统计一个字符串中“回文子序列”的总数（字符集为小写字母，允许重复计数）

题目描述
给定一个只包含小写字母的字符串 s，我们需要统计其所有回文子序列（Palindromic Subsequences）的总数。回文子序列定义为原字符串中通过删除零个或多个字符（不改变剩余字符的相对顺序）得到的一个序列，且该序列从左到右和从右到左读是一样的。注意，即使两个回文子序列由相同的字符组成，但如果它们在原字符串中的位置（下标）不同，则视为不同的子序列。最终结果可能非常大，要求对 \(10^9+7\) 取模。

举例
例如，字符串 "aab"：

• 回文子序列有：""（空序列）、"a"（第一个 'a'）、"a"（第二个 'a'）、"b"、"aa"、"aa"（由第一个和第三个字符组成，注意：第一个和第三个字符是 'a' 和 'b'，不能组成 "aa"，这里应为第二个 'a' 和第三个 'b' 也不能组成 "aa"，实际上 "aa" 只能由前两个 'a' 组成。更正："aa" 只有一种，由下标 0 和 1 的 'a' 组成）、"aba"？实际上 "aba" 不是子序列，因为字符顺序是 'a'、'a'、'b'，无法得到 'b' 在中间。正确回文子序列列表：
  • 长度为 0：""（1 个）
  • 长度为 1："a"（下标 0）、"a"（下标 1）、"b"（下标 2）共 3 个
  • 长度为 2："aa"（下标 0 和 1）共 1 个
  • 长度为 3：无
    总数为 1 + 3 + 1 = 5。
    实际上，我们通常包括空序列，但有时题目可能要求非空，这里我们按包括空序列计数。但为了清晰，我们先从非空开始讲解，最后加上空序列。

解题过程

步骤 1：理解问题与定义状态

我们需要统计所有回文子序列的数量。注意“子序列”允许跳过中间字符，且不同位置即使字符相同也算不同子序列。
这是一个经典的区间动态规划问题，我们定义：

dp[i][j] 表示字符串 s 中从下标 i 到 j（包含两端）的子串中，回文子序列的个数（包括空序列吗？先不包括空序列会更清晰，但最终答案可以加 1 表示空序列。不过为了方便转移，我们通常让 dp[i][j] 表示该子串中所有回文子序列的个数，包括空序列。但这样会导致重复计数问题，因为空序列在任意子串中都计数一次。更常见的定义是：dp[i][j] 表示子串 s[i..j] 中回文子序列的个数（不包括空序列），这样最终答案再加 1。但转移方程会复杂一些。另一种更简洁的定义是：dp[i][j] 表示子串 s[i..j] 中回文子序列的个数（包括空序列）。我们采用这种，因为这样转移方程更整齐。最终答案就是 dp[0][n-1]，其中 n 是字符串长度。

但要注意，当 i > j 时，我们认为子串为空，此时回文子序列只有空序列，所以 dp[i][j] = 1（当 i > j）。

步骤 2：状态转移方程

考虑子串 s[i..j]，我们需要计算所有回文子序列的数量。我们可以根据子序列的首尾字符是否包含 s[i] 和 s[j] 来分类：

1. 包含 s[i] 但不包含 s[j]
2. 包含 s[j] 但不包含 s[i]
3. 同时包含 s[i] 和 s[j]
4. 既不包含 s[i] 也不包含 s[j]

这四类覆盖了所有回文子序列。但注意，如果 s[i] == s[j]，那么同时包含 s[i] 和 s[j] 的子序列可以形成新的回文（即以 s[i] 和 s[j] 作为首尾），而且这些子序列的内部可以由 s[i+1..j-1] 中的任意回文子序列构成。如果 s[i] != s[j]，那么同时包含 s[i] 和 s[j] 的子序列不可能是回文，因为首尾字符不同。

因此，我们需要分情况：

情况 1：s[i] == s[j]
设 dp[i][j] 表示子串 s[i..j] 中回文子序列的个数（包括空序列）。
那么：

• 不包含 s[i] 也不包含 s[j] 的子序列数 = dp[i+1][j-1]（即 s[i+1..j-1] 中的所有回文子序列）。
• 包含 s[i] 但不包含 s[j] 的子序列数 = 包含 s[i] 但可能包含或不包含 s[j] 吗？实际上，我们固定不包含 s[j]，但可以从 s[i+1..j-1] 中选任意回文子序列，然后前面加上 s[i]。但这些子序列是否回文取决于 s[i] 和内部子序列的匹配。更简单的方法是利用计数原理：

我们考虑从 s[i..j] 中选子序列，可以按是否包含 s[i] 和 s[j] 分为四类：
(A) 既不包含 i 也不包含 j：dp[i+1][j-1]
(B) 包含 i 但不包含 j
(C) 包含 j 但不包含 i
(D) 包含 i 且包含 j

由于 s[i] == s[j]，所以 (B) 和 (C) 是对称的，且 (D) 中的子序列可以这样得到：取 s[i+1..j-1] 中的任意一个回文子序列（包括空序列），然后在首尾加上 s[i] 和 s[j]，这样得到的序列一定是回文。所以 (D) 的数量 = dp[i+1][j-1]（因为对 s[i+1..j-1] 的每个回文子序列，都可以在首尾添加 s[i] 和 s[j] 得到一个新的回文子序列，包括空序列对应单个 s[i] 和 s[j] 组成的长度为 2 的回文，以及空序列对应空序列加首尾得到长度为 2 的回文，这里注意：空序列加首尾得到的是 "s[i]s[j]" 即两个相同字符）。

但 (B) 和 (C) 的数量并不是 dp[i+1][j-1]，因为 (B) 包含 i 但不包含 j，这些子序列不一定回文，我们需要从 s[i+1..j] 中选，但必须不包含 j。实际上，我们可以用 dp[i][j-1] 表示包含 i 的可能序列，但 dp[i][j-1] 包括了包含 i 且可能包含 j-1 的序列，但 j 不在区间内。更精确地，dp[i][j-1] 包括了 (A) 和 (B)，而 dp[i+1][j] 包括了 (A) 和 (C)。所以：

dp[i][j-1] = (A) + (B)
dp[i+1][j] = (A) + (C)
dp[i+1][j-1] = (A)

那么 (D) 的数量 = dp[i+1][j-1]（因为对 s[i+1..j-1] 的每个回文子序列，添加首尾 s[i] 和 s[j] 后仍为回文）。

所以 dp[i][j] = (A) + (B) + (C) + (D)
= dp[i+1][j-1] + (B) + (C) + dp[i+1][j-1]
= dp[i][j-1] + dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1] + dp[i+1][j-1]（因为 (B) = dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]，(C) = dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1]）
整理得：dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] + dp[i+1][j-1]？不对，检查一下：

实际上代入：
dp[i][j] = (A) + (B) + (C) + (D)
= dp[i+1][j-1] + [dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]] + [dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1]] + dp[i+1][j-1]
= dp[i][j-1] + dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1]。

这就是当 s[i] == s[j] 时的转移方程吗？注意 (D) 我们用了 dp[i+1][j-1]，但这是正确的吗？考虑 s[i+1..j-1] 中的任意回文子序列，我们可以在其首尾添加 s[i] 和 s[j] 得到新回文，所以 (D) 的数量确实等于 dp[i+1][j-1]。所以最终：

dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1] + dp[i+1][j-1]
= dp[i][j-1] + dp[i+1][j] 当 s[i] == s[j] 时。

但这样不对，因为 (D) 被重复计算了？我们检查：dp[i][j-1] 包含 (A) 和 (B)，dp[i+1][j] 包含 (A) 和 (C)，相加后 (A) 被加了两次，所以需要减去一个 (A)，然后再加上 (D)。所以：

dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1] + dp[i+1][j-1]
= dp[i][j-1] + dp[i+1][j] 当 s[i] == s[j]。

确实如此。但注意，当 s[i] == s[j] 时，dp[i+1][j-1] 被减掉又加回，抵消了。所以最终转移方程为：

当 s[i] == s[j] 时：
dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] + 1？等等，我们漏了什么？检查例子 s = "aa"，长度 2，dp[0][1] 应该包含："", "a"（第一个）, "a"（第二个）, "aa" 共 4 个。
计算：dp[0][0] = 2（"", "a"），dp[1][1] = 2，dp[1][0] 无效。
按公式：dp[0][1] = dp[0][0] + dp[1][1] = 2 + 2 = 4，正确，不需要 +1。
所以当 s[i]==s[j] 时，dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j]。

情况 2：s[i] != s[j]
此时 (D) 类子序列（同时包含 i 和 j）不可能是回文，所以 (D) 的数量为 0。
那么 dp[i][j] = (A) + (B) + (C) = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1]。

所以完整转移方程：

• 如果 i > j：dp[i][j] = 0？但之前我们约定空串时回文子序列只有空序列，即 1。所以我们调整：当 i > j 时，dp[i][j] = 0（因为后面我们只考虑 i<=j 的情况，初始化时长度为 1 的区间单独处理，避免 i>j 出现）。
• 如果 i == j：dp[i][j] = 2（空序列和单个字符序列）。
• 如果 i < j：
  • 如果 s[i] == s[j]：dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] + 1？我们验证一下。
    设 s = "aba"，n=3。
    dp[0][0]=2, dp[1][1]=2, dp[2][2]=2。
    dp[1][2]：s[1]!=s[2]（'b'!='a'），所以 dp[1][2] = dp[1][1] + dp[2][2] - dp[2][1]，其中 dp[2][1]=0，所以 dp[1][2] = 2+2-0=4。实际序列："", "b", "a", "ba"，但 "ba" 不是回文，所以错误。这说明我们的定义有问题：dp[i][j] 必须只计数回文子序列，而不是所有子序列。所以需要重新定义。

步骤 3：正确定义状态

定义 dp[i][j] 为子串 s[i..j] 中回文子序列的个数（包括空序列）。那么当 s[i] != s[j] 时，同时包含 i 和 j 的子序列不可能是回文，所以不能简单用包含所有子序列的公式。

我们需要用容斥原理，但只计数回文子序列。标准解法是：

设 dp[i][j] 表示子串 s[i..j] 中回文子序列的个数（包括空序列）。
那么：

• 当 i > j：dp[i][j] = 1（只有空序列）。
• 当 i == j：dp[i][j] = 2（空序列和单个字符序列）。
• 当 i < j：
  • 如果 s[i] == s[j]：那么所有回文子序列可以分为：
    1. 包含 s[i] 和 s[j] 的：在 s[i+1..j-1] 的每个回文子序列首尾添加 s[i] 和 s[j]，得到新的回文子序列，数量为 dp[i+1][j-1]。
    2. 不包含 s[i] 和 s[j] 的：数量为 dp[i+1][j-1]？不对，这是 s[i+1..j-1] 的所有回文子序列，但我们已经计入了包含 i 和 j 的，所以这里不包含 i 和 j 的就是 dp[i+1][j-1] 吗？注意 dp[i+1][j-1] 包括了空序列，以及只包含 i+1..j-1 中的字符的子序列，这些都不含 i 和 j，所以正确。
    3. 包含 s[i] 但不包含 s[j] 的：这些子序列的回文性要求内部是回文，且以 s[i] 开头，但不以 s[j] 结尾。实际上，这类子序列就是 s[i..j-1] 中包含 s[i] 的回文子序列，但 s[i..j-1] 中也可能包含 s[j] 吗？区间是 i 到 j-1，所以不包含 j。所以这类数量 = dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]（即 s[i..j-1] 的所有回文子序列减去 s[i+1..j-1] 的所有回文子序列，因为减去的是既不包含 i 也不包含 j-1 的吗？实际上 dp[i][j-1] 包含所有以 i 开头和不以 i 开头的，我们要的是以 i 开头的。但更方便的方法是：我们不需要显式分类，可以用以下推导：

由于 s[i]==s[j]，所以 s[i..j] 的回文子序列由以下部分组成：

• s[i+1..j-1] 的所有回文子序列（即不包含 i 和 j 的）。
• 在上述每个回文子序列首尾添加 s[i] 和 s[j] 得到的新回文子序列（包括空序列变成 s[i]s[j]）。
  所以总数 = dp[i+1][j-1] + dp[i+1][j-1] = 2 * dp[i+1][j-1]？但这样漏掉了一些：比如只包含 i 不包含 j 的，或只包含 j 不包含 i 的。实际上，只包含 i 不包含 j 的回文子序列，可以通过在 s[i+1..j-1] 的回文子序列前添加 s[i] 得到，但还需要保证整个是回文，这要求内部子序列是回文且以 s[i] 开头？不，只包含 i 不包含 j 的子序列，可以是单个 s[i]，或者 s[i] 加上一个内部回文子序列（但内部子序列在 s[i+1..j-1] 中，且整个序列以 s[i] 开头，以某个内部字符结尾，要回文必须内部子序列是回文且整个序列对称，这要求内部子序列以 s[i] 结尾，但内部子序列不一定包含 s[i]。所以这样分类很麻烦。

标准的状态转移方程是（参考经典问题“统计回文子序列个数”）：

dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]，如果 s[i] != s[j]。
如果 s[i] == s[j]，则 dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] + 1。
其中 dp[i][j] 表示子串 s[i..j] 中回文子序列的个数（包括空序列吗？）。验证一下：

s = "ab"，dp[0][1]：s[0]!=s[1]，所以 dp[0][1] = dp[1][1] + dp[0][0] - dp[1][0]。设 dp[i][j] 包括空序列，则 dp[0][0]=2, dp[1][1]=2, dp[1][0]=1（空序列）。所以 dp[0][1]=2+2-1=3。实际回文子序列："", "a", "b"，共 3 个，正确。

s = "aa"，dp[0][1] = dp[1][1] + dp[0][0] + 1 = 2+2+1=5。实际："", "a", "a", "aa" 共 4 个，这里多了一个。所以公式不对，应该是 dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1] 当 s[i]!=s[j]；当 s[i]==s[j] 时，dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] + 1 会多计数。
实际上，当 s[i]==s[j] 时，dp[i+1][j] 包含了所有不包含 i 的回文子序列，dp[i][j-1] 包含了所有不包含 j 的回文子序列，两者交集是 dp[i+1][j-1]（既不包含 i 也不包含 j 的回文子序列）。另外，我们还需要加上同时包含 i 和 j 的回文子序列，这些序列的个数等于 dp[i+1][j-1]（因为对 s[i+1..j-1] 的每个回文子序列，添加首尾 i 和 j 后仍是回文）。所以总数 = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1] + dp[i+1][j-1] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1]。但这样又回到了之前的公式，对 "aa" 计算：dp[0][1] = dp[1][1] + dp[0][0] = 2+2=4，正确。所以正确的转移方程是：

• 如果 s[i] == s[j]：dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] + 1？不对，我们验证 "aaa"：
  n=3，dp[0][0]=2, dp[1][1]=2, dp[2][2]=2。
  dp[1][2]：s[1]==s[2]，所以 dp[1][2] = dp[2][2] + dp[1][1] = 2+2=4。实际序列："", "a", "a", "aa" 共 4 个，正确。
  dp[0][1]：s[0]==s[1]，dp[0][1] = dp[1][1] + dp[0][0] = 2+2=4，正确。
  dp[0][2]：s[0]==s[2]，dp[0][2] = dp[1][2] + dp[0][1] = 4+4=8。实际序列：列出 "aaa" 的所有回文子序列（包括空序列）："", "a"（3 个）, "aa"（3 个：下标 (0,1), (0,2), (1,2)）, "aaa"（1 个），共 1+3+3+1=8 个，正确。
  所以当 s[i]==s[j] 时，dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1]。

但注意，当 i+1 > j-1 时，即区间 s[i+1..j-1] 无效，此时 dp[i+1][j-1] 应设为 1（空序列）。在我们的公式中，当 s[i]==s[j] 时，我们没用到 dp[i+1][j-1]，所以没问题。但考虑 i+1 == j 时，即 s[i]==s[j] 且相邻，如 "aa"，dp[i+1][j-1] 是 dp[j][i]，即 i>j 的情况，我们应设 dp[i+1][j-1] = 1。但在公式 dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] 中，不需要这个值。所以可以。

当 s[i] != s[j] 时，dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]。

验证 "ab"：dp[0][1] = dp[1][1] + dp[0][0] - dp[1][0]。dp[1][0] 是无效区间，应视为 1（空序列）。所以 dp[0][1] = 2+2-1=3，正确。

步骤 4：初始化与计算顺序

• 初始化：对所有 i，dp[i][i] = 2（空序列和单个字符序列）。对所有 i > j，dp[i][j] = 1（只有空序列）。
• 计算顺序：按区间长度从小到大计算。长度从 2 到 n。

步骤 5：最终答案

dp[0][n-1] 就是整个字符串的回文子序列总数（包括空序列）。如果题目要求不包括空序列，则答案减 1。

步骤 6：模运算

由于结果可能很大，每次计算都要对 \(10^9+7\) 取模。注意减法可能产生负数，需要加模数再取模。

步骤 7：示例代码（C++风格伪代码）

int countPalindromicSubsequences(string s) {
    int n = s.length();
    int MOD = 1e9+7;
    vector<vector<long long>> dp(n, vector<long long>(n, 0));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i][i] = 2; // 空序列和单个字符
    }
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 0; i + len - 1 < n; i++) {
            int j = i + len - 1;
            if (s[i] == s[j]) {
                dp[i][j] = (dp[i+1][j] + dp[i][j-1]) % MOD;
            } else {
                dp[i][j] = (dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]) % MOD;
            }
        }
    }
    // 注意：dp[0][n-1] 包括空序列，如果题目要求不包括空序列，则减 1。
    return (dp[0][n-1] + MOD) % MOD;
}

但注意，当 i+1 > j-1 时，dp[i+1][j-1] 需要设为 1。所以在代码中，我们需要处理 i+1 > j-1 的情况，即当 i+1 > j-1 时，dp[i+1][j-1] 应为 1。在转移中，当 s[i]!=s[j] 且 len==2 时，i+1 = j，j-1 = i，所以 i+1 > j-1，dp[i+1][j-1] = dp[j][i] 未定义，我们应手动设为 1。可以在计算前初始化 dp[i][i-1] = 1 对所有 i。或者特判。

修改：

int countPalindromicSubsequences(string s) {
    int n = s.length();
    int MOD = 1e9+7;
    vector<vector<long long>> dp(n, vector<long long>(n, 0));
    // 初始化长度为 1
    for (int i = 0; i < n; i++) dp[i][i] = 2;
    // 初始化 i>j 的情况为 1
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            dp[i][j] = 1;
        }
    }
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 0; i + len - 1 < n; i++) {
            int j = i + len - 1;
            if (s[i] == s[j]) {
                dp[i][j] = (dp[i+1][j] + dp[i][j-1]) % MOD;
            } else {
                dp[i][j] = (dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]) % MOD;
            }
        }
    }
    // 减去空序列，如果题目要求不包括空序列
    // 这里我们返回包括空序列的结果
    return (dp[0][n-1] + MOD) % MOD;
}

注意：当 s[i]!=s[j] 时，公式中的 dp[i+1][j-1] 我们已初始化，所以可以直接用。

步骤 8：验证例子

s = "aab"：

• n=3，初始化 dp[0][0]=2, dp[1][1]=2, dp[2][2]=2，其他 i>j 的为 1。
• len=2:
  • i=0,j=1: s[0]=='a', s[1]=='a'，相等，dp[0][1] = dp[1][1] + dp[0][0] = 2+2=4。
  • i=1,j=2: s[1]=='a', s[2]=='b'，不等，dp[1][2] = dp[2][2] + dp[1][1] - dp[2][1] = 2+2-1=3。
• len=3: i=0,j=2: s[0]=='a', s[2]=='b'，不等，dp[0][2] = dp[1][2] + dp[0][1] - dp[1][1] = 3+4-2=5。
  结果 dp[0][2]=5，包括空序列。实际回文子序列："", "a", "a", "b", "aa" 共 5 个，正确。

最终答案：返回 dp[0][n-1] 即可（包括空序列）。如果题目要求不包括空序列，则减 1。