排序算法之：Patience Sorting 的“最长递增子序列”等价性证明
字数 3200 2025-12-15 22:27:42

排序算法之：Patience Sorting 的“最长递增子序列”等价性证明

题目描述：给定一个整数数组，Patience Sorting 算法在排序过程中，会构建一个“堆栈序列”，最终堆栈的数量等于原数组的最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）的长度。请你详细解释这一过程的原理，并严格证明“堆栈数等于LIS长度”的结论。

解题过程循序渐进讲解如下：

第一步：理解Patience Sorting的基本流程

Patience Sorting是一种基于“堆栈”的排序算法，它的核心步骤是遍历数组，为每个元素找到合适的堆栈放置。规则是：

  1. 从左到右遍历数组元素。
  2. 对于当前元素 x，查看所有堆栈的栈顶元素。如果有堆栈的栈顶元素大于或等于 x，则将 x 放入栈顶元素最小的那个堆栈（即第一个栈顶元素大于等于 x 的堆栈）。
  3. 如果没有堆栈的栈顶元素大于等于 x，则新建一个堆栈，将 x 放入其中。

示例：数组 [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]

  1. 3 → 新建堆栈1: [3]
  2. 1 → 栈顶3 >= 1，放入堆栈1 → 堆栈1: [1] (替换3)
  3. 4 → 栈顶1 < 4，新建堆栈2: [4]
  4. 1 → 栈顶1 >= 1，放入堆栈1（最小满足条件的栈顶是1） → 堆栈1: [1, 1] (第二个1压入)
  5. 5 → 栈顶1（堆栈1）< 5，栈顶4（堆栈2）< 5，新建堆栈3: [5]
  6. 9 → 栈顶1, 4, 5 均 < 9，新建堆栈4: [9]
  7. 2 → 栈顶1 < 2，栈顶4 >= 2，放入堆栈2 → 堆栈2: [4, 2]
  8. 6 → 栈顶1, 2, 5, 9 中，5 >= 6? 否，9 >= 6? 否，新建堆栈5: [6]

最终堆栈数量 = 5。

第二步：理解“堆栈序列”与LIS的联系

关键观察：每个堆栈的栈顶元素（从上到下）构成一个非递减序列。因为规则是“将 x 放入第一个栈顶大于等于 x 的堆栈”，所以后放入的元素不会破坏栈顶的有序性。

但更重要的性质是：堆栈的数量等于原数组的最长递增子序列（LIS）的长度。以上例的堆栈数5，数组的LIS是 [1, 4, 5, 9]? 不，实际LIS是 [1, 4, 5, 9] 长度4？不对，我们仔细算一下。

实际数组 [3,1,4,1,5,9,2,6] 的LIS可以是 [1,4,5,9] 或 [1,4,5,6] 长度4。但堆栈数量是5。这里需要明确：堆栈数等于LIS长度，但必须按“严格递增”定义LIS。在严格递增定义下，LIS可以是 [1,4,5,9,?] 没有更长的，[1,4,5,6] 长度4，所以这里矛盾吗？不矛盾，因为我们演示的堆栈构建过程其实在严格递增定义下堆栈数应为4。但我们上面第4步将第二个1放入堆栈1，导致堆栈1有两个1，这是允许相等元素放在同一堆栈的规则（栈顶大于等于x时放入），所以此时堆栈数可能多于LIS长度？这引出关键：在严格递增的LIS定义下，我们要么修改规则为“栈顶严格大于x时才放入”，要么考虑非严格递增LIS。原定理通常指非递减LIS（允许相等），而“最长严格递增子序列”需要另外处理。

我们重新明确：在经典Patience Sorting算法中，规则是“栈顶 >= x”，此时堆栈数等于“最长非递减子序列”的长度。如果我们要得到严格递增LIS长度，可以预处理：将所有元素改为 (值, 索引) 对，排序时先按值、再按索引降序，从而避免相等元素形成递增。

但常见考题是证明“堆栈数 = 最长严格递增子序列长度”，所以规则需调整为“栈顶 > x 才放入”，且放入第一个满足的堆栈。我们以此为准重新推演：

规则调整为：对于当前元素 x，查看所有堆栈的栈顶，找到第一个栈顶元素严格大于** x 的堆栈，放入；如果没有，新建堆栈**。

重新演示：
[3,1,4,1,5,9,2,6]

  1. 3 → 新建堆栈1: [3]
  2. 1 → 栈顶3 > 1，放入堆栈1 → 堆栈1: [1]
  3. 4 → 栈顶1 < 4，新建堆栈2: [4]
  4. 1 → 栈顶1 不大于1，栈顶4 > 1，放入堆栈2 → 堆栈2: [4,1] （注意，这里1放在4下面，栈顶是1）
  5. 5 → 栈顶1 < 5, 栈顶1(堆栈2) < 5，新建堆栈3: [5]
  6. 9 → 栈顶1,1,5 都 < 9，新建堆栈4: [9]
  7. 2 → 栈顶1,1,5,9 中，5 > 2，第一个大于2的是堆栈3栈顶5，放入 → 堆栈3: [5,2]
  8. 6 → 栈顶1,1,2,9 中，9 > 6，放入堆栈4 → 堆栈4: [9,6]

最终堆栈数=4。LIS严格递增长度确实是4（例如 [1,4,5,9] 或 [1,4,5,6]）。

所以，在严格规则下，堆栈数 = 最长严格递增子序列长度。

第三步：证明堆栈数等于LIS长度的思路

证明分两部分：

1. 堆栈数 ≤ LIS长度：
因为每个堆栈中，元素从上到下是递减的（因为新放入的元素一定小于栈顶，否则会被放到更后面的堆栈），所以从不同堆栈中各取一个元素，它们不可能构成递增序列（因为它们按堆栈顺序是递减的）。那么，如果我们有k个堆栈，我们最多只能从每个堆栈取一个元素形成递增序列，所以LIS长度至少为k。更严格地说，假设LIS长度为L，那么我们可以从每个堆栈的栈底（或某个位置）选一个元素，但需要证明k ≤ L。反证：如果k > L，那么我们可以从每个堆栈选栈顶元素，按堆栈顺序是递减的，无法形成长度为k的递增子序列，矛盾。所以堆栈数 ≤ LIS长度。

2. LIS长度 ≤ 堆栈数：
考虑原数组的任意一个递增子序列，其元素在放入堆栈时，它们必须放在不同的堆栈。因为如果两个递增子序列中的元素放在同一堆栈，则后放入的元素一定小于先放入的（堆栈内从上到下递减），与递增矛盾。所以递增子序列的长度不能超过堆栈数。因此LIS长度 ≤ 堆栈数。

综上，堆栈数 = LIS长度。

第四步：用归纳法严格证明

更严格的归纳证明思路：

  • 定义 f(i) 为前i个元素形成的堆栈数，g(i) 为前i个元素的LIS长度。
  • 当加入第i个元素 x 时：
    • 如果 x 可以放入已有堆栈（即存在栈顶 > x），则 f(i) = f(i-1)，此时 x 不能扩展任何以它结尾的递增子序列长度超过已有LIS，所以 g(i) = g(i-1)。
    • 如果 x 必须新建堆栈，则 f(i) = f(i-1) + 1。此时必然存在一个以 x 结尾的递增子序列，其长度等于新的堆栈数。因为我们可以从每个堆栈选一个元素（从堆栈1到新堆栈，依次从每个堆栈选一个比下一个小的元素）构成递增序列。
  • 通过维护每个堆栈的栈顶元素最小值，可以证明每一步的堆栈数就是当前LIS长度。

第五步：实际应用与扩展

这个定理的实用性在于：我们可以在O(n log n)时间内求出LIS长度（因为每次查找“第一个栈顶大于x的堆栈”可以用二分查找维护栈顶数组）。实际上，这就是经典的“贪心+二分求LIS”算法。

扩展：Patience Sorting 不仅可以求长度，还可以通过回溯堆栈来重建一个LIS。不过需要注意的是，堆栈内的元素不一定直接构成LIS，需要记录每个元素的前驱指针。

总结：Patience Sorting 的堆栈构建过程巧妙地编码了LIS的信息，其核心证明基于“堆栈内元素递减，不同堆栈间元素可构成递增”的序关系。通过调整比较规则（严格大于或大于等于），可以得到严格或非严格递增子序列的长度。

排序算法之：Patience Sorting 的“最长递增子序列”等价性证明 题目描述：给定一个整数数组，Patience Sorting 算法在排序过程中，会构建一个“堆栈序列”，最终堆栈的数量等于原数组的最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）的长度。请你详细解释这一过程的原理，并严格证明“堆栈数等于LIS长度”的结论。 解题过程循序渐进讲解如下： 第一步：理解Patience Sorting的基本流程 Patience Sorting是一种基于“堆栈”的排序算法，它的核心步骤是遍历数组，为每个元素找到合适的堆栈放置。规则是： 从左到右遍历数组元素。 对于当前元素 x ，查看所有堆栈的 栈顶元素 。如果有堆栈的栈顶元素 大于或等于 x ，则将 x 放入 栈顶元素最小 的那个堆栈（即第一个栈顶元素大于等于 x 的堆栈）。 如果没有堆栈的栈顶元素大于等于 x ，则新建一个堆栈，将 x 放入其中。 示例 ：数组 [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6] 3 → 新建堆栈1: [ 3 ] 1 → 栈顶3 >= 1，放入堆栈1 → 堆栈1: [ 1 ] (替换3) 4 → 栈顶1 < 4，新建堆栈2: [ 4 ] 1 → 栈顶1 >= 1，放入堆栈1（最小满足条件的栈顶是1） → 堆栈1: [ 1, 1 ] (第二个1压入) 5 → 栈顶1（堆栈1）< 5，栈顶4（堆栈2）< 5，新建堆栈3: [ 5 ] 9 → 栈顶1, 4, 5 均 < 9，新建堆栈4: [ 9 ] 2 → 栈顶1 < 2，栈顶4 >= 2，放入堆栈2 → 堆栈2: [ 4, 2 ] 6 → 栈顶1, 2, 5, 9 中，5 >= 6? 否，9 >= 6? 否，新建堆栈5: [ 6 ] 最终堆栈数量 = 5。 第二步：理解“堆栈序列”与LIS的联系 关键观察： 每个堆栈的栈顶元素（从上到下）构成一个非递减序列 。因为规则是“将 x 放入第一个栈顶大于等于 x 的堆栈”，所以后放入的元素不会破坏栈顶的有序性。 但更重要的性质是： 堆栈的数量等于原数组的最长递增子序列（LIS）的长度 。以上例的堆栈数5，数组的LIS是 [1, 4, 5, 9] ? 不，实际LIS是 [1, 4, 5, 9] 长度4？不对，我们仔细算一下。 实际数组 [3,1,4,1,5,9,2,6] 的LIS可以是 [1,4,5,9] 或 [1,4,5,6] 长度4。但堆栈数量是5。这里需要明确： 堆栈数等于LIS长度，但必须按“严格递增”定义LIS 。在严格递增定义下，LIS可以是 [1,4,5,9,?] 没有更长的， [1,4,5,6] 长度4，所以这里矛盾吗？不矛盾，因为我们演示的堆栈构建过程其实在严格递增定义下堆栈数应为4。但我们上面第4步将第二个1放入堆栈1，导致堆栈1有两个1，这是 允许相等元素放在同一堆栈 的规则（栈顶大于等于x时放入），所以此时堆栈数可能多于LIS长度？这引出关键：在 严格递增 的LIS定义下，我们要么修改规则为“栈顶严格大于x时才放入”，要么考虑 非严格递增LIS 。原定理通常指 非递减LIS （允许相等），而“最长严格递增子序列”需要另外处理。 我们重新明确： 在经典Patience Sorting算法中，规则是“栈顶 >= x”，此时堆栈数等于“最长非递减子序列”的长度 。如果我们要得到严格递增LIS长度，可以预处理：将所有元素改为 (值, 索引) 对，排序时先按值、再按索引降序，从而避免相等元素形成递增。 但常见考题是证明“堆栈数 = 最长严格递增子序列长度”，所以规则需调整为“栈顶 > x 才放入”，且放入第一个满足的堆栈。我们以此为准重新推演： 规则调整为： 对于当前元素 x ，查看所有堆栈的栈顶，找到第一个栈顶元素 严格大于** x 的堆栈，放入；如果没有，新建堆栈** 。 重新演示： [3,1,4,1,5,9,2,6] 3 → 新建堆栈1: [ 3 ] 1 → 栈顶3 > 1，放入堆栈1 → 堆栈1: [ 1 ] 4 → 栈顶1 < 4，新建堆栈2: [ 4 ] 1 → 栈顶1 不大于1，栈顶4 > 1，放入堆栈2 → 堆栈2: [ 4,1 ] （注意，这里1放在4下面，栈顶是1） 5 → 栈顶1 < 5, 栈顶1(堆栈2) < 5，新建堆栈3: [ 5 ] 9 → 栈顶1,1,5 都 < 9，新建堆栈4: [ 9 ] 2 → 栈顶1,1,5,9 中，5 > 2，第一个大于2的是堆栈3栈顶5，放入 → 堆栈3: [ 5,2 ] 6 → 栈顶1,1,2,9 中，9 > 6，放入堆栈4 → 堆栈4: [ 9,6 ] 最终堆栈数=4。LIS严格递增长度确实是4（例如 [1,4,5,9] 或 [1,4,5,6] ）。 所以，在严格规则下，堆栈数 = 最长严格递增子序列长度。 第三步：证明堆栈数等于LIS长度的思路 证明分两部分： 1. 堆栈数 ≤ LIS长度 ： 因为每个堆栈中，元素从上到下是递减的（因为新放入的元素一定小于栈顶，否则会被放到更后面的堆栈），所以 从不同堆栈中各取一个元素，它们不可能构成递增序列 （因为它们按堆栈顺序是递减的）。那么，如果我们有k个堆栈，我们最多只能从每个堆栈取一个元素形成递增序列，所以LIS长度至少为k。更严格地说，假设LIS长度为L，那么我们可以从每个堆栈的栈底（或某个位置）选一个元素，但需要证明k ≤ L。反证：如果k > L，那么我们可以从每个堆栈选栈顶元素，按堆栈顺序是递减的，无法形成长度为k的递增子序列，矛盾。所以堆栈数 ≤ LIS长度。 2. LIS长度 ≤ 堆栈数 ： 考虑原数组的任意一个递增子序列，其元素在放入堆栈时，它们 必须放在不同的堆栈 。因为如果两个递增子序列中的元素放在同一堆栈，则后放入的元素一定小于先放入的（堆栈内从上到下递减），与递增矛盾。所以递增子序列的长度不能超过堆栈数。因此LIS长度 ≤ 堆栈数。 综上，堆栈数 = LIS长度。 第四步：用归纳法严格证明 更严格的归纳证明思路： 定义 f(i) 为前i个元素形成的堆栈数， g(i) 为前i个元素的LIS长度。 当加入第i个元素 x 时： 如果 x 可以放入已有堆栈（即存在栈顶 > x），则 f(i) = f(i-1) ，此时 x 不能扩展任何以它结尾的递增子序列长度超过已有LIS，所以 g(i) = g(i-1) 。 如果 x 必须新建堆栈，则 f(i) = f(i-1) + 1 。此时必然存在一个以 x 结尾的递增子序列，其长度等于新的堆栈数。因为我们可以从每个堆栈选一个元素（从堆栈1到新堆栈，依次从每个堆栈选一个比下一个小的元素）构成递增序列。 通过维护每个堆栈的栈顶元素最小值，可以证明每一步的堆栈数就是当前LIS长度。 第五步：实际应用与扩展 这个定理的实用性在于： 我们可以在O(n log n)时间内求出LIS长度 （因为每次查找“第一个栈顶大于x的堆栈”可以用二分查找维护栈顶数组）。实际上，这就是经典的“贪心+二分求LIS”算法。 扩展：Patience Sorting 不仅可以求长度，还可以通过回溯堆栈来重建一个LIS。不过需要注意的是，堆栈内的元素不一定直接构成LIS，需要记录每个元素的前驱指针。 总结：Patience Sorting 的堆栈构建过程巧妙地编码了LIS的信息，其核心证明基于“堆栈内元素递减，不同堆栈间元素可构成递增”的序关系。通过调整比较规则（严格大于或大于等于），可以得到严格或非严格递增子序列的长度。