自适应高斯-克朗罗德积分法 题目描述 自适应高斯-克朗罗德积分法是一种用于计算定积分近似值的数值积分方法，特别适用于被积函数在积分区间内变化剧烈或存在奇异点的情况。该方法的核心思想是：在积分区间的每个子区间上，同时使用高斯求积公式和克朗罗德扩展公式计算积分近似值，并通过比较两者的差异来估计误差。若误差超过预设容限，则将该子区间进一步细分，递归应用相同过程，直到满足精度要求。 解题过程 基本公式介绍 高斯求积公式：在区间 \([ -1, 1]\) 上，选择 \(n\) 个节点和权重，使得对于次数不超过 \(2n-1\) 的多项式能精确积分。例如，7点高斯公式（G7）的节点为 \(x_ i\)，权重为 \(w_ i\)，积分近似值为： \[ I_ G = \sum_ {i=1}^{7} w_ i f(x_ i). \] 克朗罗德扩展公式：在高斯节点的基础上增加中间点，形成 \(2n+1\) 个节点（如G7扩展为15点K15）。K15公式能精确积分更高次多项式，其近似值为： \[ I_ K = \sum_ {j=1}^{15} v_ j f(y_ j). \] 误差估计：通过比较 \(I_ G\) 和 \(I_ K\) 的差异 \(\Delta = |I_ K - I_ G|\) 来判断子区间上的计算精度。 自适应细分策略 设定全局容限 \(\epsilon\) 和最大递归深度（防止无限细分）。 对初始区间 \([ a, b]\)，计算 \(I_ K\) 和 \(\Delta\)。若 \(\Delta \leq \epsilon \cdot (b-a)/(B-A)\)（其中 \([ A,B]\) 是初始积分区间），则接受 \(I_ K\) 作为该子区间的积分值。 若 \(\Delta > \epsilon \cdot (b-a)/(B-A)\)，则将子区间二等分为 \([ a, c]\) 和 \([ c, b ]\)（\(c=(a+b)/2\)），分别递归应用相同过程。 计算步骤示例 以计算 \(\int_ 0^1 \sin(x^2) \, dx\) 为例，设定 \(\epsilon = 10^{-6}\)： 步骤1 ：将区间 \([ 0,1]\) 映射到 \([ -1,1]\)（通过变量替换 \(x = \frac{1+t}{2}\)），应用G7和K15公式计算 \(I_ K\) 和 \(\Delta\)。 步骤2 ：若 \(\Delta > 10^{-6} \cdot (1-0)\)，将区间分为 \([ 0,0.5]\) 和 \([ 0.5,1 ]\)。 步骤3 ：对每个子区间重新映射并计算 \(I_ K\) 和 \(\Delta\)。重复比较与细分，直到所有子区间误差满足容限要求。 步骤4 ：将所有子区间的 \(I_ K\) 求和，得到全局积分近似值。 优点与注意事项 优点：通过局部误差控制自动适应函数变化，避免在平滑区域过度计算。 注意：节点和权重需预先计算（可查表获取）；对于奇异点需结合区间变换处理。 通过这种自适应细分策略，方法能在保证精度的同时高效处理复杂函数的积分问题。