SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 ι (Iota) 步骤详解
字数 3755 2025-12-15 23:35:05

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 ι (Iota) 步骤详解

你好！我将为你讲解 SHA-3 哈希算法（核心是 Keccak 海绵结构）中，轮函数 Keccak-f 的最后一个步骤——ι 步骤。这个步骤虽然看起来简单，但其设计精巧，对整个算法的非线性和安全性有至关重要的作用。我们将从问题背景、核心概念，再到具体的计算过程，循序渐进地进行解析。

题目背景

SHA-3 是美国国家标准与技术研究院（NIST）在 2012 年通过哈希算法竞赛选出的新一代标准哈希算法，其核心是 Keccak 哈希函数。Keccak 采用“海绵结构”来处理任意长度的输入，并输出指定长度的哈希值。而海绵结构中的“吸收”和“挤压”阶段，都反复调用一个固定的置换函数，称为 Keccak-f。

Keccak-f 函数对内部状态（一个三维的比特数组）进行多轮（SHA-3标准为24轮）的混淆和扩散。每一轮包含5个步骤，按顺序为：

  1. θ (Theta)： 提供列之间的扩散。
  2. ρ (Rho)： 提供行内的位旋转扩散。
  3. π (Pi)： 提供行与行之间的置换。
  4. χ (Chi)： 提供非线性混淆，是主要的非线性来源。
  5. ι (Iota)： 为每一轮添加一个独特的轮常数，打破轮函数内部的对称性，并确保每轮都不同。

我们今天的主角就是最后一步：ι 步骤。

解题过程

第一步：理解 Keccak 的内部状态表示

在深入 ι 步骤之前，必须理解 Keccak 操作的“数据块”是什么样的。

Keccak 的内部状态被表示为一个三维的比特数组，其大小为 5×5×w。其中：

  • w 是“字长”，即每个“车道”的比特数。在 SHA-3 标准中，使用的是 Keccak-f[1600]，即总状态大小为 1600 比特。因为 5×5×w = 1600，所以 w = 64 比特。
  • 我们可以把这个状态想象成一个 5 行、5 列的“平面”，而每一“格”不是一个简单的比特，而是一个“车道”——一个长度为 w=64 比特的向量，从垂直于平面的方向延伸出去。所以状态是三维的。

状态中的任何一个比特可以用三个坐标 (x, y, z) 表示：

  • x (0到4)： 列坐标
  • y (0到4)： 行坐标
  • z (0到63)： 在车道内的深度坐标（比特位置）

ι 步骤的操作对象是 x=0, y=0 的这一条车道，即最左上角的那条 64 比特长的车道。

第二步：ι 步骤的目的

在每轮轮函数中，前四步（θ, ρ, π, χ）都是完全确定的、与轮数无关的线性或非线性变换。如果仅仅重复这些步骤，整个置换会呈现很强的代数结构，可能导致对称性攻击或固定点（输出等于输入的状态）容易被找到。

ι 步骤的核心作用就是打破这种对称性：

  1. 破坏自相似性： 通过为每一轮添加一个不同的常数，使得第 1 轮和第 2 轮的变换完全不同，防止攻击者利用轮函数的自相似性进行分析。
  2. 消除弱轮： 没有 ι 步骤，某些特定输入（如全0）在经过某些步骤（如 χ）时，其非线性效应可能很弱。加入精心设计的轮常数可以避免这种弱轮情况。
  3. 增加代数复杂度： 即使攻击者能对前几步建立简单的代数方程，ι 步骤引入的常数也会使这些方程复杂化，难以求解。

简单来说，ι 步骤就像是给每一轮的“料理”撒上一点点不同的、独特的“调味料”，确保24道“料理”味道都不同，且没有一道是寡淡无味的。

第三步：ι 步骤的计算公式

ι 步骤的操作非常简单，它是一个位异或（XOR）操作：

A[x, y, z] = A[x, y, z] ⊕ RC[i_r, z]

让我们分解这个公式：

  1. A[x, y, z]： 这是内部状态数组。它存储了当前所有 5×5×64 = 1600 个比特。
  2. ⊕： 表示按位异或运算。在二进制中，0⊕0=0， 0⊕1=1， 1⊕0=1， 1⊕1=0。
  3. RC[i_r, z]： 这就是“轮常数”。它只作用于特定车道 (x=0, y=0) 的特定深度 z 位置的比特。如果 RC[i_r, z] = 1，则该位置的比特就翻转（0变1，1变0）；如果为0，则保持不变。

关键点：

  • 坐标限定： 这个操作只对坐标 (x=0, y=0) 的整条车道（即64个比特位）进行。对于 x 和 y 不为 (0,0) 的所有比特，ι 步骤不做任何改变。
  • 轮数依赖： 常数 RC[i_r, z] 的值取决于两个参数：
    • i_r： 当前的轮索引。Keccak-f[1600] 有 24 轮，所以 i_r 从 0 到 23。
    • z： 车道内的比特位置索引（0 到 63）。

这意味着，在24轮中的每一轮，都会有一个长度为64比特的、独一无二的“轮常数掩码”被 XOR 到最左上角 (0,0) 的车道上。

第四步：轮常数 RC 的生成规则

轮常数 RC 的设计并非随意，而是遵循一个确定性的、简洁的线性反馈移位寄存器（LFSR）规则生成的。这样设计是为了：

  • 确定性： 任何人都能复现。
  • 简洁： 不需要存储24×64个常数，只需一个简单的生成算法。
  • 足够随机： 满足密码学所需的“看似随机”的特性。

以下是生成规则（你无需记忆，但可以理解其逻辑）：

  1. 我们定义一组“轮常数比特” rc[t]，其中 t 从 0 开始。rc[t] 是一个单独的比特 (0 或 1)。
  2. rc[t] 由一个 8 比特的 LFSR 生成，其生成多项式为 x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + 1。
  3. 初始化 LFSR 寄存器状态 rc[0…7] = 10000000（二进制，rc[0]=1，其余为0）。
  4. 对于每个新的 t，寄存器按 LFSR 规则更新一次，最低位的值就是新的 rc[t]。
  5. 生成了足够的 rc[t] 后，对于第 i_r 轮，其轮常数 RC[i_r] 是一个64比特的字。这个字的第 z 个比特是否为1，由以下规则判断：
    • 对于所有满足 (7^m) mod 255 = 1 的整数 m，如果存在某个整数 j 使得 z = 2^j - 1，并且 rc[j + 7*i_r] = 1，那么 RC[i_r, z] = 1。
    • 对于所有其他位置 z，RC[i_r, z] = 0。

一个更简单的理解方式是：在24轮中，只有很少的几个特定 z 位置（如 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63等）的比特可能被设为1。每一轮的轮常数就是由这些位置上的、由 LFSR 生成的比特 rc[t] 组合而成的一个“稀疏”的64比特掩码。

例如，前两轮的轮常数（以16进制表示，作用于64位车道）是：

  • 轮 0 (i_r=0): RC[0] = 0x0000000000000001
  • 轮 1 (i_r=1): RC[1] = 0x0000000000008082

你可以看到，只有最低的几个比特位是1，其余都是0。这正是“稀疏”的含义。

第五步：实际计算示例

让我们以第0轮（i_r=0）为例，手动计算它对状态的影响：

假设在 ι 步骤之前，经过 θ, ρ, π, χ 步骤后，状态中左上角车道 (x=0, y=0) 的64个比特是：
A[0, 0] = 0x0123456789ABCDEF （这是一个64位的十六进制数，仅为举例）。

  1. 查表： 已知第0轮的轮常数 RC[0] = 0x0000000000000001。这意味着只有在 z=0 这个比特位置（即最低有效位，LSB）的常数是1，其他63个位置都是0。
  2. 执行操作： ι 步骤要求计算 A[0,0] ⊕ RC[0]。
    • A[0,0] 的二进制最低位是 F 的二进制表示 1111 的最低位，即 1。
    • RC[0] 在最低位是 1。
    • 1 ⊕ 1 = 0。
  3. 得到结果： 因此，新状态 A'[0,0] 的值变为 0x0123456789ABCDE?，其中 ? 是 E (1110) 的最低三位 110 与 RC 的0进行异或，还是110，所以是 E。最终结果是 A'[0,0] = 0x0123456789ABCDEE。我们只是翻转了最低位。

这个例子展示了 ι 步骤如何通过一个微小的、与轮数相关的改动，来影响整个状态。在后续的轮函数迭代中，这个微小的改变会被 θ, ρ, π, χ 等步骤迅速扩散到状态的每一个角落。

总结

ι 步骤 是 Keccak-f 轮函数中看似最简单的一步，但其密码学意义重大：

  1. 操作简单： 仅对内部状态的特定车道 (0,0) 与一个轮常数进行按位异或。
  2. 目标明确： 打破轮函数的对称性和自相似性，消除潜在的弱轮，增加代数攻击的难度。
  3. 常数生成： 轮常数由简洁的 LFSR 确定性地生成，每轮不同且稀疏，是算法设计者精心挑选的“魔力常数”。

正是这五个步骤（θ, ρ, π, χ, ι）的精心组合与多轮迭代，共同赋予了 SHA-3 (Keccak) 强大的混淆、扩散和非线性特性，使其能够抵抗已知的各种密码学攻击，成为值得信赖的新一代哈希标准。

SHA-3 (Keccak) 海绵结构中的 ι (Iota) 步骤详解 你好！我将为你讲解 SHA-3 哈希算法（核心是 Keccak 海绵结构）中，轮函数 Keccak-f 的最后一个步骤—— ι 步骤 。这个步骤虽然看起来简单，但其设计精巧，对整个算法的非线性和安全性有至关重要的作用。我们将从问题背景、核心概念，再到具体的计算过程，循序渐进地进行解析。 题目背景 SHA-3 是美国国家标准与技术研究院（NIST）在 2012 年通过哈希算法竞赛选出的新一代标准哈希算法，其核心是 Keccak 哈希函数。Keccak 采用“海绵结构”来处理任意长度的输入，并输出指定长度的哈希值。而海绵结构中的“吸收”和“挤压”阶段，都反复调用一个固定的置换函数，称为 Keccak-f 。 Keccak-f 函数对内部状态（一个三维的比特数组）进行多轮（SHA-3标准为24轮）的混淆和扩散。每一轮包含5个步骤，按顺序为： θ (Theta) ： 提供列之间的扩散。 ρ (Rho) ： 提供行内的位旋转扩散。 π (Pi) ： 提供行与行之间的置换。 χ (Chi) ： 提供非线性混淆，是主要的非线性来源。 ι (Iota) ： 为每一轮添加一个独特的轮常数，打破轮函数内部的对称性，并确保每轮都不同。 我们今天的主角就是最后一步： ι 步骤 。 解题过程 第一步：理解 Keccak 的内部状态表示 在深入 ι 步骤之前，必须理解 Keccak 操作的“数据块”是什么样的。 Keccak 的内部状态被表示为一个三维的比特数组，其大小为 5×5×w。其中： w 是“字长”，即每个“车道”的比特数。在 SHA-3 标准中，使用的是 Keccak-f[ 1600] ，即总状态大小为 1600 比特。因为 5×5×w = 1600，所以 w = 64 比特。 我们可以把这个状态想象成一个 5 行、5 列的“平面”，而每一“格”不是一个简单的比特，而是一个“车道”——一个长度为 w=64 比特的向量，从垂直于平面的方向延伸出去。所以状态是三维的。 状态中的任何一个比特可以用三个坐标 (x, y, z) 表示： x (0到4)： 列坐标 y (0到4)： 行坐标 z (0到63)： 在车道内的深度坐标（比特位置） ι 步骤的操作对象是 x=0, y=0 的这一条车道 ，即最左上角的那条 64 比特长的车道。 第二步：ι 步骤的目的 在每轮轮函数中，前四步（θ, ρ, π, χ）都是完全确定的、与轮数无关的线性或非线性变换。如果仅仅重复这些步骤，整个置换会呈现很强的代数结构，可能导致对称性攻击或固定点（输出等于输入的状态）容易被找到。 ι 步骤的核心作用就是打破这种对称性 ： 破坏自相似性 ： 通过为每一轮添加一个不同的常数，使得第 1 轮和第 2 轮的变换完全不同，防止攻击者利用轮函数的自相似性进行分析。 消除弱轮 ： 没有 ι 步骤，某些特定输入（如全0）在经过某些步骤（如 χ）时，其非线性效应可能很弱。加入精心设计的轮常数可以避免这种弱轮情况。 增加代数复杂度 ： 即使攻击者能对前几步建立简单的代数方程，ι 步骤引入的常数也会使这些方程复杂化，难以求解。 简单来说，ι 步骤就像是给每一轮的“料理”撒上一点点不同的、独特的“调味料”，确保24道“料理”味道都不同，且没有一道是寡淡无味的。 第三步：ι 步骤的计算公式 ι 步骤的操作非常简单，它是一个位异或（XOR）操作： A[x, y, z] = A[x, y, z] ⊕ RC[i_r, z] 让我们分解这个公式： A[ x, y, z] ： 这是内部状态数组。它存储了当前所有 5×5×64 = 1600 个比特。 ⊕ ： 表示按位异或运算。在二进制中，0⊕0=0， 0⊕1=1， 1⊕0=1， 1⊕1=0。 RC[ i_ r, z] ： 这就是“轮常数”。它只作用于 特定车道 (x=0, y=0) 的 特定深度 z 位置 的比特。如果 RC[ i_ r, z ] = 1，则该位置的比特就翻转（0变1，1变0）；如果为0，则保持不变。 关键点 ： 坐标限定 ： 这个操作 只 对坐标 (x=0, y=0) 的整条车道（即64个比特位）进行。对于 x 和 y 不为 (0,0) 的所有比特，ι 步骤不做任何改变。 轮数依赖 ： 常数 RC[i_r, z] 的值取决于两个参数： i_r ： 当前的轮索引。Keccak-f[ 1600] 有 24 轮，所以 i_ r 从 0 到 23。 z ： 车道内的比特位置索引（0 到 63）。 这意味着，在24轮中的每一轮，都会有一个长度为64比特的、独一无二的“轮常数掩码”被 XOR 到最左上角 (0,0) 的车道上。 第四步：轮常数 RC 的生成规则 轮常数 RC 的设计并非随意，而是遵循一个确定性的、简洁的线性反馈移位寄存器（LFSR）规则生成的。这样设计是为了： 确定性 ： 任何人都能复现。 简洁 ： 不需要存储24×64个常数，只需一个简单的生成算法。 足够随机 ： 满足密码学所需的“看似随机”的特性。 以下是生成规则（你无需记忆，但可以理解其逻辑）： 我们定义一组“轮常数比特” rc[t] ，其中 t 从 0 开始。 rc[t] 是一个单独的比特 (0 或 1)。 rc[t] 由一个 8 比特的 LFSR 生成，其生成多项式为 x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + 1 。 初始化 LFSR 寄存器状态 rc[0…7] = 10000000 （二进制，rc[ 0 ]=1，其余为0）。 对于每个新的 t，寄存器按 LFSR 规则更新一次，最低位的值就是新的 rc[t] 。 生成了足够的 rc[t] 后，对于第 i_r 轮，其轮常数 RC[i_r] 是一个64比特的字。这个字的第 z 个比特是否为1，由以下规则判断： 对于所有满足 (7^m) mod 255 = 1 的整数 m，如果存在某个整数 j 使得 z = 2^j - 1 ，并且 rc[j + 7*i_r] = 1 ，那么 RC[i_r, z] = 1 。 对于所有其他位置 z， RC[i_r, z] = 0 。 一个更简单的理解方式是 ：在24轮中，只有很少的几个特定 z 位置（如 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63等）的比特可能被设为1。每一轮的轮常数就是由这些位置上的、由 LFSR 生成的比特 rc[t] 组合而成的一个“稀疏”的64比特掩码。 例如，前两轮的轮常数（以16进制表示，作用于64位车道）是 ： 轮 0 (i_ r=0): RC[0] = 0x0000000000000001 轮 1 (i_ r=1): RC[1] = 0x0000000000008082 你可以看到，只有最低的几个比特位是1，其余都是0。这正是“稀疏”的含义。 第五步：实际计算示例 让我们以 第0轮（i_ r=0） 为例，手动计算它对状态的影响： 假设在 ι 步骤之前，经过 θ, ρ, π, χ 步骤后，状态中左上角车道 (x=0, y=0) 的64个比特是： A[0, 0] = 0x0123456789ABCDEF （这是一个64位的十六进制数，仅为举例）。 查表 ： 已知第0轮的轮常数 RC[0] = 0x0000000000000001 。这意味着只有在 z=0 这个比特位置（即最低有效位，LSB）的常数是1，其他63个位置都是0。 执行操作 ： ι 步骤要求计算 A[0,0] ⊕ RC[0] 。 A[0,0] 的二进制最低位是 F 的二进制表示 1111 的最低位，即 1 。 RC[0] 在最低位是 1 。 1 ⊕ 1 = 0。 得到结果 ： 因此，新状态 A'[0,0] 的值变为 0x0123456789ABCDE? ，其中 ? 是 E (1110) 的最低三位 110 与 RC 的0进行异或，还是110，所以是 E 。最终结果是 A'[0,0] = 0x0123456789ABCDEE 。 我们只是翻转了最低位 。 这个例子展示了 ι 步骤如何通过一个微小的、与轮数相关的改动，来影响整个状态。在后续的轮函数迭代中，这个微小的改变会被 θ, ρ, π, χ 等步骤迅速扩散到状态的每一个角落。 总结 ι 步骤 是 Keccak-f 轮函数中看似最简单的一步，但其密码学意义重大： 操作简单 ： 仅对内部状态的特定车道 (0,0) 与一个轮常数进行按位异或。 目标明确 ： 打破轮函数的对称性和自相似性，消除潜在的弱轮，增加代数攻击的难度。 常数生成 ： 轮常数由简洁的 LFSR 确定性地生成，每轮不同且稀疏，是算法设计者精心挑选的“魔力常数”。 正是这五个步骤（θ, ρ, π, χ, ι）的精心组合与多轮迭代，共同赋予了 SHA-3 (Keccak) 强大的混淆、扩散和非线性特性，使其能够抵抗已知的各种密码学攻击，成为值得信赖的新一代哈希标准。