序列凸近似信赖域反射混合算法进阶题：带有非凸不等式与等式约束的高维非光滑优化问题
题目描述
考虑以下高维、非光滑、非凸的约束优化问题：
问题P：
\[\begin{aligned} \min_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} &\quad f(\mathbf{x}) \\ \text{s.t.} &\quad g_i(\mathbf{x}) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ &\quad h_j(\mathbf{x}) = 0, \quad j = 1, \dots, p, \\ &\quad \mathbf{x}_L \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{x}_U. \end{aligned} \]
其中：
- 决策变量 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\)，维度 \(n\) 很大（例如 \(n \geq 1000\)）。
- 目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是非光滑（不可微或包含绝对值、最大值等非光滑算子）且非凸的。
- 不等式约束函数 \(g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和等式约束函数 \(h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是非线性的、非凸的，且可能是非光滑的。
- 变量边界 \(\mathbf{x}_L, \mathbf{x}_U\) 是给定的。
这个问题的挑战在于：
- 高维度：直接应用全局优化方法或二阶方法计算成本过高。
- 非光滑性：梯度信息可能不存在或不稳定，传统基于梯度的算法（如SQP）可能失效。
- 非凸性：约束集和目标函数都是非凸的，可能存在多个局部极值点。
- 混合约束：同时存在非线性不等式、等式和边界约束。
我们的目标是：设计一个序列凸近似信赖域反射混合算法，在可接受的计算成本下，找到一个满足约束的局部最优解或强稳定点。
解题过程循序渐进讲解
我们将结合序列凸近似（SCA）、信赖域（TR） 和反射梯度投影思想，构建一个混合算法。核心思路是：在每一步迭代，用一个构造良好的凸近似子问题来逼近原问题，并在一个信赖域内求解该子问题，同时利用反射技巧处理边界约束以保证可行性。
步骤1：问题重构与光滑化处理
由于原问题非光滑，我们首先引入一个光滑近似。
- 技巧：对于常见的非光滑项，如 \(\phi(\mathbf{x}) = \max(0, q(\mathbf{x}))\) 或 \(\|\mathbf{Ax} - \mathbf{b}\|_1\)，可以使用诸如Huber函数或对数-指数平滑（LogSumExp） 进行光滑化。
- 示例：对于绝对值项 \(|t|\)，可以用 \(\sqrt{t^2 + \epsilon}\) 近似，其中 \(\epsilon > 0\) 是一个小参数。
- 结果：经过（自适应）光滑化后，我们得到一个光滑化的问题 \(\tilde{P}\)，其目标 \(\tilde{f}(\mathbf{x})\) 和约束 \(\tilde{g}_i(\mathbf{x}), \tilde{h}_j(\mathbf{x})\) 是连续可微的，但依然非凸。
步骤2：构建序列凸近似子问题
在第 \(k\) 次迭代，当前点为 \(\mathbf{x}_k\)。我们对光滑化后的函数进行凸近似。
- 目标函数近似：对于非凸但连续可微的 \(\tilde{f}(\mathbf{x})\)，在其一阶泰勒展开基础上，增加一个强凸项（通常是二次正则项），使其变为一个凸的代理函数。
\[ \hat{f}_k(\mathbf{x}) = \tilde{f}(\mathbf{x}_k) + \nabla \tilde{f}(\mathbf{x}_k)^T (\mathbf{x} - \mathbf{x}_k) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{x}_k)^T \mathbf{D}_k (\mathbf{x} - \mathbf{x}_k) \]
其中 $\mathbf{D}_k$ 是一个对称正定矩阵（例如 $\sigma_k \mathbf{I}$，$\sigma_k > 0$），确保 $\hat{f}_k$ 是强凸的。
-
约束函数近似：对每个非凸约束函数 \(\tilde{g}_i(\mathbf{x})\)，我们也构建一个凸的上界近似 \(\hat{g}_{i,k}(\mathbf{x})\)，使得在 \(\mathbf{x}_k\) 处：
- \(\hat{g}_{i,k}(\mathbf{x}_k) = \tilde{g}_i(\mathbf{x}_k)\)。
- \(\nabla \hat{g}_{i,k}(\mathbf{x}_k) = \nabla \tilde{g}_i(\mathbf{x}_k)\)。
- \(\hat{g}_{i,k}(\mathbf{x}) \geq \tilde{g}_i(\mathbf{x})\) 对所有 \(\mathbf{x}\)（或至少在信赖域内）成立。
一个常见方法是利用凸包络或简单的一阶泰勒上界（对于特定结构的函数，如差分凸函数）。对于等式约束 \(\tilde{h}_j(\mathbf{x})=0\)，通常直接线性化为 \(\tilde{h}_j(\mathbf{x}_k) + \nabla \tilde{h}_j(\mathbf{x}_k)^T (\mathbf{x} - \mathbf{x}_k) = 0\)，但这可能导致子问题不可行，因此更常用的是将其放松为两个不等式约束，或纳入罚函数。
-
形成凸子问题：
\[ \begin{aligned} (\text{SP}_k): \min_{\mathbf{s} \in \mathbb{R}^n} &\quad \hat{f}_k(\mathbf{x}_k + \mathbf{s}) \\ \text{s.t.} &\quad \hat{g}_{i,k}(\mathbf{x}_k + \mathbf{s}) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ &\quad \tilde{h}_j(\mathbf{x}_k) + \nabla \tilde{h}_j(\mathbf{x}_k)^T \mathbf{s} = 0, \quad j = 1, \dots, p, \\ &\quad \mathbf{x}_L \leq \mathbf{x}_k + \mathbf{s} \leq \mathbf{x}_U, \\ &\quad \|\mathbf{s}\| \leq \Delta_k. \end{aligned} \]
这里 $\mathbf{s} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_k$ 是移动步长，$\Delta_k > 0$ 是当前的信赖域半径。增加信赖域约束 $\|\mathbf{s}\| \leq \Delta_k$ 是为了保证近似模型的有效性。
步骤3：信赖域反射（Trust Region Reflection）求解子问题
子问题 \((\text{SP}_k)\) 是一个凸优化问题，但由于有信赖域约束和边界约束，直接求解可能仍需迭代。我们采用反射梯度投影法的思想来高效求解。
- 反射变换处理边界：对于边界约束 \(\mathbf{x}_L \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{x}_U\)，当迭代点靠近或碰到边界时，标准的梯度下降方向可能指向可行域外。反射法的思想是，当遇到边界时，不是简单地将投影回可行域，而是计算一个“反射方向”，仿佛从边界“弹回”，这样可以探索沿着边界移动的可能性，可能带来更快的收敛。
- 结合信赖域的梯度投影：我们可以设计一个内点算法或投影梯度法的变种来求解 \((\text{SP}_k)\)。算法框架如下（在求解每个子问题时内部循环）：
- 初始化：从 \(\mathbf{s}^{(0)} = \mathbf{0}\)（即 \(\mathbf{x}_k\)）开始。
- 梯度计算：计算凸目标 \(\hat{f}_k\) 在 \(\mathbf{s}^{(t)}\) 处的梯度 \(\mathbf{g}^{(t)}\)。
- 反射投影步：
- 计算一个试探步 \(\mathbf{d}^{(t)}\)（例如，最速下降方向 \(-\mathbf{g}^{(t)}\) 或拟牛顿方向）。
- 如果沿 \(\mathbf{d}^{(t)}\) 移动会违反信赖域或边界约束，则计算一个反射步：将试探步沿违反的边界进行镜面反射，得到一个新的搜索方向。
- 将反射后的方向投影回信赖域和边界的交集内，得到一个可行的移动步长 \(\alpha^{(t)}\) 和更新 \(\mathbf{s}^{(t+1)} = \mathbf{s}^{(t)} + \alpha^{(t)} \mathbf{p}^{(t)}\)，其中 \(\mathbf{p}^{(t)}\) 是处理后的可行方向。
- 收敛判断：检查子问题 (\(\text{SP}_k\)) 的KKT条件是否近似满足。若满足，则停止内部循环，得到子问题解 \(\mathbf{s}_k^*\) 和候选点 \(\mathbf{x}_k^+ = \mathbf{x}_k + \mathbf{s}_k^*\)。
步骤4：接受准则与信赖域半径更新
得到候选点 \(\mathbf{x}_k^+\) 后，我们需要判断是否接受该点，并更新信赖域半径 \(\Delta_k\)。这通过比较实际函数下降量与模型预测下降量的比率 \(\rho_k\) 来决定。
- 实际下降量：\(\text{Ared}_k = \Phi(\mathbf{x}_k) - \Phi(\mathbf{x}_k^+)\)。
- 预测下降量：\(\text{Pred}_k = \hat{\Phi}_k(\mathbf{x}_k) - \hat{\Phi}_k(\mathbf{x}_k^+)\)。
其中 \(\Phi(\mathbf{x}) = \tilde{f}(\mathbf{x}) + \mu \sum_i \max(0, \tilde{g}_i(\mathbf{x}))^2 + \mu \sum_j \tilde{h}_j(\mathbf{x})^2\) 是光滑化问题的精确罚函数（\(\mu\) 是罚参数），\(\hat{\Phi}_k\) 是对应的凸近似模型。 - 比率计算：\(\rho_k = \frac{\text{Ared}_k}{\text{Pred}_k}\)。
- 更新策略：
- 如果 \(\rho_k \geq \eta_1\)（例如 \(\eta_1 = 0.01\)），接受该步：\(\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k^+\)。
- 否则，拒绝该步：\(\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k\)。
- 信赖域半径更新：
- 如果 \(\rho_k \geq \eta_2\)（例如 \(\eta_2 = 0.75\)），说明模型拟合很好，下一次可以尝试更大步长：\(\Delta_{k+1} = \min(\gamma_1 \Delta_k, \Delta_{\max})\)。
- 如果 \(\rho_k < \eta_1\)，说明模型拟合很差，需要收缩信赖域：\(\Delta_{k+1} = \gamma_2 \Delta_k\)。
- 其他情况，保持半径不变：\(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。
这里 \(0 < \gamma_2 < 1 < \gamma_1\)，\(\Delta_{\max}\) 是最大半径。
步骤5：算法流程与收敛性
将上述步骤整合，形成完整算法：
- 初始化：给定初始点 \(\mathbf{x}_0\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，罚参数 \(\mu > 0\)，光滑化参数 \(\epsilon > 0\)，凸化参数 \(\sigma_0 > 0\)，以及常数 \(0 < \eta_1 \leq \eta_2 < 1\)， \(0 < \gamma_2 < 1 < \gamma_1\)， \(k=0\)。
- 光滑化：使用当前参数 \(\epsilon\) 构造光滑化问题 \(\tilde{P}\)。
- 主循环（直到满足收敛条件）：
a. 构建凸近似：在 \(\mathbf{x}_k\) 处，构造凸代理目标 \(\hat{f}_k\) 和凸代理约束 \(\hat{g}_{i,k}\)、线性化等式约束。
b. 求解子问题：使用信赖域反射方法（步骤3）求解凸子问题 (\(\text{SP}_k\))，得到步长 \(\mathbf{s}_k^*\) 和候选点 \(\mathbf{x}_k^+\)。
c. 计算比率：计算实际下降与预测下降的比率 \(\rho_k\)。
d. 接受/拒绝步长并更新半径：根据步骤4的规则更新 \(\mathbf{x}_{k+1}\) 和 \(\Delta_{k+1}\)。
e. 参数更新：可自适应更新凸化参数 \(\sigma_k\)（例如，基于模型误差）和罚参数 \(\mu\)。
f. 检查收敛：判断是否满足停止准则（例如，信赖域半径小于阈值 \(\Delta_k \leq \epsilon_{tol}\)，且最优性条件残差足够小）。
g. 令 \(k = k+1\)。
收敛性：在适当的假设下（如代理函数是原函数的一致凸上近似，且罚参数足够大），该算法生成的序列 \(\{\mathbf{x}_k\}\) 的任何聚点都是原光滑化问题 \(\tilde{P}\) 的一个稳定点。通过让光滑化参数 \(\epsilon \to 0\)，该稳定点可以逼近原非光滑问题 \(P\) 的一个Clarke稳定点。
总结
本算法序列凸近似（SCA） 处理非凸性，用信赖域（TR） 控制近似模型的局部有效性，用反射梯度投影高效处理子问题中的边界约束，并用罚函数处理等式约束。通过这种混合策略，它能够系统性地求解高维、非光滑、非凸的约束优化问题，在工程优化、机器学习参数调优等领域有应用潜力。其核心挑战在于如何为复杂的非凸函数构造既紧（保证精度）又易求解的凸近似，以及如何自适应地调整信赖域半径和罚参数以保证收敛效率。