）。
当 p=1 时直接由 cost 得到。

步骤 5：最终答案

dp[k][n-1] 即为将整个字符串分成 k 个子串的最小修改次数。

步骤 6：示例推演

s = "abc", k = 2

1. 计算 cost：

cost[0][0]=0, cost[1][1]=0, cost[2][2]=0
cost[0][1] = (a!=b) -> 1
cost[1][2] = (b!=c) -> 1
cost[0][2] = cost[1][1] + (a!=c) = 0+1 = 1

2. dp 表初始化（p=1）：
   dp[1][0] = cost[0][0] = 0
dp[1][1] = cost[0][1] = 1
dp[1][2] = cost[0][2] = 1

3. 计算 p=2：
   dp[2][1]：i=1，分割成 2 个子串，枚举 j=1（前 1 个子串覆盖 s[0..0]，后一个覆盖 s[1..1]）：
   dp[1][0] + cost[1][1] = 0+0=0
   所以 dp[2][1] = 0

dp[2][2]：i=2，枚举 j=1 或 2

• j=1：dp[1][0]+cost[1][2] = 0+1=1
• j=2：dp[1][1]+cost[2][2] = 1+0=1
  取 min = 1

所以最终 dp[2][2] = 1，答案 1。

步骤 7：复杂度分析

• 预处理 cost：O(n²)
• dp 计算：O(k·n²)
  总复杂度 O(k·n²)，n ≤ 100，可行。

总结

这道题是区间 DP + 分割型 DP 的结合：

1. 用区间 DP 预处理任意子串变回文的最小修改次数。
2. 用分割 DP 选择最优的分割点，使得总修改次数最小。