带限制的矩阵链乘最小乘法次数问题（矩阵维度带约束版本）
题目描述
给定一系列矩阵 \(A_1, A_2, \dots, A_n\)，其中矩阵 \(A_i\) 的维度为 \(p_{i-1} \times p_i\)。计算它们的乘积 \(A_1 A_2 \dots A_n\) 时，我们可以通过加括号来确定乘法顺序。不同的顺序会导致不同的标量乘法次数。标准矩阵链乘问题的目标是找到一种括号化方式，使得总的标量乘法次数最少。
在带约束的版本中，增加了一条限制：某些相邻的矩阵不允许被优先相乘（即不能直接对它们加括号）。具体来说，给定一个布尔矩阵 \(forbid[i][j]\)（\(1 \le i < j \le n\)），如果 \(forbid[i][j] = \text{True}\)，则表示矩阵 \(A_i A_{i+1} \dots A_j\) 在计算时，不允许将区间 \([i, j]\) 分割为 \([i, k]\) 和 \([k+1, j]\) 两部分然后分别相乘（即不能以 \(k\) 为分割点）。换句话说，任何括号化方式中，不能出现形式为 \((A_i \dots A_k)(A_{k+1} \dots A_j)\) 的分割，其中 \(forbid[i][j] = \text{True}\)。
目标：在满足所有 \(forbid\) 约束的前提下，求出最小标量乘法次数。如果不存在满足约束的括号化方式，则返回 \(+\infty\)（或一个表示不可能的标记）。
解题过程
1. 问题理解与状态定义
这是一个区间动态规划（Interval DP）问题，状态通常定义为：
\[dp[i][j] = \text{计算 } A_i A_{i+1} \dots A_j \text{ 的最小乘法次数} \]
其中 \(1 \le i \le j \le n\)。
关键区别：标准矩阵链乘的状态转移是：
\[dp[i][j] = \min_{i \le k < j} \{ dp[i][k] + dp[k+1][j] + p_{i-1} \cdot p_k \cdot p_j \} \]
但在这里，如果 \(forbid[i][j] = \text{True}\)，则不能用任何 \(k\) 来分割区间 \([i, j]\)。这意味着必须将整个区间视为一个不可分割的整体（实际上就是按给定的顺序连续相乘，而不允许内部再加括号）？不对——如果整个区间都不能分割，那实际上就是强制必须按顺序 \(A_i, A_{i+1}, \dots, A_j\) 从左到右连续相乘，此时乘法次数是固定的，可以直接计算出来。
更精确地说：
- 如果 \(forbid[i][j] = \text{True}\)，则区间 \([i, j]\) 内部不允许任何括号，必须按顺序连续相乘。
- 否则，我们可以像标准问题一样，枚举分割点 \(k\)。
2. 状态转移方程
设 \(p_0, p_1, \dots, p_n\) 为矩阵维度，\(A_i\) 维度为 \(p_{i-1} \times p_i\)。
情况1：如果 \(forbid[i][j] = \text{True}\)
此时，区间 \([i, j]\) 必须作为一个整体连续相乘，不允许内部括号。那么乘法次数是：
\[\text{cost\_contiguous}(i, j) = \sum_{t=i}^{j-1} (p_{i-1} \cdot p_t \cdot p_j) \]
理由：连续相乘 \(A_i A_{i+1} \dots A_j\) 时，先乘前两个，得到的矩阵维度是 \(p_{i-1} \times p_{i+1}\)，再乘下一个……最终乘法次数是固定的，可以通过以下方式计算：
\[\text{cost\_contiguous}(i, j) = p_{i-1} \cdot p_i \cdot p_{i+1} + p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdot p_{i+2} + \dots + p_{i-1} \cdot p_{j-1} \cdot p_j \]
更简单的递推：设 \(m_{i,j} = p_{i-1} \times p_j\) 是最终结果的维度，但计算连续乘法的固定次数可以直接用上面公式，或者动态计算：
\[\text{cost\_contiguous}(i, j) = dp\_cont[i][j] = dp\_cont[i][j-1] + p_{i-1} \cdot p_{j-1} \cdot p_j \]
其中 \(dp\_cont[i][i] = 0\)。
情况2：如果 \(forbid[i][j] = \text{False}\)
则可以枚举分割点 \(k\)（\(i \le k < j\)），但要注意：分割点 \(k\) 本身必须有效，即：
- 子区间 \([i, k]\) 和 \([k+1, j]\) 本身是可行的（有合法的括号化方式）。
- 如果 \(forbid[i][k] = \text{True}\)，则区间 \([i, k]\) 必须连续乘，这本身是允许的，只要它的乘法次数是有限的（这里不禁止连续乘，只是禁止分割它，但作为子问题它已经是连续乘的结果）。
实际上，只要 \(dp[i][k]\) 和 \(dp[k+1][j]\) 是有限的，就可以组合。
但注意：即使 \(forbid[i][j] = \text{False}\)，也可能存在某些分割点 \(k\) 是禁止的？题目给的限制是 \(forbid[i][j]\) 只表示“整个区间 \([i, j]\) 是否禁止分割”，并不表示某个子区间的分割禁止。所以只要 \(forbid[i][j] = \text{False}\)，所有 \(k\) 都可以作为候选分割点。
因此状态转移方程：
\[dp[i][j] = \begin{cases} \text{cost\_contiguous}(i, j) & \text{if } forbid[i][j] = \text{True} \\ \min\limits_{i \le k < j} \{ dp[i][k] + dp[k+1][j] + p_{i-1} \cdot p_k \cdot p_j \} & \text{if } forbid[i][j] = \text{False} \end{cases} \]
其中 \(dp[i][i] = 0\)。
3. 边界条件与初始化
- 单个矩阵不需要乘法：\(dp[i][i] = 0\)。
- 对于长度为 2 的区间 \([i, i+1]\)：
- 如果 \(forbid[i][i+1] = \text{True}\)，则必须连续乘，乘法次数 = \(p_{i-1} \cdot p_i \cdot p_{i+1}\)。
- 如果为 False，则也只有一种乘法顺序（两个矩阵直接乘），乘法次数 = \(p_{i-1} \cdot p_i \cdot p_{i+1}\)，与连续乘相同，所以可以直接计算。
实际上，对于长度=2，不管 forbid 如何，都只有一种乘法方式，所以可以直接算。
4. 计算顺序
区间 DP 典型顺序：按区间长度从小到大计算。
外层循环长度 \(len = 2\) 到 \(n\)
内层循环左端点 \(i = 1\) 到 \(n-len+1\)，右端点 \(j = i+len-1\)。
对于每个区间 \([i, j]\)：
- 如果 \(forbid[i][j]\) 为 True，则 \(dp[i][j] = \text{cost\_contiguous}(i, j)\)。
- 否则，枚举 \(k\) 从 \(i\) 到 \(j-1\)，计算 \(dp[i][k] + dp[k+1][j] + p_{i-1} \cdot p_k \cdot p_j\)，取最小值。
注意：在计算 \(\text{cost\_contiguous}(i, j)\) 时，可以预处理一个数组 \(cont[i][j]\)，表示连续乘 \([i, j]\) 的固定乘法次数，用递推：
\[cont[i][j] = cont[i][j-1] + p_{i-1} \cdot p_{j-1} \cdot p_j, \quad cont[i][i] = 0 \]
5. 结果与不可行判断
最终结果为 \(dp[1][n]\)。
如果结果为无穷大（因为子问题不可行导致），则表示没有满足约束的括号化方式。
但在我们的定义中，即使 \(forbid[i][j] = \text{True}\)，也有一个固定乘法次数，所以不会出现无穷大，除非维度不匹配（但题目保证维度匹配）。
不过，有一种隐式不可行的情况：如果 \(forbid[i][j] = \text{False}\)，但枚举所有 \(k\) 得到的子问题中，有一个子问题不可行（即 \(dp[i][k]\) 或 \(dp[k+1][j]\) 为无穷大），则该 \(k\) 不可用。如果所有 \(k\) 都不可用，并且 \(forbid[i][j] = \text{False}\)，则 \(dp[i][j]\) 为无穷大。
但根据我们的定义，单个矩阵 \(dp[i][i] = 0\) 是可行的，所以只要维度匹配，子问题都可行。
因此，在本题中，总是存在至少一种括号化方式（即使全部连续乘也是可行的，如果 forbid 允许的话）。
但如果 forbid 限制导致必须分割但又没有允许的分割点？这不可能，因为 forbid 只限制某些区间不能分割，但如果没有 forbid 限制，我们可以分割；如果 forbid 限制了整个区间，我们必须连续乘，也是可行的。
所以本题总是有解。
6. 举例说明
假设 \(n=4\)，维度 \(p = [3, 2, 4, 1, 5]\)：
矩阵：\(A_1: 3\times 2, A_2: 2\times 4, A_3: 4\times 1, A_4: 1\times 5\)。
约束：\(forbid[1][3] = \text{True}\)（即 \(A_1 A_2 A_3\) 不能分割），其余为 False。
计算：
- 长度 2：
- \(dp[1][2] = 3\cdot 2\cdot 4 = 24\)
- \(dp[2][3] = 2\cdot 4\cdot 1 = 8\)
- \(dp[3][4] = 4\cdot 1\cdot 5 = 20\)
- 长度 3：
- \([1,3]\)：forbid=True，连续乘：
\(cont[1][3] = 3\cdot 2\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 1 = 24 + 12 = 36\)，所以 \(dp[1][3] = 36\)。 - \([2,4]\)：forbid=False，枚举 k=2,3：
- k=2: \(dp[2][2] + dp[3][4] + 2\cdot 4\cdot 5 = 0 + 20 + 40 = 60\)
- k=3: \(dp[2][3] + dp[4][4] + 2\cdot 1\cdot 5 = 8 + 0 + 10 = 18\)，最小值 18。
所以 \(dp[2][4] = 18\)。
- \([1,3]\)：forbid=True，连续乘：
- 长度 4：\([1,4]\)，forbid=False，枚举 k=1,2,3：
- k=1: \(dp[1][1] + dp[2][4] + 3\cdot 2\cdot 5 = 0 + 18 + 30 = 48\)
- k=2: \(dp[1][2] + dp[3][4] + 3\cdot 4\cdot 5 = 24 + 20 + 60 = 104\)
- k=3: 但 \(dp[1][3] = 36\)，\(dp[4][4]=0\)，乘法次数 = \(36 + 0 + 3\cdot 1\cdot 5 = 36 + 15 = 51\)
最小值是 48。
最终结果：\(dp[1][4] = 48\)。
7. 时间复杂度
状态数 \(O(n^2)\)，每个状态枚举 \(O(n)\) 个分割点，总复杂度 \(O(n^3)\)，与标准矩阵链乘相同。
预处理 \(cont\) 数组需要 \(O(n^2)\)。
8. 小结
这道题是标准矩阵链乘的扩展，通过增加 forbid 限制某些区间不允许分割，从而改变了状态转移的可行性条件。
解题关键在于：
- 理解 forbid 的含义：禁止对区间进行任何括号分割，必须连续乘。
- 在状态转移中，对 forbid=True 的区间直接采用固定连续乘法次数。
- 对 forbid=False 的区间，仍枚举分割点，但子问题可能因 forbid 限制而必须连续乘，这已体现在子问题的 dp 值中。
这样，我们就能够求出满足约束的最小乘法次数。