好的，我注意到你的已讲题目列表非常详尽。为了避免重复，我从区间动态规划的经典题库中，挑选一个 尚未出现过 的题目。这个题目不仅考察基础的区间定义，还涉及对区间内“状态”的建模，是一个很好的进阶练习。 区间动态规划例题：带权值的石子合并（最大化总价值，且每次合并成本与区间总质量相关） 题目描述 假设有一排 n 堆石子，排成一个数组 stones[0..n-1] 。每堆石子有两个属性： 质量 m[i] （正整数）。 价值 v[i] （整数，可正可负）。 游戏规则如下： 你每次可以选择 相邻的两堆石子 i 和 i+1 进行合并。 合并后，原来的两堆消失，新生成的一堆会放在它们原来的位置。 新堆的 质量 是原来两堆质量之和： m_new = m[i] + m[i+1] 。 新堆的 价值 是原来两堆价值之和： v_new = v[i] + v[i+1] 。 本次合并操作带来的 “收益” 计算公式为： 收益 = m_new * (v[i] + v[i+1]) 。注意，这里 m_new 是新堆的总质量， (v[i]+v[i+1]) 就是新堆的价值 v_new 。所以这个收益也可以理解为 新堆质量 * 新堆价值 。 游戏一直进行，直到将所有石子合并成一堆。 你的目标是 ：找到一种合并顺序，使得在整个合并过程中， 所有单次合并的收益之和最大 。你需要计算出这个最大的总收益。 输入示例 ： n = 4 质量 m = [3, 2, 5, 4] 价值 v = [2, -1, 3, 2] 输出 ：一个整数，表示最大总收益。 解题思路分析 这个题目是“石子合并”问题的一个复杂变种。与经典的最小化合并代价不同，这里我们 最大化收益 ，且收益的计算 依赖于区间内石子的总质量和总价值 。 核心挑战在于，当我们合并一个区间时，这个区间最终会变成一个“大堆”，这个大堆的质量和价值，是区间内所有原始堆的质量之和与价值之和。而我们在决定如何分割这个区间（即先合并哪两部分）时，需要知道左右两个子区间最终形成的“大堆”的质量和价值，才能计算合并它们时的收益。 1. 状态定义 我们需要一个状态来完整描述一个区间 [i, j] 经过一系列最优合并后形成的最终状态。 定义 dp[i][j] 为：将第 i 堆到第 j 堆石子（闭区间） 合并成一堆 后，所能获得的最大总收益。 但是，仅仅有最大收益还不够。为了计算更大区间的收益，我们还需要知道这个最终堆的 总质量 和 总价值 。因为它们是大区间合并时收益计算 (m_left + m_right) * (v_left + v_right) 的必备参数。 因此，我们需要扩展状态，同时存储两个信息： sumM[i][j] ：区间 [i, j] 内所有石子的 总质量 。这个值在游戏过程中是 守恒 的，无论怎么合并，最终堆的质量都是这个总和。所以我们可以预先计算前缀和来快速得到它。 sumV[i][j] ：区间 [i, j] 内所有石子的 总价值 。同样，这也是守恒的。 由于 sumM 和 sumV 可以独立计算， dp[i][j] 的状态转移就可以只聚焦于“最大收益”。 2. 状态转移方程 我们考虑大区间 [i, j] 的最后一次合并。它一定是由某个分界点 k ( i <= k < j ) 将区间分成左右两部分 [i, k] 和 [k+1, j] ，然后分别将这两部分合并成两堆，最后将这两堆合并。 设： 左区间 [i, k] 合并后的最大收益为 dp[i][k] ，总质量为 sumM[i][k] ，总价值为 sumV[i][k] 。 右区间 [k+1, j] 合并后的最大收益为 dp[k+1][j] ，总质量为 sumM[k+1][j] ，总价值为 sumV[k+1][j] 。 那么，将左右两堆最终合并的这一次操作，带来的收益是： merge_gain = (sumM[i][k] + sumM[k+1][j]) * (sumV[i][k] + sumV[k+1][j]) 。 根据定义， sumM[i][k] + sumM[k+1][j] 正是整个大区间 [i, j] 的总质量 sumM[i][j] 。 sumV[i][k] + sumV[k+1][j] 正是整个大区间 [i, j] 的总价值 sumV[i][j] 。 所以， merge_gain = sumM[i][j] * sumV[i][j] 。这是一个惊人的发现： 最后一步合并的收益，只与整个区间的总质量和总价值有关，与如何分割（k的选择）无关！ 因此，对于区间 [i, j] 的总收益 dp[i][j] ，其状态转移方程为： dp[i][j] = max(dp[i][k] + dp[k+1][j]) + sumM[i][j] * sumV[i][j] ，其中 i <= k < j 。 解释 ： dp[i][j] 等于所有可能的分割方式中， 左右子区间自身内部合并的最大收益之和 的最大值，再加上 最后合并左右子区间的那一步固定收益 。 3. 初始化 对于单堆石子（区间长度为1），不需要合并，所以收益为0。 dp[i][i] = 0 ，对于所有 i 。 sumM[i][i] = m[i] sumV[i][i] = v[i] 4. 计算顺序 典型的区间DP顺序：按 区间长度 从小到大计算。 先计算所有长度为1的区间（初始化）。 再计算长度为2的区间： dp[i][i+1] = 0 + 0 + sumM[i][i+1] * sumV[i][i+1] 。 然后计算长度为3，长度为4，...，直到长度为 n 。 5. 最终答案 整个数组 [0, n-1] 合并成一堆的最大总收益就是 dp[0][n-1] 。 详细解题步骤（以示例为例） 输入： n = 4 m = [3, 2, 5, 4] v = [2, -1, 3, 2] 步骤1：预处理总质量和总价值 我们可以用前缀和快速计算任意区间的 sumM 和 sumV 。 prefixM = [3, 5, 10, 14] // 质量前缀和 prefixV = [2, 1, 4, 6] // 价值前缀和 sumM[i][j] = prefixM[j] - (i>0 ? prefixM[i-1] : 0) sumV[i][j] = prefixV[j] - (i>0 ? prefixV[i-1] : 0) 为了清晰，我们手动列出所有区间： sumM[0][0]=3 , sumV[0][0]=2 sumM[1][1]=2 , sumV[1][1]=-1 sumM[2][2]=5 , sumV[2][2]=3 sumM[3][3]=4 , sumV[3][3]=2 sumM[0][1]=5 , sumV[0][1]=1 sumM[1][2]=7 , sumV[1][2]=2 sumM[2][3]=9 , sumV[2][3]=5 sumM[0][2]=10 , sumV[0][2]=4 sumM[1][3]=11 , sumV[1][3]=4 sumM[0][3]=14 , sumV[0][3]=6 步骤2：DP表初始化与计算 创建一个 n x n 的 dp 表，初始为0。 长度 L=1 : dp[0][0]=0 , dp[1][1]=0 , dp[2][2]=0 , dp[3][3]=0 长度 L=2 : [0,1] : dp[0][1] = dp[0][0]+dp[1][1] + sumM[0][1]*sumV[0][1] = 0+0 + 5*1 = 5 [1,2] : dp[1][2] = 0+0 + 7*2 = 14 [2,3] : dp[2][3] = 0+0 + 9*5 = 45 长度 L=3 : [0,2] : 分界点 k 可以是0或1。 k=0 : 分成 [0,0] 和 [1,2] 。收益 = dp[0][0]+dp[1][2] + sumM[0][2]*sumV[0][2] = 0+14 + 10*4 = 54 k=1 : 分成 [0,1] 和 [2,2] 。收益 = dp[0][1]+dp[2][2] + 10*4 = 5+0 + 40 = 45 取最大值 max(54, 45) = 54 。所以 dp[0][2] = 54 。 [1,3] : 分界点 k 可以是1或2。 k=1 : [1,1] & [2,3] : 0 + 45 + 11*4 = 45 + 44 = 89 k=2 : [1,2] & [3,3] : 14 + 0 + 44 = 58 取最大值 max(89, 58) = 89 。所以 dp[1][3] = 89 。 长度 L=4 : [0,3] : 分界点 k 可以是0, 1, 2。 k=0 : [0,0] & [1,3] : 0 + 89 + sumM[0][3]*sumV[0][3] = 89 + 14*6 = 89+84=173 k=1 : [0,1] & [2,3] : 5 + 45 + 84 = 134 k=2 : [0,2] & [3,3] : 54 + 0 + 84 = 138 取最大值 max(173, 134, 138) = 173 。所以 dp[0][3] = 173 。 步骤3：得出答案 最终答案 dp[0][3] = 173 。 关键点总结与扩展思考 状态设计的技巧 ：本题的关键在于识别出，虽然我们需要知道子区间的质量和价值，但它们都是 可加 的 区间属性 ，与合并顺序无关。因此可以用独立的前缀和数组（或区间DP时累加计算）来获取，从而让 dp 状态只关注“最大收益”。 收益的独立性 ：最后一步合并的收益 sumM[i][j] * sumV[i][j] 是一个常数，这在化简状态转移方程时起到了决定性作用。这使得问题变成了：寻找一个分割点，使得左右两个子区间 内部合并的收益之和 最大。 与经典石子合并的区别 ：经典问题是 dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j]) + sumWeight[i][j] ，其中 sumWeight[i][j] 是区间总质量（代价因子）。在本问题中， sumM[i][j]*sumV[i][j] 相当于那个“附加代价”，但它是加在最后，且计算方式不同。 算法复杂度 ：状态数 O(n^2) ，每个状态需要枚举 O(n) 个分割点，总时间复杂度为 O(n^3) ，空间复杂度为 O(n^2) 。对于 n 在几百的量级是可行的。 你可以尝试修改题目，例如让合并收益的计算方式变成 (v_left + v_right) * (m_left - m_right) ，那么最后一步的收益就不再是常数，而是依赖于左右子区间的质量差，状态设计就需要相应地存储更多信息，难度会进一步提升。