高斯-勒让德求积公式的高精度应用 我将为你讲解高斯-勒让德求积公式的高精度应用。这个算法是数值积分中非常重要的一种方法，特别适用于高精度计算需求。 题目描述 计算定积分 ∫₋₁¹ cos(x) dx 的高精度近似值，要求使用3点高斯-勒让德求积公式，并分析其精度。 解题过程 第一步：理解高斯-勒让德求积公式的基本原理 高斯-勒让德求积公式是一种基于最优节点选择的数值积分方法。对于积分 ∫₋₁¹ f(x) dx，其n点公式为： ∫₋₁¹ f(x) dx ≈ Σᵢ₌₁ⁿ wᵢ f(xᵢ) 其中xᵢ是勒让德多项式Pₙ(x)的根（称为高斯点），wᵢ是对应的权重。这种方法的特点是对于2n-1次多项式能给出精确结果。 第二步：确定3点公式的高斯点和权重 对于3点高斯-勒让德公式（n=3）： 高斯点：x₁ = -√(3/5), x₂ = 0, x₃ = √(3/5) 对应权重：w₁ = 5/9, w₂ = 8/9, w₃ = 5/9 这些值是通过求解勒让德多项式P₃(x) = (5x³ - 3x)/2的根得到的。 第三步：应用公式计算积分 对于我们的问题：∫₋₁¹ cos(x) dx 计算过程： f(x₁) = cos(-√(3/5)) ≈ cos(-0.774596669) ≈ 0.714677 f(x₂) = cos(0) = 1.0 f(x₃) = cos(√(3/5)) ≈ cos(0.774596669) ≈ 0.714677 积分近似值 = w₁f(x₁) + w₂f(x₂) + w₃f(x₃) = (5/9)×0.714677 + (8/9)×1.0 + (5/9)×0.714677 ≈ 0.397043 + 0.888889 + 0.397043 ≈ 1.682975 第四步：精度分析 精确解：∫₋₁¹ cos(x) dx = sin(1) - sin(-1) = 2sin(1) ≈ 1.68294197 误差分析： 绝对误差：|1.682975 - 1.68294197| ≈ 3.3×10⁻⁵ 相对误差：约2.0×10⁻⁵ 第五步：高精度优势说明 高斯-勒让德求积公式的高精度体现在： 对于3点公式，能精确积分5次多项式 节点选择最优，相比等距节点的牛顿-科特斯公式精度更高 随着节点数增加，收敛速度很快 这种方法特别适合被积函数光滑且需要高精度计算的场合。