基于线性规划的图最大流问题的多终端扩展模型（多源点多汇点）求解示例

字数 2300 2025-12-16 01:26:43

基于线性规划的图最大流问题的多终端扩展模型（多源点多汇点）求解示例

题目描述
我们考虑一个多源点、多汇点的最大流问题。在一个有向图G=(V, E)中，每条边e∈E有一个非负容量c(e)。与经典单源单汇最大流问题不同，现在我们指定一个源点集合S ⊆ V和一个汇点集合T ⊆ V，其中S和T不相交。目标是从源点集合S向汇点集合T发送尽可能多的流，使得每条边上的流量不超过其容量，且除了源点和汇点外，每个中间节点的流量守恒。
更形式化地，我们需要最大化从S发出的总净流量（或流入T的总净流量），并满足以下约束：

边的容量约束：0 ≤ f(e) ≤ c(e)
节点流量守恒：对于每个节点v ∈ V \ (S ∪ T)，流入流量等于流出流量。
源点和汇点的净流量：源点可以有净流出，汇点可以有净流入，但同一个节点不能同时是源点和汇点。
这个模型在网络通信、交通分配、资源分配等场景中很常见，例如多个数据中心（源点）向多个用户终端（汇点）传输数据。

解题过程
我们将采用添加超级源点和超级汇点的方法，将多源点多汇点问题转化为等价的单源单汇最大流问题，然后用经典算法（如Edmonds-Karp算法）求解，最后解释结果。

步骤1：问题转化

在原有向图G中添加一个虚拟超级源点s和一个虚拟超级汇点t**。
从s向每个实际源点s∈S添加一条有向边(s→s)，容量设为无穷大（或一个足够大的数，例如所有实际边的容量之和）。
从每个实际汇点t∈T向t添加一条有向边(t→t)，容量同样设为无穷大。
原图G中的所有边保留原有容量。
这样，新图G中的单源单汇最大流问题（从s到t*）的最优值就等于原多源点多汇点问题的最大流值。因为从s出发的无穷大边允许每个实际源点流出任意所需流量，而流入t的无穷大边允许每个实际汇点接收任意所需流量。

步骤2：建立线性规划模型
定义决策变量x_ij表示从节点i到节点j的边上的流量。以转化后的单源单汇图G为例，线性规划模型为：
目标：最大化从s流出的总流量（等价于流入t*的总流量）
约束：

容量约束：0 ≤ x_ij ≤ c_ij，对所有边(i,j)∈E*（E是G的边集）
流量守恒：对每个节点v∈V（V是原图节点集），流入流量等于流出流量。注意：这里s只有流出，t只有流入，其他节点（包括原S和T中的节点）都满足流量平衡。
写成线性规划标准形式：
Maximize ∑{(s*,j)∈E*} x{sj}
subject to:
∑_{(i,v)∈E} x_{iv} = ∑{(v,j)∈E*} x{vj}, ∀v∈V （注意这里V包含原图所有节点，但s和t是后加的，所以需单独处理）
0 ≤ x_e ≤ c_e, ∀e∈E*

步骤3：用Edmonds-Karp算法求解
我们将转化后的问题用Edmonds-Karp算法（最短增广路算法）求解。该算法是Ford-Fulkerson方法的一种实现，每次用BFS寻找最短（边数最少）的增广路径，并沿路径增加流量，直到没有增广路为止。
算法步骤：

初始化所有边流量为0。
在残留网络中，用BFS从s到t寻找一条路径。
如果存在路径，找出路径上最小的残留容量，并沿路径增加等量流量，更新残留网络。
重复步骤2-3，直到BFS找不到路径。
最终，从s*发出的总流量就是最大流值。
由于Edmonds-Karp算法的时间复杂度是O(VE^2)，可以高效求解。

步骤4：从解中恢复原问题流分布
求解后，我们得到转化后图G*上每条边的最优流量x_e。原问题的解是这些流量在原图G的边上的取值。

原图G中每条边e∈E的流量就是x_e。
每个实际源点s∈S的净流出量等于流入它的超级源点边上的流量（即x_{s*→s}）。
每个实际汇点t∈T的净流入量等于从它流出的超级汇点边上的流量（即x_{t→t*}）。
总的最大流值等于所有实际源点的净流出量之和，也等于所有实际汇点的净流入量之和。

步骤5：正确性说明
添加超级源汇的方法之所以正确，是因为：

超级源点s*到实际源点的边容量无穷大，不会限制从实际源点流出的总量。
实际汇点到超级汇点的边容量无穷大，不会限制流入实际汇点的总量。
转化后图的任何可行s*-t*流都对应原图的一个可行多源多汇流（只需忽略添加的边），反之亦然。
因此，转化后图的最大流值等于原问题的最大流值。

步骤6：示例
假设一个简单有向图：节点1,2为源点，节点3,4为汇点，边及容量为：(1→3,2), (1→4,3), (2→3,4), (2→4,1)。
转化：添加s和t，边(s*→1, ∞), (s*→2, ∞), (3→t*, ∞), (4→t*, ∞)。
用Edmonds-Karp算法求解s*-t*最大流：

增广路1：s*→1→4→t*，流量3，更新后边1→4满。
增广路2：s*→1→3→t*，流量2，更新后边1→3满。
增广路3：s*→2→3→t*，流量2，更新后边2→3剩余2。
增广路4：s*→2→4→t*，流量1，更新后边2→4满。
此时已无增广路。总流量=3+2+2+1=8。
原问题最大流值为8，各边流量：1→3:2, 1→4:3, 2→3:2, 2→4:1。源点1流出5，源点2流出3；汇点3流入4，汇点4流入4。

这个多源点多汇点模型通过添加超级源汇转化为经典问题，是网络流中常见的建模技巧，可广泛应用于多起点多终点的运输或通信问题。

基于线性规划的图最大流问题的多终端扩展模型（多源点多汇点）求解示例题目描述我们考虑一个多源点、多汇点的最大流问题。在一个有向图G=(V, E)中，每条边e∈E有一个非负容量c(e)。与经典单源单汇最大流问题不同，现在我们指定一个源点集合S ⊆ V 和一个汇点集合T ⊆ V ，其中S和T不相交。目标是从源点集合S向汇点集合T发送尽可能多的流，使得每条边上的流量不超过其容量，且除了源点和汇点外，每个中间节点的流量守恒。更形式化地，我们需要最大化从S发出的总净流量（或流入T的总净流量），并满足以下约束：边的容量约束：0 ≤ f(e) ≤ c(e) 节点流量守恒：对于每个节点v ∈ V \ (S ∪ T)，流入流量等于流出流量。源点和汇点的净流量：源点可以有净流出，汇点可以有净流入，但同一个节点不能同时是源点和汇点。这个模型在网络通信、交通分配、资源分配等场景中很常见，例如多个数据中心（源点）向多个用户终端（汇点）传输数据。解题过程我们将采用添加超级源点和超级汇点的方法，将多源点多汇点问题转化为等价的单源单汇最大流问题，然后用经典算法（如Edmonds-Karp算法）求解，最后解释结果。步骤1：问题转化在原有向图G中添加一个虚拟超级源点s 和一个虚拟超级汇点t ** 。从s 向每个实际源点s∈S添加一条有向边(s →s)，容量设为无穷大（或一个足够大的数，例如所有实际边的容量之和）。从每个实际汇点t∈T向t 添加一条有向边(t→t )，容量同样设为无穷大。原图G中的所有边保留原有容量。这样，新图G 中的单源单汇最大流问题（从s 到t* ）的最优值就等于原多源点多汇点问题的最大流值。因为从s 出发的无穷大边允许每个实际源点流出任意所需流量，而流入t 的无穷大边允许每个实际汇点接收任意所需流量。步骤2：建立线性规划模型定义决策变量x_ ij表示从节点i到节点j的边上的流量。以转化后的单源单汇图G 为例，线性规划模型为：目标：最大化从s 流出的总流量（等价于流入t* 的总流量）约束：容量约束：0 ≤ x_ ij ≤ c_ ij，对所有边(i,j)∈E* （E 是G 的边集）流量守恒：对每个节点v∈V（V是原图节点集），流入流量等于流出流量。注意：这里s 只有流出，t 只有流入，其他节点（包括原S和T中的节点）都满足流量平衡。写成线性规划标准形式： Maximize ∑ {(s* ,j)∈E* } x {s j} subject to: ∑_ {(i,v)∈E } x_ {iv} = ∑ {(v,j)∈E* } x {vj}, ∀v∈V （注意这里V包含原图所有节点，但s 和t 是后加的，所以需单独处理） 0 ≤ x_ e ≤ c_ e, ∀e∈E* 步骤3：用Edmonds-Karp算法求解我们将转化后的问题用Edmonds-Karp算法（最短增广路算法）求解。该算法是Ford-Fulkerson方法的一种实现，每次用BFS寻找最短（边数最少）的增广路径，并沿路径增加流量，直到没有增广路为止。算法步骤：初始化所有边流量为0。在残留网络中，用BFS从s 到t 寻找一条路径。如果存在路径，找出路径上最小的残留容量，并沿路径增加等量流量，更新残留网络。重复步骤2-3，直到BFS找不到路径。最终，从s* 发出的总流量就是最大流值。由于Edmonds-Karp算法的时间复杂度是O(VE^2)，可以高效求解。步骤4：从解中恢复原问题流分布求解后，我们得到转化后图G* 上每条边的最优流量x_ e。原问题的解是这些流量在原图G的边上的取值。原图G中每条边e∈E的流量就是x_ e。每个实际源点s∈S的净流出量等于流入它的超级源点边上的流量（即x_ {s* →s}）。每个实际汇点t∈T的净流入量等于从它流出的超级汇点边上的流量（即x_ {t→t* }）。总的最大流值等于所有实际源点的净流出量之和，也等于所有实际汇点的净流入量之和。步骤5：正确性说明添加超级源汇的方法之所以正确，是因为：超级源点s* 到实际源点的边容量无穷大，不会限制从实际源点流出的总量。实际汇点到超级汇点的边容量无穷大，不会限制流入实际汇点的总量。转化后图的任何可行s* -t* 流都对应原图的一个可行多源多汇流（只需忽略添加的边），反之亦然。因此，转化后图的最大流值等于原问题的最大流值。步骤6：示例假设一个简单有向图：节点1,2为源点，节点3,4为汇点，边及容量为：(1→3,2), (1→4,3), (2→3,4), (2→4,1)。转化：添加s 和t ，边(s* →1, ∞), (s* →2, ∞), (3→t* , ∞), (4→t* , ∞)。用Edmonds-Karp算法求解s* -t* 最大流：增广路1：s* →1→4→t* ，流量3，更新后边1→4满。增广路2：s* →1→3→t* ，流量2，更新后边1→3满。增广路3：s* →2→3→t* ，流量2，更新后边2→3剩余2。增广路4：s* →2→4→t* ，流量1，更新后边2→4满。此时已无增广路。总流量=3+2+2+1=8。原问题最大流值为8，各边流量：1→3:2, 1→4:3, 2→3:2, 2→4:1。源点1流出5，源点2流出3；汇点3流入4，汇点4流入4。这个多源点多汇点模型通过添加超级源汇转化为经典问题，是网络流中常见的建模技巧，可广泛应用于多起点多终点的运输或通信问题。