好的，我已经记录了你已学习过的所有题目。现在，我给你随机出一道你列表中没有出现过的、经典的线性动态规划题目。

题目：完全平方数

题目描述：

给定一个正整数 n，你的任务是找到最少数量的完全平方数（例如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。

换句话说，我们需要用最少数量的完全平方数来拼凑出整数 n。这是一个典型的“数字拆分”或“硬币找零”类问题，只不过这里的“硬币”是所有的完全平方数。

示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4。也可以表示为 12 = 9 + 1 + 1 + 1，但需要4个数，不是最少的。最少需要3个。

示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9。

解题思路：循序渐进地讲解

我们可以把这个问题看作一个动态规划问题，状态定义为凑出某个金额 i 所需的最少完全平方数的数量。

步骤 1：定义状态

定义 dp[i] 为：凑出总和为 i 所需的最少完全平方数的个数。

我们的最终目标是求 dp[n]。

步骤 2：寻找状态转移方程

如何计算 dp[i] 呢？
要凑出总和 i，最后一个加入的完全平方数可能是 1, 4, 9, 16, …，当然，这个数不能大于 i。

• 如果我们最后加入的数是 1（即 1*1），那么我们需要先凑出 i - 1，然后再加1个1。所以方案数为 dp[i-1] + 1。
• 如果我们最后加入的数是 4（即 2*2），那么我们需要先凑出 i - 4，然后再加1个4。所以方案数为 dp[i-4] + 1。
• 如果我们最后加入的数是 9（即 3*3），那么方案数为 dp[i-9] + 1。
• ……

我们需要找到所有可能中数量最少的那个。

因此，状态转移方程为：
dp[i] = min( dp[i - j*j] + 1 )，其中 j*j <= i。
即，我们遍历所有小于等于 i 的完全平方数 j*j，看从 i - j*j 这个状态转移过来，哪个需要的数字个数最少。

步骤 3：确定初始条件

• dp[0] = 0。凑出总和0，不需要任何数。
• 对于其他 i，我们可以先初始化为一个很大的数（比如 n+1），因为最多的情况就是全部用1来凑，需要 i 个。我们将在状态转移中更新它。

步骤 4：计算顺序

由于计算 dp[i] 时，需要用到 dp[i - j*j]（这些值都比 i 小），所以我们按照 i 从 1 到 n 的顺序来计算。

步骤 5：举例说明（以 n=12 为例）

1. 初始化：
   dp = [0, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞]，长度为 n+1=13。dp[0]=0。

2. 计算 i=1：
   小于等于1的完全平方数只有 1*1=1。
   dp[1] = dp[1-1] + 1 = dp[0] + 1 = 0 + 1 = 1。
   更新 dp = [0, 1, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞]

3. 计算 i=2：
   小于等于2的完全平方数只有 1*1=1。
   dp[2] = dp[2-1] + 1 = dp[1] + 1 = 1 + 1 = 2。（即 2 = 1 + 1）
   dp = [0, 1, 2, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞]

4. 计算 i=3：
   小于等于3的完全平方数只有 1。
   dp[3] = dp[3-1] + 1 = dp[2] + 1 = 2 + 1 = 3。（即 3 = 1 + 1 + 1）
   dp = [0, 1, 2, 3, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞]

5. 计算 i=4：
   小于等于4的完全平方数有 1 和 4。

   • 用 1：dp[4-1] + 1 = dp[3] + 1 = 3 + 1 = 4
   • 用 4：dp[4-4] + 1 = dp[0] + 1 = 0 + 1 = 1
     取最小值 min(4, 1) = 1。
     所以 dp[4] = 1。（即 4 = 4）
     dp = [0, 1, 2, 3, 1, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞, ∞]

6. 继续这个过程：

   • i=5: 检查 1和4。
     min(dp[4]+1=2, dp[1]+1=2) = 2。 （5=4+1）
   • i=6: 检查 1和4。
     min(dp[5]+1=3, dp[2]+1=3) = 3。 （6=4+1+1）
   • i=7: 检查 1和4。
     min(dp[6]+1=4, dp[3]+1=4) = 4。 （7=4+1+1+1）
   • i=8: 检查 1和4。
     min(dp[7]+1=5, dp[4]+1=2) = 2。 （8=4+4）
   • i=9: 检查 1, 4, 9。
     min(dp[8]+1=3, dp[5]+1=3, dp[0]+1=1) = 1。 （9=9）
   • i=10: 检查 1, 4, 9。
     min(dp[9]+1=2, dp[6]+1=4, dp[1]+1=2) = 2。 （10=9+1）
   • i=11: 检查 1, 4, 9。
     min(dp[10]+1=3, dp[7]+1=5, dp[2]+1=3) = 3。 （11=9+1+1）
   • i=12: 检查 1, 4, 9。
     min(dp[11]+1=4, dp[8]+1=3, dp[3]+1=4) = 3。 （12=4+4+4）

7. 最终结果：
   dp[12] = 3，与示例一致。

步骤 6：算法实现（Python伪代码）

def numSquares(n: int) -> int:
    # 初始化dp数组，dp[0]=0，其他为正无穷大
    dp = [float(‘inf’)] * (n + 1)
    dp[0] = 0

    # 遍历所有需要计算的状态 i (从1到n)
    for i in range(1, n + 1):
        # 遍历所有可能的完全平方数 j*j <= i
        j = 1
        while j * j <= i:
            # 状态转移：dp[i] 可能是由 dp[i - j*j] 加上一个平方数 j*j 得来
            dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
            j += 1

    return dp[n]

步骤 7：复杂度分析

• 时间复杂度：O(n * sqrt(n))。外层循环遍历 n 次，内层循环的 j 最大到 sqrt(n)。
• 空间复杂度：O(n)，用于存储 dp 数组。

总结一下：
这道题的核心是将一个“求最值”的优化问题，分解成一系列子问题（dp[i] 表示凑出 i 的最优解）。通过分析最后一个加入的“成分”（一个完全平方数），我们建立了当前问题 dp[i] 与更小子问题 dp[i - j*j] 之间的联系，从而可以用自底向上的动态规划高效求解。