多边形三角剖分的最小乘积和问题

字数 2427 2025-12-15 16:58:44

多边形三角剖分的最小乘积和问题

题目描述
给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序标记为 v[0], v[1], …, v[n-1]，并且每个顶点 v[i] 有一个整数权重 w[i]。对多边形进行三角剖分（即通过添加 n-3 条互不相交的对角线将多边形划分成 n-2 个三角形）。每个三角形的“得分”定义为它的三个顶点权重之和。三角剖分的“总得分”是所有三角形得分之和。要求找出一种三角剖分，使得总得分最小，并返回这个最小总得分。

例如，对于一个五边形，顶点权重为 [1, 2, 3, 4, 5]，一种可能的三角剖分由对角线 (0,2) 和 (0,3) 组成，形成三角形 (0,1,2)、(0,2,3) 和 (0,3,4)。三角形得分分别为 (1+2+3)=6、(1+3+4)=8、(1+4+5)=10，总得分为 24。但可能存在其他剖分得到更小的总得分。

解题思路
这是一个典型的区间动态规划问题。我们可以将多边形顶点视为一个环，但通常在 DP 中我们固定一条边作为区间起点，将环转化为线性问题（因为三角剖分中必有一条边属于某个三角形，我们可以固定这条边来简化）。定义状态 dp[i][j] 表示由顶点 i, i+1, …, j 按顺序组成的凸多边形（共 j-i+1 个顶点）进行三角剖分后的最小总得分（其中 i < j）。注意：这里 i 到 j 是连续的一段顶点，并且我们视多边形的一条边 (i, j) 已经存在（即这部分多边形是原多边形的一个连续片段）。

状态转移
考虑区间 [i, j]，如果 j - i < 2，即顶点数少于 3，无法形成三角形，那么 dp[i][j] = 0（因为没有三角形，得分为 0）。
对于 j - i >= 2，即至少 3 个顶点，我们选择其中一个顶点 k（i < k < j），将多边形 [i, j] 划分为三部分：

三角形 (i, k, j)。
子多边形 [i, k]（顶点 i 到 k）。
子多边形 [k, j]（顶点 k 到 j）。

这样，多边形 [i, j] 的三角剖分可以由这两个子多边形的三角剖分加上三角形 (i, k, j) 组成。因此，状态转移方程为：
dp[i][j] = min_{k从i+1到j-1} ( dp[i][k] + dp[k][j] + w[i] + w[k] + w[j] )

最终答案
由于多边形是环形的，我们可以固定顶点 0 和 n-1 之间的边作为初始边，那么答案就是 dp[0][n-1]（因为 0 到 n-1 包含了所有 n 个顶点，并且边 (0, n-1) 是多边形的一条边）。

详细计算步骤（以权重 w = [1, 2, 3, 4, 5] 为例）

初始化：dp[i][j] = 0 对于所有 j-i < 2（即区间长度小于 3）。
计算区间长度 len 从 2 到 n-1（因为顶点索引从 0 到 n-1，len 表示区间内顶点数减 1，即 j-i 的值）。
- 当 len=2 时，区间包含 3 个顶点（例如 [0,2] 包含顶点 0,1,2）。此时只能形成一个三角形，dp[0][2] = w[0]+w[1]+w[2] = 1+2+3=6。
- 当 len=3 时，区间包含 4 个顶点（例如 [0,3] 包含顶点 0,1,2,3）。我们需要枚举中间点 k=1 或 k=2：
  对于 k=1：dp[0][1] + dp[1][3] + w[0]+w[1]+w[3] = 0 + (w[1]+w[2]+w[3]) + (1+2+4) = (2+3+4) + 7 = 9+7=16。
  对于 k=2：dp[0][2] + dp[2][3] + w[0]+w[2]+w[3] = (1+2+3) + 0 + (1+3+4) = 6+8=14。
  取最小值，所以 dp[0][3] = 14。
- 当 len=4 时，区间包含 5 个顶点（即整个五边形 [0,4]）。枚举 k=1,2,3：
  对于 k=1：dp[0][1] + dp[1][4] + w[0]+w[1]+w[4] = 0 + dp[1][4] + (1+2+5)。
  需先计算 dp[1][4]（顶点 1,2,3,4）。类似地，dp[1][4] 通过枚举 k=2,3 得到：
  当 k=2：dp[1][2] + dp[2][4] + w[1]+w[2]+w[4] = 0 + (w[2]+w[3]+w[4]) + (2+3+5) = (3+4+5)+10=12+10=22。
  当 k=3：dp[1][3] + dp[3][4] + w[1]+w[3]+w[4] = (w[1]+w[2]+w[3]) + 0 + (2+4+5) = 9+11=20。
  所以 dp[1][4] = 20。
  于是 k=1 对应值：0 + 20 + 8 = 28。
  对于 k=2：dp[0][2] + dp[2][4] + w[0]+w[2]+w[4] = 6 + (w[2]+w[3]+w[4]) + (1+3+5) = 6 + 12 + 9 = 27。
  对于 k=3：dp[0][3] + dp[3][4] + w[0]+w[3]+w[4] = 14 + 0 + (1+4+5) = 14+10=24。
  取最小值，所以 dp[0][4] = 24。

因此，最小总得分为 24。

复杂度分析
状态数 O(n²)，每个状态需要枚举中间点 k，转移复杂度 O(n)，总时间复杂度 O(n³)。空间复杂度 O(n²)。可以通过递推区间长度由小到大来计算 DP 表。

多边形三角剖分的最小乘积和问题题目描述给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序标记为 v[0] , v[1] , …, v[n-1] ，并且每个顶点 v[i] 有一个整数权重 w[i] 。对多边形进行三角剖分（即通过添加 n-3 条互不相交的对角线将多边形划分成 n-2 个三角形）。每个三角形的“得分”定义为它的三个顶点权重之和。三角剖分的“总得分”是所有三角形得分之和。要求找出一种三角剖分，使得总得分最小，并返回这个最小总得分。例如，对于一个五边形，顶点权重为 [ 1, 2, 3, 4, 5 ]，一种可能的三角剖分由对角线 (0,2) 和 (0,3) 组成，形成三角形 (0,1,2)、(0,2,3) 和 (0,3,4)。三角形得分分别为 (1+2+3)=6、(1+3+4)=8、(1+4+5)=10，总得分为 24。但可能存在其他剖分得到更小的总得分。解题思路这是一个典型的区间动态规划问题。我们可以将多边形顶点视为一个环，但通常在 DP 中我们固定一条边作为区间起点，将环转化为线性问题（因为三角剖分中必有一条边属于某个三角形，我们可以固定这条边来简化）。定义状态 dp[i][j] 表示由顶点 i, i+1, …, j 按顺序组成的凸多边形（共 j-i+1 个顶点）进行三角剖分后的最小总得分（其中 i < j ）。注意：这里 i 到 j 是连续的一段顶点，并且我们视多边形的一条边 (i, j) 已经存在（即这部分多边形是原多边形的一个连续片段）。状态转移考虑区间 [i, j] ，如果 j - i < 2 ，即顶点数少于 3，无法形成三角形，那么 dp[i][j] = 0 （因为没有三角形，得分为 0）。对于 j - i >= 2 ，即至少 3 个顶点，我们选择其中一个顶点 k （ i < k < j ），将多边形 [i, j] 划分为三部分：三角形 (i, k, j) 。子多边形 [i, k] （顶点 i 到 k）。子多边形 [k, j] （顶点 k 到 j）。这样，多边形 [i, j] 的三角剖分可以由这两个子多边形的三角剖分加上三角形 (i, k, j) 组成。因此，状态转移方程为： dp[i][j] = min_{k从i+1到j-1} ( dp[i][k] + dp[k][j] + w[i] + w[k] + w[j] ) 最终答案由于多边形是环形的，我们可以固定顶点 0 和 n-1 之间的边作为初始边，那么答案就是 dp[0][n-1] （因为 0 到 n-1 包含了所有 n 个顶点，并且边 (0, n-1) 是多边形的一条边）。详细计算步骤（以权重 w = [ 1, 2, 3, 4, 5] 为例）初始化： dp[i][j] = 0 对于所有 j-i < 2 （即区间长度小于 3）。计算区间长度 len 从 2 到 n-1（因为顶点索引从 0 到 n-1， len 表示区间内顶点数减 1，即 j-i 的值）。当 len=2 时，区间包含 3 个顶点（例如 [0,2] 包含顶点 0,1,2）。此时只能形成一个三角形， dp[0][2] = w[0]+w[1]+w[2] = 1+2+3=6 。当 len=3 时，区间包含 4 个顶点（例如 [0,3] 包含顶点 0,1,2,3）。我们需要枚举中间点 k=1 或 k=2 ：对于 k=1 ： dp[0][1] + dp[1][3] + w[0]+w[1]+w[3] = 0 + (w[1]+w[2]+w[3]) + (1+2+4) = (2+3+4) + 7 = 9+7=16 。对于 k=2 ： dp[0][2] + dp[2][3] + w[0]+w[2]+w[3] = (1+2+3) + 0 + (1+3+4) = 6+8=14 。取最小值，所以 dp[0][3] = 14 。当 len=4 时，区间包含 5 个顶点（即整个五边形 [0,4] ）。枚举 k=1,2,3 ：对于 k=1 ： dp[0][1] + dp[1][4] + w[0]+w[1]+w[4] = 0 + dp[1][4] + (1+2+5) 。需先计算 dp[1][4] （顶点 1,2,3,4）。类似地， dp[1][4] 通过枚举 k=2,3 得到：当 k=2 ： dp[1][2] + dp[2][4] + w[1]+w[2]+w[4] = 0 + (w[2]+w[3]+w[4]) + (2+3+5) = (3+4+5)+10=12+10=22 。当 k=3 ： dp[1][3] + dp[3][4] + w[1]+w[3]+w[4] = (w[1]+w[2]+w[3]) + 0 + (2+4+5) = 9+11=20 。所以 dp[1][4] = 20 。于是 k=1 对应值： 0 + 20 + 8 = 28 。对于 k=2 ： dp[0][2] + dp[2][4] + w[0]+w[2]+w[4] = 6 + (w[2]+w[3]+w[4]) + (1+3+5) = 6 + 12 + 9 = 27 。对于 k=3 ： dp[0][3] + dp[3][4] + w[0]+w[3]+w[4] = 14 + 0 + (1+4+5) = 14+10=24 。取最小值，所以 dp[0][4] = 24 。因此，最小总得分为 24。复杂度分析状态数 O(n²)，每个状态需要枚举中间点 k，转移复杂度 O(n)，总时间复杂度 O(n³)。空间复杂度 O(n²)。可以通过递推区间长度由小到大来计算 DP 表。