基于线性规划的图Steiner树问题的原始-对偶近似算法求解示例
字数 4556 2025-12-15 23:52:04

基于线性规划的图Steiner树问题的原始-对偶近似算法求解示例

题目描述

考虑一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中每条边 \(e \in E\) 具有非负费用 \(c_e \ge 0\)。给定一个终端结点集合 \(T \subseteq V\)（\(T\) 非空），目标是找到一个连通子图 \(H \subseteq G\)，使得 \(H\) 包含 \(T\) 中的所有终端结点（可以包含非终端结点，称为 Steiner 结点），并且使得 \(H\) 中所有边的总费用最小。这个最小费用连通子图称为 Steiner 树。本问题是 NP-难问题，我们将设计一个基于线性规划松弛的原始-对偶近似算法，在多项式时间内给出一个近似解，并分析其近似比。

解题过程

我们将循序渐进地讲解如何构建整数规划模型、其线性规划松弛、对偶线性规划，然后设计原始-对偶近似算法，并通过一个具体例子演示算法步骤。

步骤1：建立整数规划模型

我们引入变量 \(x_e \in \{0,1\}\) 表示边 \(e\) 是否被选入 Steiner 树。对于任意结点集合 \(S \subseteq V\)，用 \(\delta(S)\) 表示一个端点在 \(S\) 内、另一个端点在 \(S\) 外的边集。为了保证所有终端结点连通，必须要求：对于任意满足 \(S \cap T \ne \emptyset\) 且 \(T \setminus S \ne \emptyset\) 的结点集 \(S \subset V\)（即 \(S\) 包含部分终端结点但不包含所有终端结点），至少有一条被选边横跨 \(S\) 的边界（即连接 \(S\) 内部和外部的边）。于是得到整数规划：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in E} c_e x_e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in \delta(S)} x_e \ge 1, \quad \forall S \subset V, S \cap T \neq \emptyset, T \setminus S \neq \emptyset \\ & x_e \in \{0,1\}, \quad \forall e \in E \end{aligned} \]

约束条件称为“割条件”，确保任意将终端结点分开的割中至少有一条边被选。

步骤2：线性规划松弛及其对偶

将整数变量松弛为连续变量得到线性规划（原始线性规划）：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in E} c_e x_e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in \delta(S)} x_e \ge 1, \quad \forall S \subset V, S \cap T \neq \emptyset, T \setminus S \neq \emptyset \\ & x_e \ge 0, \quad \forall e \in E \end{aligned} \]

对每个满足条件的集合 \(S\) 引入对偶变量 \(y_S \ge 0\)，则对偶线性规划为：

\[\begin{aligned} \max \quad & \sum_{S} y_S \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{S: e \in \delta(S)} y_S \le c_e, \quad \forall e \in E \\ & y_S \ge 0, \quad \forall S \subset V, S \cap T \neq \emptyset, T \setminus S \neq \emptyset \end{aligned} \]

对偶约束的意义是：每条边 \(e\) 所关联的所有割的对偶变量之和不超过该边的费用。

步骤3：原始-对偶近似算法设计

算法基本思想：从对偶可行解 \(y_S=0\) 出发，逐步增大某些对偶变量，使得某些边对应的对偶约束变紧（等号成立），然后选取这些边构造原始可行解（即 Steiner 树）。具体步骤如下：

  1. 初始化：

    • 对偶变量 \(y_S \leftarrow 0\) 对所有满足条件的 \(S\)。
    • 原始解 \(F \leftarrow \emptyset\)（最终选取的边集）。
    • 每个终端结点初始为一个“活动组件”（component），组件的结点集就是该终端结点自身。

  2. 迭代增长对偶变量：

    • 只要存在活动组件（即包含终端结点且尚未连接到其他终端组件的连通块），就同时增加所有活动组件对应的对偶变量 \(y_C\)（这里 \(C\) 表示当前活动组件的结点集）。
    • 增加过程中，当某条边 \(e\) 的对偶约束变紧（即 \(\sum_{S: e \in \delta(S)} y_S = c_e\)），则将边 \(e\) 加入一个临时集合 \(TightEdges\)，但暂时不加入 \(F\)。

  3. 合并组件：

    • 当边 \(e\) 连接两个不同的活动组件时，该边会使得两个组件合并。此时，将 \(e\) 加入 \(F\)，并将这两个活动组件合并为一个新的组件，新组件仍然是活动的（因为它包含终端结点，除非它包含了所有终端结点）。
    • 重复步骤2-3，直到所有终端结点都在同一个组件中（即 Steiner 树已连通所有终端）。

  4. 剪枝冗余边：

    • 最后得到的 \(F\) 可能包含一些非终端叶子结点（Steiner 结点）上的叶子边，这些边对连通终端不是必需的，可以从叶子到根进行后序遍历，删除那些不在任何终端之间关键路径上的叶子边（即删除那些以 Steiner 结点为叶子且该 Steiner 结点度数为1的边），得到最终的 Steiner 树 \(F'\)。

此算法是原始-对偶方法的一种实现，其近似比为 \(2(1 - 1/|T|)\)，即最坏情况下解的费用不超过最优解的 \(2(1 - 1/|T|)\) 倍。

步骤4：实例演示

考虑下图（结点编号1-5，边费用如图）：

  • 结点集 \(V = \{1,2,3,4,5\}\)
  • 终端集合 \(T = \{1,3,5\}\)
  • 边及费用：\(e_{12}=2, e_{23}=3, e_{34}=1, e_{45}=2, e_{15}=4, e_{24}=2\)
    1
   /|\
 2/ | \4
 /  |  \
2---3---5
  3   2
   \ /
    4
    1

（上图仅为示意，实际边为：1-2(2), 2-3(3), 3-4(1), 4-5(2), 1-5(4), 2-4(2)，结点4为非终端结点）

算法执行：

  1. 初始活动组件：{1}, {3}, {5}，分别对应对偶变量 \(y_{\{1\}}, y_{\{3\}}, y_{\{5\}}\)。
  2. 同时增加这三个对偶变量。当增加到 0.5 时，检查哪些边变紧：
    • 边1-2：约束涉及组件{1}（因为1在组件内，2在外），对偶和=\(y_{\{1\}}=0.5<2\)，未紧。
    • 边3-4：约束涉及组件{3}，对偶和=0.5<1，未紧。
    • 继续增加...
      为简化，我们手动模拟：当增加到1时，边3-4的费用为1，约束变紧（因为此时只有组件{3}贡献对偶值1）。但3-4连接组件{3}和结点4（非终端，属于一个新组件，目前单独一个结点不算活动组件，暂时不合并）。我们继续增加对偶变量，同时观察其他边。
  3. 实际上，标准算法中，只有当一条边连接两个不同的活动组件时才加入 \(F\)。我们持续增加对偶变量，直到某条边连接两个活动组件：
    • 假设增加到 \(y_{\{1\}}=2, y_{\{3\}}=1, y_{\{5\}}=2\) 时：
      • 边1-2：对偶和=\(y_{\{1\}}=2 = c_{12}=2\)，变紧，连接组件{1}和结点2（非终端，暂不处理）。
      • 边3-4：对偶和=\(y_{\{3\}}=1 = c_{34}=1\)，变紧，连接组件{3}和结点4。
      • 边4-5：对偶和=\(y_{\{5\}}=2 = c_{45}=2\)，变紧，连接组件{5}和结点4。
        现在，边3-4和4-5连接了组件{3}、结点4、组件{5}。注意结点4连接了两个不同活动组件{3}和{5}，通过边3-4和4-5间接连接。算法中，当边连接两个不同活动组件时，将其加入 \(F\) 并合并组件。这里，边3-4连接组件{3}和结点4（非活动），边4-5连接结点4和组件{5}，所以并未直接连接两个活动组件。但当我们加入边3-4后，组件{3}扩展为{3,4}（仍为活动，因为包含终端3），此时边4-5连接活动组件{3,4}和活动组件{5}，满足条件，因此加入边4-5，合并为组件{3,4,5}。
  4. 现在活动组件为{1}和{3,4,5}。继续增加它们的对偶变量：
    • 增加到 \(y_{\{1\}}=2+1=3, y_{\{3,4,5\}}=0+?\)，注意合并后新组件的对偶变量初始为0，但我们可以继续增加。实际上，更简单的方法是：当组件合并后，原来的对偶变量不再增加，而是开始增加新组件的对偶变量。为简化，我们直接寻找连接组件{1}和{3,4,5}的边：
      候选边：1-2（费用2）已变紧，但结点2不在组件{3,4,5}中；边1-5（费用4）连接组件{1}和结点5（结点5在组件{3,4,5}中），但其对偶和=\(y_{\{1\}}+y_{\{3,4,5\}}\)，若 \(y_{\{3,4,5\}}\) 增加到1，则和为4，等于费用，变紧。因此加入边1-5，合并所有终端。
  5. 此时 \(F = \{3-4, 4-5, 1-5\}\)。总费用=1+2+4=7。
  6. 剪枝：检查叶子结点，结点4是Steiner结点，度数为2（边3-4和4-5），不是叶子，无需剪枝。最终Steiner树为边集{1-5,3-4,4-5}，总费用7。

注意：此例中，最优Steiner树可能是边{1-2,2-4,4-5,4-3}，费用=2+2+2+1=7，或者{1-2,2-4,4-5,1-5}费用=2+2+2+4=10等。我们的解费用7等于最优解（可能不唯一），说明算法在此例给出了最优解。

步骤5：算法近似比分析

该算法的近似比为 \(2(1-1/|T|)\)，推导基于对偶可行解和原始整数解之间的比较。简要思路：最终树中每条边被“支付”了对偶变量的和，每个割的对偶变量贡献最多被计算两次（因为树是连通的，每条边最多属于两个不同方向增长的组件）。详细证明需用到对偶互补松弛条件及树的结构性质，由于篇幅有限不再展开。

总结

我们介绍了Steiner树问题的整数规划建模、线性规划松弛、对偶规划，并给出了一个原始-对偶近似算法的详细步骤，通过一个小例子演示了算法过程，并提到了算法的近似比保证。这个算法可以在多项式时间内运行，并得到质量有保证的近似解。

基于线性规划的图Steiner树问题的原始-对偶近似算法求解示例 题目描述 考虑一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中每条边 \(e \in E\) 具有非负费用 \(c_ e \ge 0\)。给定一个终端结点集合 \(T \subseteq V\)（\(T\) 非空），目标是找到一个连通子图 \(H \subseteq G\)，使得 \(H\) 包含 \(T\) 中的所有终端结点（可以包含非终端结点，称为 Steiner 结点），并且使得 \(H\) 中所有边的总费用最小。这个最小费用连通子图称为 Steiner 树。本问题是 NP-难问题，我们将设计一个基于线性规划松弛的原始-对偶近似算法，在多项式时间内给出一个近似解，并分析其近似比。 解题过程 我们将循序渐进地讲解如何构建整数规划模型、其线性规划松弛、对偶线性规划，然后设计原始-对偶近似算法，并通过一个具体例子演示算法步骤。 步骤1：建立整数规划模型 我们引入变量 \(x_ e \in \{0,1\}\) 表示边 \(e\) 是否被选入 Steiner 树。对于任意结点集合 \(S \subseteq V\)，用 \(\delta(S)\) 表示一个端点在 \(S\) 内、另一个端点在 \(S\) 外的边集。为了保证所有终端结点连通，必须要求：对于任意满足 \(S \cap T \ne \emptyset\) 且 \(T \setminus S \ne \emptyset\) 的结点集 \(S \subset V\)（即 \(S\) 包含部分终端结点但不包含所有终端结点），至少有一条被选边横跨 \(S\) 的边界（即连接 \(S\) 内部和外部的边）。于是得到整数规划： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {e \in E} c_ e x_ e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {e \in \delta(S)} x_ e \ge 1, \quad \forall S \subset V, S \cap T \neq \emptyset, T \setminus S \neq \emptyset \\ & x_ e \in \{0,1\}, \quad \forall e \in E \end{aligned} \] 约束条件称为“割条件”，确保任意将终端结点分开的割中至少有一条边被选。 步骤2：线性规划松弛及其对偶 将整数变量松弛为连续变量得到线性规划（原始线性规划）： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {e \in E} c_ e x_ e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {e \in \delta(S)} x_ e \ge 1, \quad \forall S \subset V, S \cap T \neq \emptyset, T \setminus S \neq \emptyset \\ & x_ e \ge 0, \quad \forall e \in E \end{aligned} \] 对每个满足条件的集合 \(S\) 引入对偶变量 \(y_ S \ge 0\)，则对偶线性规划为： \[ \begin{aligned} \max \quad & \sum_ {S} y_ S \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {S: e \in \delta(S)} y_ S \le c_ e, \quad \forall e \in E \\ & y_ S \ge 0, \quad \forall S \subset V, S \cap T \neq \emptyset, T \setminus S \neq \emptyset \end{aligned} \] 对偶约束的意义是：每条边 \(e\) 所关联的所有割的对偶变量之和不超过该边的费用。 步骤3：原始-对偶近似算法设计 算法基本思想：从对偶可行解 \(y_ S=0\) 出发，逐步增大某些对偶变量，使得某些边对应的对偶约束变紧（等号成立），然后选取这些边构造原始可行解（即 Steiner 树）。具体步骤如下： 初始化 ： 对偶变量 \(y_ S \leftarrow 0\) 对所有满足条件的 \(S\)。 原始解 \(F \leftarrow \emptyset\)（最终选取的边集）。 每个终端结点初始为一个“活动组件”（component），组件的结点集就是该终端结点自身。 迭代增长对偶变量 ： 只要存在活动组件（即包含终端结点且尚未连接到其他终端组件的连通块），就同时增加所有活动组件对应的对偶变量 \(y_ C\)（这里 \(C\) 表示当前活动组件的结点集）。 增加过程中，当某条边 \(e\) 的对偶约束变紧（即 \(\sum_ {S: e \in \delta(S)} y_ S = c_ e\)），则将边 \(e\) 加入一个临时集合 \(TightEdges\)，但暂时不加入 \(F\)。 合并组件 ： 当边 \(e\) 连接两个不同的活动组件时，该边会使得两个组件合并。此时，将 \(e\) 加入 \(F\)，并将这两个活动组件合并为一个新的组件，新组件仍然是活动的（因为它包含终端结点，除非它包含了所有终端结点）。 重复步骤2-3，直到所有终端结点都在同一个组件中（即 Steiner 树已连通所有终端）。 剪枝冗余边 ： 最后得到的 \(F\) 可能包含一些非终端叶子结点（Steiner 结点）上的叶子边，这些边对连通终端不是必需的，可以从叶子到根进行后序遍历，删除那些不在任何终端之间关键路径上的叶子边（即删除那些以 Steiner 结点为叶子且该 Steiner 结点度数为1的边），得到最终的 Steiner 树 \(F'\)。 此算法是原始-对偶方法的一种实现，其近似比为 \(2(1 - 1/|T|)\)，即最坏情况下解的费用不超过最优解的 \(2(1 - 1/|T|)\) 倍。 步骤4：实例演示 考虑下图（结点编号1-5，边费用如图）： 结点集 \(V = \{1,2,3,4,5\}\) 终端集合 \(T = \{1,3,5\}\) 边及费用：\(e_ {12}=2, e_ {23}=3, e_ {34}=1, e_ {45}=2, e_ {15}=4, e_ {24}=2\) （上图仅为示意，实际边为：1-2(2), 2-3(3), 3-4(1), 4-5(2), 1-5(4), 2-4(2)，结点4为非终端结点） 算法执行 ： 初始活动组件：\{1\}, \{3\}, \{5\}，分别对应对偶变量 \(y_ {\{1\}}, y_ {\{3\}}, y_ {\{5\}}\)。 同时增加这三个对偶变量。当增加到 0.5 时，检查哪些边变紧： 边1-2：约束涉及组件\{1\}（因为1在组件内，2在外），对偶和=\(y_ {\{1\}}=0.5 <2\)，未紧。 边3-4：约束涉及组件\{3\}，对偶和=0.5 <1，未紧。 继续增加... 为简化，我们手动模拟：当增加到1时，边3-4的费用为1，约束变紧（因为此时只有组件\{3\}贡献对偶值1）。但3-4连接组件\{3\}和结点4（非终端，属于一个新组件，目前单独一个结点不算活动组件，暂时不合并）。我们继续增加对偶变量，同时观察其他边。 实际上，标准算法中，只有当一条边连接两个不同的活动组件时才加入 \(F\)。我们持续增加对偶变量，直到某条边连接两个活动组件： 假设增加到 \(y_ {\{1\}}=2, y_ {\{3\}}=1, y_ {\{5\}}=2\) 时： 边1-2：对偶和=\(y_ {\{1\}}=2 = c_ {12}=2\)，变紧，连接组件\{1\}和结点2（非终端，暂不处理）。 边3-4：对偶和=\(y_ {\{3\}}=1 = c_ {34}=1\)，变紧，连接组件\{3\}和结点4。 边4-5：对偶和=\(y_ {\{5\}}=2 = c_ {45}=2\)，变紧，连接组件\{5\}和结点4。 现在，边3-4和4-5连接了组件\{3\}、结点4、组件\{5\}。注意结点4连接了两个不同活动组件\{3\}和\{5\}，通过边3-4和4-5间接连接。算法中，当边连接两个不同活动组件时，将其加入 \(F\) 并合并组件。这里，边3-4连接组件\{3\}和结点4（非活动），边4-5连接结点4和组件\{5\}，所以并未直接连接两个活动组件。但当我们加入边3-4后，组件\{3\}扩展为\{3,4\}（仍为活动，因为包含终端3），此时边4-5连接活动组件\{3,4\}和活动组件\{5\}，满足条件，因此加入边4-5，合并为组件\{3,4,5\}。 现在活动组件为\{1\}和\{3,4,5\}。继续增加它们的对偶变量： 增加到 \(y_ {\{1\}}=2+1=3, y_ {\{3,4,5\}}=0+?\)，注意合并后新组件的对偶变量初始为0，但我们可以继续增加。实际上，更简单的方法是：当组件合并后，原来的对偶变量不再增加，而是开始增加新组件的对偶变量。为简化，我们直接寻找连接组件\{1\}和\{3,4,5\}的边： 候选边：1-2（费用2）已变紧，但结点2不在组件\{3,4,5\}中；边1-5（费用4）连接组件\{1\}和结点5（结点5在组件\{3,4,5\}中），但其对偶和=\(y_ {\{1\}}+y_ {\{3,4,5\}}\)，若 \(y_ {\{3,4,5\}}\) 增加到1，则和为4，等于费用，变紧。因此加入边1-5，合并所有终端。 此时 \(F = \{3-4, 4-5, 1-5\}\)。总费用=1+2+4=7。 剪枝：检查叶子结点，结点4是Steiner结点，度数为2（边3-4和4-5），不是叶子，无需剪枝。最终Steiner树为边集\{1-5,3-4,4-5\}，总费用7。 注意：此例中，最优Steiner树可能是边\{1-2,2-4,4-5,4-3\}，费用=2+2+2+1=7，或者\{1-2,2-4,4-5,1-5\}费用=2+2+2+4=10等。我们的解费用7等于最优解（可能不唯一），说明算法在此例给出了最优解。 步骤5：算法近似比分析 该算法的近似比为 \(2(1-1/|T|)\)，推导基于对偶可行解和原始整数解之间的比较。简要思路：最终树中每条边被“支付”了对偶变量的和，每个割的对偶变量贡献最多被计算两次（因为树是连通的，每条边最多属于两个不同方向增长的组件）。详细证明需用到对偶互补松弛条件及树的结构性质，由于篇幅有限不再展开。 总结 我们介绍了Steiner树问题的整数规划建模、线性规划松弛、对偶规划，并给出了一个原始-对偶近似算法的详细步骤，通过一个小例子演示了算法过程，并提到了算法的近似比保证。这个算法可以在多项式时间内运行，并得到质量有保证的近似解。