多边形三角剖分的最低得分问题 题目描述： 给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序编号为0, 1, 2, ..., n-1。每个顶点有一个权重值，表示该顶点的数值。将多边形三角剖分成n-2个三角形，每个三角形的得分是三个顶点权重的乘积。求所有三角形得分之和的最小值。 更形式化地说：给定一个数组values，其中values[ i ]表示第i个顶点的权重。我们需要找到一种三角剖分方式，使得所有三角形的得分之和最小。 解题过程： 问题分析： 凸多边形的三角剖分是通过不相交的对角线将多边形分割成三角形 每个三角形由三个相邻顶点组成 总得分是所有三角形三个顶点权重的乘积之和 我们需要找到得分最小的三角剖分方案 定义状态： 令dp[ i][ j ]表示从顶点i到顶点j（包含i和j）形成的多边形进行三角剖分的最小得分 我们的目标是求dp[ 0][ n-1 ] 状态转移方程： 当多边形只有3个顶点时（三角形），dp[ i][ j] = values[ i] × values[ j] × values[ k ]（其中k是i和j之间的顶点） 对于更大的多边形，我们需要选择一个基准边ik，然后考虑所有可能的分割点k 状态转移：dp[ i][ j] = min(dp[ i][ k] + dp[ k][ j] + values[ i] × values[ k] × values[ j ])，其中k从i+1到j-1 具体步骤： 初始化：对角线dp[ i][ i]和dp[ i][ i+1 ]为0（两点或一点不能形成多边形） 按区间长度从小到大计算： 长度=2：三角形（3个顶点） 长度=3：四边形（4个顶点） 依此类推... 示例说明： 假设顶点权重为[ 1, 2, 3, 4 ]，对应顶点0,1,2,3： 计算三角形(0,1,2)：得分=1×2×3=6 计算三角形(1,2,3)：得分=2×3×4=24 计算四边形(0,1,2,3)： 分割点1：三角形(0,1,3)和(1,2,3)，得分=1×2×4 + 2×3×4=8+24=32 分割点2：三角形(0,2,3)和(0,1,2)，得分=1×3×4 + 1×2×3=12+6=18 最小得分=min(32,18)=18 算法实现要点： 使用双重循环，外层循环控制区间长度，内层循环控制区间起点 内层循环遍历所有可能的分割点 时间复杂度O(n³)，空间复杂度O(n²) 这个问题的关键在于理解多边形剖分的递归结构，以及如何通过动态规划避免重复计算子问题。